Dãy n biến cố B1, B2, …, Bn lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:
-Hợp của chúng là biến cố chắc chắn, tức là:
-Các biến cố đó đôi một xung khắc, tức là:
1 n i i B S
Một số ví dụ về nhóm đầy đủ:
Ví dụ 1: Trong 1 thùng thóc chỉ có 2 loại thóc là thóc đã nảy mầm và thóc chƣa nảy mầm. Lấy ngẫu nhiên 1 hạt thóc trong thùng.
Gọi A là biến cố “Hạt thóc lấy ra là thóc đã nảy mầm”. Gọi B là biến cố “Hạt thóc lấy ra là thóc chƣa nảy mầm”. Nhóm các biến cố A, B tạo thành nhóm đầy đủ các biến cố.
Ví dụ 2:Một ngƣời bắn 3 viên đạn vào biạ Bi là biến cố “Sau 3 lần bắn có đúng i viên trúng vào bia”, i = 0, 1, 2, 3.
Nhóm các biến cố B1, B2, B3không tạo thành nhóm đầy đủ các biến cố. Nhóm các biến cố B0, B1, B2, B3 tạo thành nhóm đầy đủ các biến cố.
1.5.2. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
Giả sử B1, B2, …, Bnlà một nhóm đầy đủ các biến cố. Xét biến cố A sao cho A xảy ra khi và chỉ khi một trong các biến cố B1, B2,…, Bnxảy rạ
Đặt:
Ta có:
Vì các Bi xung khắc từng đôi nên các ABi cũng xung khắc từng đôi (i =
1,…, n):
Công thức xác suất đầy đủ:
Tiếp tục áp dụng công thức nhân xác suất:
Thay công thức tính P(A) ở trên ta đƣợc công thức Bayes:
Công thức Bayes (mang tên Thomas Bayes, 1702 - 1761, một linh mục , ; , 1, i j B B i j i j n 1 n i i B S 1 2 1 2 AS ( ... n) ... n A A B B B AB AB AB 1 ( ) ( ) n i i P A P AB ( ) ( | ) ( ) n i i i P A P A B P B ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) k k k k P AB P A B P B P B A P A P A ( | ) ( ) ( | ) ( | ) ( ) k k k n i i i P A B P B P B A P A B P B
đồng thời là ngƣời có những nghiên cứu về xác suất).
Ví dụ 3: Có 2 hộp đựng sản phẩm, hộp thứ nhất có 10 sản phẩm trong đó có 9 sản phẩm màu trắng và 1 sản phẩm màu đen, hộp thứ 2 có 20 sản phẩm trong đó có 18 sản phẩm màu trắng và 2 sản phẩm màu đen. Từ hộp thứ nhất lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm bỏ sang hộp thứ 2. Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ hộp thứ 2 đƣợc sản phẩm màu trắng.
Giải:
Gọi A là biến cố “Sản phẩm lấy từ hộp thứ 2 là sản phẩm màu trắng”. Biến cố A xảy ra đồng thời với một trong hai biến cố sau:
B1: “Sản phẩm bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 là sản phẩm màu trắng”. B2: “Sản phẩm bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 là sản phẩm màu đen”. Khi đó (B1, B2) tạo thành nhóm biến cố đầy đủ.
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:
Ví dụ 4: Tỷ lệ ngƣời dân nghiện thuốc lá là 30%, biết rằng tỷ lệ ngƣời viêm phổi trong số ngƣời nghiện thuốc lá là 60%, còn tỷ lệ ngƣời viêm phổi trong số ngƣời không hút thuốc là 40%.
ạ Chọn ngẫu nhiên 1 ngƣờị Tính xác suất để ngƣời đó bị viêm phổị
b. Chọn ngẫu nhiên 1 ngƣời, biết rằng ngƣời đó viêm phổị Tính xác suất ngƣời đó nghiện thuốc lá.
Giải:
Gọi A là biến cố “Chọn ra một ngƣời bị viêm phổi”.
Gọi B1 là biến cố “Ngƣời đƣợc chọn ra là ngƣời nghiện thuốc”. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Gọi B2 là biến cố “Ngƣời đƣợc chọn ra là ngƣời không nghiện thuốc”. Nhóm biến cố đầy đủ ở đây là {B1, B2}.
Ta có: P(B1) = 0,3; P(B2) = 0,7 P(A|B1) = 0,6, P(A|B2) = 0,4 a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
P(A) = 0,3.0,6 + 0,7.0,4 = 0,46 b) Áp dụng công thức Bayes: 1 1 2 2 9 19 1 18 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 0,9 10 21 10 21 P A P B P A B P B P A B
Nhận xét:
Ngƣời ta thƣờng áp dụng công thức xác suất đầy đủ khi phép thử có nhiều hơn 1 bƣớc thử.
Mấu chốt để giải bài toán là phải thành lập đƣợc nhóm biến cố đầy đủ, thông thƣờng ngƣời ta lấy nhóm biến cố đầy đủ là các kết quả có thể có của bƣớc thứ nhất.
Nhóm biến cố đầy đủ không duy nhất, để tính xác suất của biến cố A có thể dựa vào nhóm đầy đủ này hoặc nhóm đầy đủ khác, miễn là quan hệ giữa A và
nhóm đầy đủ phải thỏa mãn: A xảy ra khi và chỉ khi 1 trong các biến cố của nhóm đầy đủ phải xảy ra.
Khi nào dùng công thức xác suất đầy đủ và khi nào dùng công thức Bayes? Công thức xác suất đầy đủ giúp ta tính xác suất của 1 biến cố A thông qua 1 nhóm các giả thiết đầy đủ B1, B2, …, Bn. Công thức Bayes thì ngƣợc lại, giúp ta tính xác suất xảy ra của các giả thiết B1, B2, …, Bn khi biến cố A xảy rạ
Ý nghĩa của công thức Bayes:
-B1, B2, …, Bnthƣờng đƣợc gọi là các giả thuyết;
-Các P(B1), P(B2), …, P(Bn) đƣợc xác định trƣớc khi phép thử đƣợc tiến hành gọi là các xác suất tiên nghiệm;
-Các xác suất P(B1|A), P(B2|A), …, P(Bn|A) gọi là các xác suất hậu nghiệm (đƣợc xác định sau khi phép thử đã tiến hành và biến cố A đã xảy ra).
Công thức Bayes cho phép đánh giá lại xác suất xảy ra các giả thuyết sau khi đã biết kết quả của phép thử. Vì vậy, công thức Bayes còn đƣợc gọi là công thức xác suất hậu nghiệm.
Mô tả một áp dụng bằng sơ đồ chẩn đoán bệnh:
Giả sử tại 1 bệnh viện nào đó các bệnh nhân mắc một trong n bệnh B1, B2, …, Bn.
Ta kí hiệu A là tập các triệu chứng có ở bệnh nhân. Khi đó các xác suất
P(B1), P(B2), …, P(Bn) và P(A|B1), P(A|B2), …, P(A|Bn) có thể đƣợc tính dựa trên số liệu thống kê của các năm trƣớc. Cụ thể:
P(Bi) bằng tần suất bệnh Bitrong số những bệnh nhân của bệnh viện đó.
P(A|Bi) bằng tần suất thấy tập hợp dấu hiệu A ở những bệnh nhân bị bệnh
Biở bệnh viện.
Áp dụng công thức Bayes cho ta xác suất chuẩn đoán bệnh Bi khi thấy các triệu chứng A. 1 1 1 ( | ) ( ) 0,3.0, 6 ( | ) 0,39 ( ) 0, 46 P A B P B P B A P A
BÀI TẬP
Bài 1: Tại một phòng khám bệnh chuyên khoa, trong số những ngƣời đến khám có 80% mắc bệnh. Phòng khám dùng một dụng cụ chuyên dụng để chuẩn đoán bệnh. Nếu có bệnh thì thiết bị cho kết quả dƣơng tính với xác suất 0,8. Nếu không có bệnh thì cho kết quả dƣơng tính với xác suất 0,3.
a) Tính xác suất để một ngƣời đến khám bệnh cho kết quả dƣơng tính. b) Giả sử một ngƣời đến khám bệnh và máy cho kết quả dƣơng tính. Tính xác suất để ngƣời đó có bệnh; không có bệnh.
Giải:
a) Gọi B1 là biến cố ngƣời đến khám có bệnh. B2 là biến cố ngƣời đến khám không có bệnh. A là biến cố thiết bị cho kết quả dƣơng tính.
Khi đó B1, B2 lập thành một hệ đầy đủ các biến cố. Theo giả thiết: P(B1) = 0,8; P(B2) = 0,2; P(A|B1) = 0,8; P(A|B2) = 0,3 Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) = 0,8.0,8 + 0,2.0,3 = 0,7 b) Theo công thức Bayes:
1 1 1 ( | ) ( ) 0,64 ( | ) 0,91 ( ) 0,7 P A B P A P B A P A 2 2 2 ( | ) ( ) 0,06 ( | ) 0,086 ( ) 0,7 P A B P B P B A P A (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 2: Tiến hành thử phản ứng thuốc trên 100 ngƣời trong đó có 50 ngƣời khỏe và 50 ngƣời yếụ Tỷ lệ phản ứng dƣơng tính trong số ngƣời khỏe là 0,05 còn trong số ngƣời yếu là 0,8. Chọn ngẫu nhiên một ngƣời trong số đó:
a) Tính xác suất để ngƣời đó có phản ứng dƣơng tính.
b)Giả sử ngƣời đó có phản ứng dƣơng tính. Tìm xác suất để ngƣời đó là ngƣời khỏe; ngƣời yếu.
Bài 3: Đem kiểm tra một lô hàng gồm các sản phẩm do hai xí nghiệp I và II sản xuất. Sản phẩm của xí nghiệp I chiếm 45%, xí nghiệp II chiếm 55%. Tỷ lệ sản xuất ra phế phẩm của xí nghiệp I là 2%, xí nghiệp II là 2,5%. Biết rằng sản phẩm đem kiểm tra là phế phẩm. Khả năng sản phẩm đó do xí nghiệp nào sản xuất ra nhiều nhất?
Bài 4: Hai nhà máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm của nhà máy I là 0,03; của nhà máy II là 0,02. Từ một kho gồm 2/3 sản phẩm của nhà máy I và 1/3 của nhà máy II ta lấy ra một sản phẩm
a) Tính xác suất để sản phẩm lấy ra đó là tốt
b)Giả sử sản phẩm lấy ra là tốt. Tính xác suất để sản phẩm đó thuộc ô I, lô IỊ
Bài 5: Có 14 xạ thủ: 5 ngƣời bắn trúng đích với xác suất 0,8, 7 ngƣời bắn trúng đích với xác suất 0,6 và 2 ngƣời bắn trúng đích với xác suất 0,5. Chọn ngẫu nhiên một ngƣời cho bắn một phát nhƣng không trúng. Ngƣời đó có khả năng thuộc nhóm nào nhất?
Bài 6: Có 10 hộp bi trong đó có 4 hộp loại I mỗi hộp chứa 3 bi trắng 5 bi đỏ; 3 hộp loại II mỗi hộp chứa 4 bi trắng và 6 bi đỏ; 3 hộp loại III mỗi hộp chứa 2 bi trắng và 5 bi đỏ.
a) Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên 1 bị Tính xác suất để đƣợc bi đỏ.
b)Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên 1 bi thì đƣợc bi trắng. Tìm xác suất để bi đó đƣợc lấy từ hộp loại I; loại II; loại III.
Bài 7*:Một xạ thủ bắn vào một mục tiêu ba viên đạn độc lập với nhaụ Xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0,4. Mục tiêu bị phá hủy với xác suất 0,2 nếu có 1 viên trúng đích; với xác suất 0,5 nếu có hai viên trúng đích và 0,8 nếu có ba viên trúng đích. Tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy.
Bài 8: Một lô hạt giống đƣợc thu gom từ ba nguồn khác nhaụ Nguồn I chiếm ½ số hạt của lô; nguồn II chiếm 1/3 số hạt của lô; còn lại là nguồn IIỊ Tỷ lệ hạt nảy mầm đối với các hạt thuộc các nguồn tƣơng ứng là 90%; 80%; 70%.
a) Tính tỷ lệ nảy mầm chung của cả lô hạt giống.
b) Lấy ngẫu nhiên từ lô ra một hạt gặp hạt không nảy mầm. Thử đoán xem hạt đó từ nguồn nàỏ Vì saỏ
Bài 9: Có hai hộp đựng các mẫu hàng xuất khẩụ Hộp thứ nhất đựng 10 mẫu trong đó có 6 mẫu loại A và 4 mẫu loại B. Hộp thứ hai đựng 10 mẫu trong đó có 3 mẫu loại A và 7 mẫu loại B.
a) Giả sử xác suất lựa chọn các hộp lần lƣợt là 0,55 và 0,45. Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một mẫụ Tính xác suất để mẫu lấy ra là loại A.
b) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một mẫu thì đƣợc mẫu loạiẠ Hỏi mẫu đó có khả năng thuộc loại nàỏ
Bài 10: Trong một thùng kín thứ nhất có 10 viên bi gồm 8 bi trắng và 2 bi đen; trong thùng kín thứ hai có 20 viên bi trong đó có 4 trắng và 16 đen. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi thùng một viên bi và sau đó lại lấy ngẫu nhiên một trong hai viên đó. Tính xác suất để lấy đƣợc bi trắng.
TÓM TẮT CHƢƠNG I
1. Định nghĩa cổ điển về xác suất: Xác suất của biến cố A là P(A) = m.
n
Trong đó:
+ m là số trƣờng hợp thuận lợi đối với A;
+ n là số trƣờng hợp đồng khả năng (số các trƣờng hợp có thể xảy ra). 2. Định nghĩa thống kê về xác suất:
( ) lim n(A) n P A f , trong đó tỷ số n(A) k f n
đƣợc gọi là tần suất xuất hiện biến cố A.
3. “Nguyên lý xác suất nhỏ”: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng biến cốđó sẽ không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử.
4. “Nguyên lý xác suất lớn”: Nếu biến cố A có xác suất gần bằng 1 thì trên thực tế có thể cho rằng biến cốđó sẽ xảy ra trong một phép thử.
5. Quan hệ của các biến cố: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Lý thuyết tập hợp Lý thuyết xác suất
Tập
- là không gian các biến cốsơ cấp (không gian mẫu).
- là biến cố chắc chắn. Tập rỗng là biến cố không thể.
AB
x AB nghĩa là xAthì x B Biến cố A kéo theo biến cố B.
A B là hợp của hai tập hợp. x A B nghĩa là xAhoặc x B A B là biến cố ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy rạ A B là giao của hai tập hợp x A B nghĩa là xAvà x B A B (hoặc kí hiệu là AB) là biến cố cả hai biến cố A và B cùng xảy rạ A B A B thì A và B là hai biến cố xung khắc. \ A Blà hiệu của hai tập hợp x A B\ nghĩa là x A và xB \ A Blà hiệu của hai biến cố: A xảy ra nhƣng B không xảy rạ \ A S A A S A \ là biến cốđối của biến cố A, tức là A xảy ra nếu A không xảy rạ
6. Công thứccộng:
Trƣờng hợp tổng quát: (P A B )P A( )P B( )P AB( ). Trƣờng hợp xung khắc: (P A B )P A( )P B( ).
Nếu B A ta có: 1P A( A) P A( )P A( ). 7. Công thức nhân:
Xác suất của B với điều kiện A đã xảy ra là (A | B) (AB). (B)
P P
P
Công thức nhân trong trƣờng hợp tổng quát:
(AB) (A | B)P(B) P(B | A)P(A)
P P
Nếu A và B độc lập thì P(AB) = P(A)P(B).
Nếu A và B độc lập với nhau thì A và B, A và B, A và B cũng độc lập với nhaụ
8. Công thức xác suất đầy đủ:
9. Công thức Bayes (CT hậu nghiệm):
10. Công thức Bernoulli:
Các phép thử đƣợc gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu thỏa mãn: - Mỗi phép thử có hai kết quả: A vàA;
- Xác suất P(A) = p không đổi cho mọi phép thử.
i) Xác suất để biến cố A xảy ra đúng k lần trong n phép thử là: ( ; ) ( ) k k n k; 1
n n n
P k p P k C p q q p
ii) Xác suất để biến cố A xảy ra từ k1 đến k2 lần là:
1 2 1 1 2
( ) ( ) ( 1) .... ( )
n n n n (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
P k k k P k P k P k
iii) Xác suất để biến cố A xảy ra ít nhất một lần là: (1 ) 1 (0) 1 (1 p)n
n n
P k n P
iv) Số lần A xảy ra có khả năng nhất là số nguyên k0 thỏa mãn: 0 (n1)p 1 k (n1)p ( ) ( | ) ( ) n i i i P A P A B P B ( | ) ( ) ( | ) ( | ) ( ) k k k n i i i P A B P B P B A P A B P B
Chƣơng 2
BIẾN NGẪU NHIÊN 2.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên
2.1.1. Khái niệm
Khi tiến hành một phép thử ngẫu nhiên, các kết quả của phép thử thƣờng là các đặc trƣng định tính (biến cố ngẫu nhiên). Tuy nhiên, trong nhiều phép thử mỗi một kết quả của phép thử thƣờng đƣợc gán tƣơng ứng với một giá trị định lƣợng nào đó.
Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Kí hiệu A1, A2, A3, A4, A5, A6 lần lƣợt là biến cố “mặt 1 chấm xuất hiện”, “mặt 2 chấm xuất hiện”... “mặt 6 chấm xuất hiện”.
Thay vì xét các biến cố nhƣ trên, ta xét đại lƣợng X là số chấm xuất hiện khi gieo con xúc xắc. Khi đó X có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6 một cách ngẫu nhiên.
a) Khái niệm: Biến ngẫu nhiên là đại lƣợng nhận giá trị thực tùy thuộc vào kết quả của phép thử ngẫu nhiên.
Ta thƣờng dùng các chữ cái X, Y, Z,... để kí hiệu các biến ngẫu nhiên và các chữ cái thƣờng x, y, z hoặc xi, yi, zi,... để chỉ các giá trị cụ thể mà biến ngẫu nhiên đó nhận.
Nhƣ vậy, đối với biến ngẫu nhiên ngƣời ta chỉ quan tâm xem nó nhận một giá trị nào đó hoặc nhận giá trị trong một khoảng nào đó với xác suất bằng bao nhiêụ
b) Ví dụ
Ví dụ 2: Gieo đồng thời hai con xúc xắc. Gọi X là tổng số chấm xuất hiện ở hai mặt trên.
=> X là biến ngẫu nhiên nhận một trong các giá trị: {2, 3, 4, 5, 6, ...., 11, 12}.
Ví dụ 3:Một ngƣời bắn vào bia cho tới khi trúng mục tiêu thì dừng. Gọi Y