V X= E( X− EX)2 = E(X 2) − (EX)2 ớiXlà biến ngẫu nhiên rời rạc:
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng
Ước lượng khoảng
Cho biến ngẫu nhiên X có EX =µ, V X =σ2. Mẫu cụ thể của X là (x1, x2, ..., xn)
Chú ý: nếu cỡ mẫu n ≤30 thì ta phải thêm điều kiện X ∼N(µ, σ2
).
Bài toán đặt ra là tìm khoảng ước lượng cho µ với xác suất xảy ra bằng (1−α)
cho trước. Điều đó tương đương với việc tim khoảng (a, b) sao cho:
P(a < µ < b) = 1−α
• (a, b) được gọi là khoảng tin cậy (hoặc khoảng ước lượng) của µ.
• (1−α) được gọi là độ tin cậy.
Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham số Hà Nội, tháng 9 năm 201826/37 26 / 37
Ước lượng khoảng Ước lượng khoảng cho kỳ vọng
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng
Trường hợp 1: σ đã biết
Chọn thống kê: Z = X −µ σ
√
n∼ N(0; 1)
Xét cặp số không âm α1, α2 thoả mãn: α1+α2 = α và các phân vị chuẩn tắc
uα1, u1−α2:
• P(Z < uα1) = α1. Do tính chất của phân phối chuẩn tắc: uα1 =−u1−α1 • P(Z < u1−α2) = 1−α2 Suy ra P(−u1−α1 < Z < u1−α2) = P(uα1 < Z < u1−α2) =P(Z < u1−α2)−P(Z < uα1) = 1−α2−α1 = 1−α 1−α=P(−u1−α1 < Z < u1−α2) =P(−u1−α1 < X −µ σ √ n < u1−α2) =P(X −u1−α2 σ √ n < µ < X +u1−α1 σ √ n)
Từ mẫu cụ thể (x1, x2, .., xn), ta có khoảng ước lượng cho µ với độ tin cậy 1−α
là: (x−u1−α2 σ √ n;x+u1−α1 σ √ n)
Như vậy có vô số khoảng ước lượng cho µ.
Ước lượng khoảng Ước lượng khoảng cho kỳ vọng
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng
Trường hợp 1: σ đã biết
Khoảng ước lượng đối xứng (α1 =α2 =α/2):
(x−u1 − α 2 σ √ n;x+u1− α 2 σ √ n) ,hàm laplace: φ(u1 − α 2) = 0,5− α2 trong đó ǫ =u1 − α 2 σ √
n gọi là độ chính xác của ước lượng.
Chú ý: Khoảng đối xứng là khoảng ước lượng có độ dài ngắn nhất. Khoảng ước lượng một phía (α1 =α;α2 = 0):
(−∞;x+u1−α σ √
n) ,hàm laplace: φ(u1−α) = 0,5−α
Khoảng ước lượng một phía (α1 = 0;α2 =α):
(x−u1 −α σ √ n; +∞) ,hàm laplace: φ(u1 −α) = 0,5−α
Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham số Hà Nội, tháng 9 năm 201828/37 28 / 37
Ước lượng khoảng Ước lượng khoảng cho kỳ vọng
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng
Ví dụ 5
Doanh thu của một cửa hàng là biến ngẫu nhiên X(triệu/tháng) có độ lệch chuẩn 2 triệu/tháng. Điều tra ngẫu nhiên doanh thu của 500 cửa hàng có qui mô tương tự nhau ta tính được doanh thu trung bình là 10 triệu/tháng. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng cho doanh thu trung bình của cửa hàng thuộc qui mô đó.
Bài làm
X là doanh thu của cửa hàng loại đang xét, EX =µ , V X =σ2 với σ = 2
Chọn thống kê: Z = X −µ σ
√
n∼ N(0; 1)
Khoảng ước lượng đối xứng cho doanh thu trung bình µ là:
(x−u1−α 2 σ √n;x+u1−α 2 σ √n) Với x = 10, σ = 2, n = 500 1−α= 0,95 ⇒α= 0,05 ⇒u1−α 2 =u0,975 = 1,96
Thay các số liệu vào khoảng trên ta có kết quả: (9,825 ; 10,175)
Ước lượng khoảng Ước lượng khoảng cho kỳ vọng
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng
Trường hợp 2: σ chưa biết
Do σ chưa biết nên ta thay thế bằng s. Chọn thống kê: Z = X −µ
s √
n∼ t(n−1)
Làm tương tự như trường hợp 1, ta chỉ thay phân vị chuẩn bằng phân vị Student. Mẫu cụ thể (x1, x2, .., xn), ta có khoảng ước lượng cho µ với độ tin cậy 1−α là:
(x−t(n−1,1−α2)√s
n;x+t(n−1,1−α1)√s n) Chú ý:
n >30 thì phân phối chuẩn tắc và phân phối student bậc tự do (n−1) có thể coi là một.
Do đó nếu n >30 ta có thể chọn thống kê: Z = X −µ s
√n
∼N(0; 1)
Khoảng ước lượng cho µ với độ tin cậy 1−α là:
(x−u1−α2 s √ n;x+u1−α1 s √ n)
Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham số Hà Nội, tháng 9 năm 201830/37 30 / 37
Ước lượng khoảng Ước lượng khoảng cho kỳ vọng
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng
Trường hợp 2: σ chưa biết
Khoảng ước lượng đối xứng (α1 =α2 =α/2):
(x−t(n−1,1− α2)√s
n;x+t(n−1,1− α2)√s n)
Khoảng ước lượng một phía (α1 =α;α2 = 0):
(−∞;x+t(n−1,1−α)√s n)
Khoảng ước lượng một phía (α1 = 0;α2 =α):
(x−t(n−1,1−α)√s
n; +∞)
Ước lượng khoảng Ước lượng khoảng cho kỳ vọng
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng
Ví dụ 6
Ví dụ trước sẽ hợp với thực tế hơn nếu ta sửa lại như sau:
Doanh thu của một cửa hàng là biến ngẫu nhiên X(triệu/tháng). Điều tra ngẫu nhiên doanh thu của 500 cửa hàng có qui mô tương tự nhau ta tính được doanh thu trung bình là 10 triệu/tháng và độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh là 2 triệu/tháng. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng cho doanh thu trung bình của cửa hàng thuộc qui mô đó. Bài làm
X(triệu/tháng) là doanh thu của cửa hàng loại đang xét, EX =µ , V X =σ2
Chọn thống kê: Z = X −µ s
√
n∼ t(n−1)
Khoảng ước lượng đối xứng cho doanh thu trung bình µ là:
(x−t(n−1,1− α2)√s
n;x+t(n−1,1− α2)√s n)
Với x = 10, s= 2, n = 500
1−α= 0,95 ⇒α= 0,05 ⇒t(n−1,1− α2) =t(499; 0,975) = 1,96
Thay các số liệu vào khoảng trên ta có kết quả: (9,825 ; 10,175)
Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Ước lượng tham số Hà Nội, tháng 9 năm 201832/37 32 / 37
Ước lượng khoảng Ước lượng khoảng cho kỳ vọng
Ước lượng khoảng cho kỳ vọng
Ví dụ 7
Điều tra năng suất lúa trên diện tích 100 hécta trồng lúa của một vùng, ta thu được bảng số liệu sau:
Năng suất (tạ/ha) 41 44 45 46 48 52 54 Số ha có năng suất tương ứng 10 20 30 15 10 10 5
Hãy ước lượng khoảng cho năng suất lúa trung bình ở vùng trên với độ tin cậỵ 95%. Ví dụ 8
Quan sát tuổi thọ của một số người ta có bảng số liệu sau:
Tuổi(năm) 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80
Số người 5 14 25 40 35 13
Hãy ước lượng khoảng cho tuổi thọ trung bình của con người với độ tin cậy 90%.