DẠNG TOÁN Ở TIỂU HỌC
2.1. Sơ đồ trong bài toán "Tìm hai số khi biết tổng - hiệu của hai số đó". Bài toán 1: Năm bạn A,B,C,D,E đem số bi của mình hiện có để so với nhau: Số Bài toán 1: Năm bạn A,B,C,D,E đem số bi của mình hiện có để so với nhau: Số
bi của A ít hơn số bi của D là 5 viên. Số bi của D nhiều hơn số bi của B là 3 viên, nhưng lại ít hơn số bi của E là 7 viên. Còn C thì có số viên bi nhiều nhất và C có nhiều hơn B là 19 viên. Biết rằng tổng số bi của 5 người là 115. Tìm số bi của từng người.
* Phân tích 1: Bài yêu cầu tìm số bi của 5 người.
Bài cho biết tổng số viên bi của 5 bạn là 115 viên. số bi của A ít hơn số bi của D là 5 viên, D nhiều hơn số bi của B là 3 viên, D lại ít hơn E là 7 viên, E có nhiều nhất là 19 viên.
Từ các dữ kiện của bài toán ta thấy: A ít hơn D là 5 viên, D nhiều hơn B hay B ít hơn D là 3 viên. Vậy A sẽ ít hơn B là 2 viên (5 – 3 = 2 viên), D lại ít hơn E là 7 viên, vậy E sẽ hơn B là 10 viên (7 + 3 = 10 viên) và C là nhiều nhất, C hơn B là 19 viên nên ta có C hơn E là 9 viên (vì E hơn B là 10 viên do đó C sẽ hơn E là 19 – 10 = 9 viên).
Bài toán trở về dạng tổng - hiệu dạng nâng cao. Dùng SĐĐT để biểu diễn mối quan hệ này:
* Lời giải
Cách 1: Theo bài ra ta có SĐĐT như sau: A B D E C 9 7 3 2
Từ đề bài ra ta suy ra thứ tự người có số viên bi từ ít đến nhiều là: A,B,D,E,C. Nhìn vào SĐĐT ta thấy: 5 lần số bi của A là: 115 – (2 + 5 + 12 + 21) =75 (viên) Số bi của A là: 75 : 5 = 15 (viên) Số bi của B là: 15 + 2 = 17 (viên) Số bi của D là: 17 + 3 = 20 (viên) Số bi của E là: 20 + 7 = 27 (viên) Số bi của C là: 27 + 9 = 36 (viên) Đáp số: A:15; B:17; D:20; E:27; C:36. Cách 2: Từ SĐĐT trên ta có: 5 lần số bi của C là: 115 + (9 + (7 + 9) + (3 + 7 + 9) + (2 + 3 + 7 + 9)) = 180 (viên) Số bi của C có là: 180 : 5 = 36 (viên) Số bi của E có là: 36 – 9 = 27 (viên) Số bi của D có là:
27 – 7 = 20 (viên) Số bi của B có là : 20 – 3 = 17 (viên) Số bi của A có là : 17 – 2 = 15 (viên) Đáp số: A:15; B:17; D:20; E:27; C:36.
* Phân tích 2: Ta có thể sử dụng phương pháp thay thế để làm bài tập này:
Chọn số viên bi của B làm đơn vị biểu diễn số viên bi của A, D, E, C, B. Nếu thêm vào A 2 viên bi, bớt số viên bi của D đi 3 viên và bớt viên bi của E đi 3 + 7 = 10 viên, bớt số viên bi của C đi 19 viên thì số viên bi của 5 bạn sẽ bằng nhau và bằng số bi của B. Khi đó tổng viên bi là: 115 + 2 – (3 + 19) = 85 (viên)
Ta tìm được ngay số viên bi của B là 85 : 5 = 17 (viên) Và tìm được số viên bi của 4 người còn lại.
* Lời giải:
Ta có sơ đồ tóm tắt bài toán như sau:
A
B D E C
Số bi của A hơn B là 5 – 3 = 2 (viên) Số bi của E hơn B là 7 + 3 = 10 (viên)
9 7 3 2 2 115 viên
Nếu thêm vào A 2 viên bi bớt của D đi 3 viên, bớt đi của E đi 10 viên và bớt của C đi 19 viên thì số viên bi của 5 bạn đều bằng nhau và bằng số viên bi của B.Khi đó tổng số bi của 5 bạn là: 115 + 2 – (3 + 10 + 19) = 85 (viên) Số bi của B là 85 : 5 = 17 (viên) Số bi của A là 17 – 2 = 15 (viên) Số bi của D là 17 + 3 = 20 (viên) Số bi của E là 17 + 10 = 27 (viên) Sô bi của C là 17 + 19 = 36 (viên)
* Phân tích 3: Ta vẫn sử dụng phương pháp thay thế những chọn số bi của A
hoặc D hoặc C hoặc E làm đơn vị để biểu diễn số bi của những bạn còn lại.
* Phân tích 4: Ta dùng phương pháp dùng chữ thay số:
Nếu dựa vào phân tích 1: Ta gọi số viên bi của B là x (x là số tự nhiên, x >2) Số viên bi của A là x – 2 (viên)
Số viên bi của D là x + 3 (viên) Số viên bi của E là x + 10 (viên) Số viên bi của C là x + 19 (viên)
Theo bài ra ta có: x – 2 + x + x + 3 + x + 10 + x + 19 =115 x + x + x + x + x + 30 = 115
5 × x = 85
x = 85 : 5 = 17 Vậy số viên bi của B là 17 (viên)
Số viên bi của A là 17 – 2 = 15 (viên) Số viên bi của D là 17 + 3 =20 (viên) Số viên bi của E là 17 + 10 = 27 (viên) Số viên bi của C là 17 + 19 = 36 (viên)
* Nhận xét: Qua bài toán trên ta thấy với dạng toán tìm các số khi biết tổng và
hiệu của chúng, ta có thể sử dụng nhiều phương pháp giải toán khác nhau như SĐĐT hay thay thế. Trong phương pháp thay thế ta vẫn cần sử dụng đến SĐĐT chứng tỏ tính ưu thế của SĐĐT. Riêng với cách phân tích thứ 4 thì phương pháp dùng chữ thay số gây khó khăn cho HS trung bình, yếu việc chọn lựa đối tượng thích hợp (hay số) để thay chữ cái giúp cho việc giải toán được thuận lợi.
Bài toán 2: Cho số có bốn chữ số xếp theo thứ tự là 4 số tự nhiên liên tiếp và
tổng bốn chữ số đó bằng 22. Hãy tìm số đó?
* Phân tích: Bài yêu cầu tìm số có 4 chữ số:
Bài cho biết các chữ số của số tự nhiên là 4 số tự nhiên liên tiếp. Tức là 4 chữ số tự nhiên này sẽ hơn kém nhau 1 đơn vị và tổng của chúng là 22. Bài toán trở về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số, ta dùng SĐĐT biểu diễn các quan hệ đó.
* Lời giải:
Dùng phương pháp SĐĐT
Cách 1: Với các số tự nhiên liên tiếp thì số sau hơn số trước 1 đơn vị. Vậy ta có
? Chữ số thứ nhất: 1 Chữ số thứ hai: 22 1 Chữ số thứ ba: 1 Chữ số thứ tư:
Theo sơ đồ trên thì bỏ 6 đơn vị sẽ được 4 lần chữ số thứ nhất. Vậy số thứ nhất là:
(22 - 6) : 4 = 4
Chữ số thứ hai, ba, tư lần lượt là 5, 6, 7 Vậy số cần tìm là: 4567 hoặc 7654
Cách 2: Theo bài ra ta có sơ đồ như cách 1:
Theo sơ đồ trên thì nếu thêm 6 đơn vị thì được 4 lần số thứ tư. Vậy số thứ tư là
(22 + 6) : 4 = 7
Chữ số thứ hai, ba, bốn lần lượt là 6, 5, 4 Vậy số phải tìm là; 4567 hoặc 7654.
* Phương pháp dùng chữ thay số:
Gọi chữ số đầu tiên của số tự nhiên là a (a > 0). Vì 4 chữ số xếp theo thứ tự từ trái sang phải hoặc từ phải sang trái là 4 số tự nhiên liên tiếp, nên các chữ số tiếp theo là : a + 1; a + 2; a + 3 (từ trái sang phải)
Theo bài ra thì tổng của 4 chữ số bằng 22 nên: a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = 22
4 × a = 16 a = 4 Vậy các chữ số tiếp theo là 5, 6, 7 Vậy số phải tìm là 4567 hoặc 7654.
* Nhận xét: Ngoài 2 cách trên ta còn có thể sử dụng phương pháp thay thế để
giải bài toán này. Nhưng trong ba cách giải thì cách thứ nhất sử dụng SĐĐT là tối ưu nhất vì cách thứ hai HS sẽ khó khăn trong cách đặt số cần tìm là một chữ cái. Sau đó biểu diễn các số tiếp theo bằng chữ dựa vào mối liên hệ với số cần tìm. Như vậy phương pháp thay thế cũng không thể thiếu ứng dụng của SĐĐT vì vẫn phải vẽ sơ đồ mới có thể giải được.
2.2. Sơ đồ trong bài toán "Tìm số trung bình cộng của nhiều số".
Bài toán 1: Trong một ngày lao động Hùng trồng được 21 cây, Dũng trồng được
22 cây, Việt trồng được 29 cây, Nam trồng được số cây bằng trung bình cộng số cây của 4 bạn. Hỏi Nam trồng được bao nhiêu cây?
* Phân tích: Vấn đề ở bài toán là số cây Nam trồng bằng trung bình cộng các số
cây của 4 bạn mà trong 4 bạn có cả Nam. Như vậy số cây Nam trồng cũng là trung bình cộng số cây của Hùng, Dũng, Việt, Nam đã trồng.
* Lời giải:
Cách 1: Dùng phương pháp đại số:
Gọi x là số cây Nam trồng được Tổng số cây mà 4 bạn trồng được là
21 + 22 + 29 + x (cây)
Tổng số cây này bằng: 72 + x (cây) Ta có: 21 + 22 + 29 + x = 72 + x
Vì số cây Nam trồng bằng trung bình cộng các số cây của 4 bạn nên ta có: 4 lần số cây của Nam thì bằng tổng số cây của cả 4 bạn tức là:
72 + x = 4 × x 72 + 1 × x = 4 × x 3 × x = 72 x = 24
Vậy Nam trồng được 24 cây
Cách 2: Dùng phương pháp SĐĐT
Nếu đem tổng số cây của bốn bạn chia làm 4 phần bằng nhau thì số cây của Nam là 1 phần và tổng số cây của ba bạn kia là 3 phần. Như thế trung bình cộng số cây của 4 bạn chính là bằng trung bình cộng số cây của ba bạn còn lại.
Theo bài ra ta có sơ đồ:
Nam trồng được số cây là:
(21 + 22 + 29) : 3 = 24 (cây)
Đáp số: 24 (cây)
Bài toán 2: Có 5 số biết rằng 4 số đầu tiên lần lượt là 650, 780, 920, 840. Ngoài
ra số thứ 5 lớn hơn trung bình cộng của 5 số là 74 đơn vị. Tìm số thứ 5?
* Phân tích: Đề bài cho biết số thứ 5 lớn hơn trung bình cộng của cả 5 số là 74
đơn vị. Sai lầm HS sẽ mắc phải là suy nghĩ số thứ 5 lớn hơn trung bình của cả 4 số đã biết là 74 đơn vị. Nên ta lấy tổng số của 4 số đầu cộng với 74 rồi chia cho 4 tìm được trung bình cộng của cả 5 số và tìm được số thứ 5:
* Lời giải Nam + Hùng + Việt TBC TBC TBC TBC Nam
Cách 1: Dùng phương pháp SĐĐT
Nếu ta gọi trung bình cộng của 5 số là một phần theo bài ra ta có sơ đồ sau: Tổng của 5 số Tổng 4 số đầu Tổng của 4 số đầu: 650 + 780 + 920 + 840 = 3190 Trung bình cộng của 5 số là: (3190 + 74) : 4 = 3264 : 4 = 816 Số thứ 5 là: 816 + 74 = 890 Đáp số: 890 Cách 2: Dùng phương pháp đại số: Gọi số thứ 5 cần tìm là x (x là số tự nhiên, x > 74) Ta có trung bình cộng của 5 số là: (x + 650 + 780 + 920 +840) : 5 Theo đề bài ra ta có: x – (x + 650 + 780 + 920 +840) : 5 = 74 x – (x + 3190) : 5 = 74 x = 74 – (x + 3190) : 5 TBC TBC TBC TBC TBC TBC số thứ 5 74
x – 74 = (x + 3190) : 5 (x – 74) ×5 = x + 3190 x × 5 – 370 = x + 3190 x × 5 = 370 + 3190 +x x × 4 = 3560 x = 3560 : 4 = 890 Vậy số thứ 5 là 890
* Nhận xét: Qua hai cách giải ta nhận thấy cách 1 sử dụng phương pháp SĐĐT
để giải phù hợp với mức độ nhận thức của HS ở mọi đối tượng. Sử dụng phương pháp dùng chữ thay số: đưa về dạng biểu thức chứa chữ chỉ phù hợp với đối tượng là HS khá, giỏi vì ở cách 2 đòi hỏi khả năng lập luận, tính toán trong từng bước giải gây khó khăn cho đối tượng là HS trung bình.
2.3. Sơ đồ trong bài toán "Tìm hai số khi biết tổng - tỉ của hai số đó".
Bài toán 1: Tìm hai số biết tổng của hai số bằng 158, biết rằng nếu xoá đi chữ
số 4 ở hàng đơn vị của 1 số thì được số kia.
* Phân tích: Bài cho biết hai số có tổng bằng 158, biết rằng nếu xoá đi chữ số 4
ở hàng đơn vị của một số thì được số kia. Tức là khi xoá đi chữ số 4 ở hàng đơn vị của một số thì số đó giảm đi 4 đơn vị và giảm đi 10 lần. Theo bài toán số đó phải là số lớn và số kia phải là nhỏ hơn.
* Lời giải:
Cách 1: Dùng phương pháp SĐĐT.
Theo bài ra ta có SĐĐT như sau:
Số lớn: 158
Số bé:
Khi xoá chữ số 4 ở hàng đơn vị của một số thì số đó giảm đi 4 đơn vị và cũng là giảm đi 10 lần. Ta gọi số đó là số nhỏ, và số còn lại là số lớn. Vậy theo bài ra ta có: số lớn gấp 10 lần hay hơn 9 lần số nhỏ và 4 đơn vị:
Vậy số nhỏ là: (158 – 4 ) : 11 = 14
Số lớn là: 158 – 14 = 144
Vậy hai số phải tìm là 144 và 14.
Cách 2: Dùng phương pháp suy luận
Theo bài toán trong hai số phải tìm thì có một số lớn và một số nhỏ hơn. Ta có nhận xét rằng số lớn không thể là số có 2 chữ số vì số lớn nhất có hai chữ số và tận cùng là 4, là số 94, khi đó số nhỏ là 9 mà 9 + 94 = 103 < 158 (không thoã mãn).
Từ đó suy ra số lớn là số có 3 chữ số dạng ab4 khi đó số nhỏ ab. Theo bài
toán ta có phép cộng: +ab4
ab 158
Ta nhận thấy trong các số từ 0 đến 9 chỉ có số 4 cộng với 4 cho số tận cùng là 8
vì vậy b = 4 thay b = 4 vào phép cộng ta được: +a44
a4 158 Ta nhận thấy a chỉ bằng 1 khi đó 144 + 14 = 158 Vậy số phải tìm là 144 và 14
* Nhận xét: Qua 2 phương pháp giải toán bằng SĐĐT, suy luận trên ta thấy
phương pháp SĐĐT được sử dụng ở bài toán này là phù hợp giúp HS dễ hiểu bài hơn ở mọi đối tượng. Còn phương pháp suy luận mang tính phức tạp trong ngôn ngữ diễn đạt có thể gây khó khăn trong khâu tiếp nhận với những HS trung bình, khá.Đặc biệtlà khó với các HS trung bình khi phát hiện ra số lớn phải tìm có 3 chữ sốvà có dạng ab4 ,bởi tìm được ab4 là số lớn phải qua một chuỗi lập luận logic.
Bài toán 2: Hai đội HS khối 4 và khối 5 của trường TH Kim Liên tham gia xây
dựng vườn trường. Sau khi làm việc được 1 giờ thì cô giáo phụ trách lao động
điều 5
7 số HS khối 4 và 3
8 số HS khối 5 đi làm việc khác. Còn lại 36 em làm
việc trong vườn trường trong đó số HS khối 4 bằng 4
5 số HS khối 5. Hỏi lúc đầu mỗi khối có bao nhiêu HS tham gia lao động.
* Phân tích: Bài toán yêu cầu tìm số HS mỗi khối lúc ban đầu (khối 4,5)
- Khi điều 5
7 số HS khối 4 đi làm việc khác thì số HS còn lại là:
7 5 2
7 − 7 = 7
- Khi điều 3
8 số HS khối 5 đi làm việc khác số còn lại là:
8 3 5
8 − 8 = 8
- Tổng số HS còn lại là 36 em lao động trong vườn trường tức là tổng của 2 7 số
HS khối 4 và 5
Ta đã biết tỉ số của HS khối 4 còn lại là 2
7 với phân số chỉ số HS khối 5 còn lại
là 5 8 và
4
5. Điều đó có nghĩa là nếu 2
7số HS còn lại của khối 4 được chia thành
4 phần bằng nhau thì 5
8 số HS còn lại của khối 5 sẽ được chia thành 5 phần như thế khi đó bài toán trở về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của chúng.
* Lời giải:
Cách 1: Ta dùng SĐĐT để biểu diễn các mối quan hệ trên
2
7 số HS khối 4 còn lại: 36 HS
5
8 số HS khối 5 còn lại:
Phân số chỉ số HS khối 4 còn lại là: 7 5 2
7 − 7 = 7
Phân số chỉ số HS khối 5 còn lại là: 8 3 5
8 − 8 = 8 Theo bài ra thì 2 7 số HS khối 4 còn lại và 5 8 số HS khối 5 còn lại có tổng tất cả là 36em, tỉ số giữa 2