A ≠ thỡ hai đường thẳng cắt nhau Sự cắt nhau của đường thẳng
2.2.Sử dụng mõu thuẫn với vai trũ kiến tạo kiến thức.
A
K H
d
Theo triết học duy vật biện chứng, mõu thuẫn là động lực thỳc đẩy quỏ trỡnh phỏt triển. Một vấn đề được gợi ra cho học sinh học tập chớnh là một mõu thuẫn giữa yờu cầu nhiệm vụ nhận thức với tri thức và kinh nghiệm săn cú. Tỡnh huống này phản ỏnh một cỏch lụgic và biện chứng quan hệ bờn trong giữa tri thức cũ, kỹ năng cũ, kinh nghiệm cũ đối với yờu cầu giải thớch sự kiện mới hoặc đổi mới tỡnh thế.
Theo quan điểm kiến tạo trong tõm lý học, học tập là một quỏ trỡnh trong đú người học xõy dựng kiến thức cho mỡnh bằng cỏch thớch nghi với mụi trường sinh ra những mõu thuẫn, những khú khăn và những sự mất cõn bằng. Vỡ vậy, điều quan trọng là thiết lập những tỡnh huống cú dụng ý sư phạm để người học học tập trong hoạt động, học tập bằng thớch nghi. Sau đõy chỳng tụi đưa ra mụt số vớ dụ nhằm vận dung mõu thuẫn để kiến tạo kiến thức.
Vớ dụ 1. Trong mặt phẳng cho đường thẳng a và hai điểm A và B nằm khỏc phớa so với đường thẳng a. Hóy tỡm điểm M nằm trờn đường thẳng a sao cho tổng MA + MB là nhỏ nhất.
Đối với bài toỏn này thỡ hầu hết học sinh đều tỡm ra lời giải một cỏch nhanh chúng.
Với mối điểm M trờn a ta luụn cú MA MB AB+ ≥ dấu bằng xõy ra khi A,
M, B thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng a và đường thẳng qua A, B. Vậy ta cú MA + MB nhỏ nhất là AB.
Vớ dụ 2. Trong mặt phẳng cho đường thẳng a và hai điểm A, B nằm cựng phớa so với đường thẳng a. Hóy tỡm điểm M nằm trờn đường thẳng a sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất.
Khi học sinh đứng trước bài toỏn này thỡ học sinh thấy khú khăn ( mõu thuẫn) là: đường thẳng qua A và B cú thể cắt hoặc khụng cắt đường
a B M M’ ’ A
BA A N M b a
thẳng a, nhưng trong trường hợp cỏt nhau thỡ cỏc em cũng thấy nghi ngờ là tổng khoảng cỏch MA + MB lỳc này khụng bằng AB nữa.
Đõy là một vấn đề được đặt ra cho học sinh giải quyết. Để giải quyết vấn đề này thỡ học sinh cần cấu trỳc lại và tỡm cỏch đưa về bài toỏn trong vớ dụ 1, để đưa về bài toỏn trong vớ dụ 1 thỡ ta cần tạo ra hai điểm khỏc phớa so với đường thẳng a. Để làm được điều đú ta cần tỡm điểm B' khỏc phia so với B mà khoảng cỏch giữa B và B' tới M là bằng nhau, từ đú ta tỡm ra ngay lời giải cho bài toỏn.
Gọi B' là điểm đối xứng với B qua đường thẳng a thỡ ta cú MB = MB'. Khi đú bài toỏn trở về bài toỏn trong vớ dụ 1.
Vớ dụ 3. Hai thành phố M và N nằm ở hai phớa của một con sụng rộng cú hai bờ là a và b song song với nhau. M nằm phớa bờ a, N nằm phớa bờ b. Hóy tỡm vớ trớ A nằm trờn bờ a và vớ trớ B nằm trờn bờ b để xõy một chiếc cầu AB nối hai bờ sụng đú sao cho AB vuụng gúc với hai bờ sụng và tổng khoảng cỏch MA + MB ngắn nhất.
Đứng trước bài này học sinh lại thấy lỳng tỳng là khụng biết vận dụng hai bài toỏn trờn ở chỗ nào, điều mõu thuẫn
là trong bài toỏn này lại tồn tại hai đường thẳng song song. Để giải quyết điều mõu thuẫn đú thỡ học sinh phải nghĩ cỏch dồn hai đường thẳng trờn thành một đường thẳng để ỏp dụng vớ dụ 1. Cú nghĩa là phải dựng một phộp dời hỡnh nào đú để đưa a về b, đú chớnh là phộp tịnh tiến. a M ’ M A ’ B A
YX X B' A' B A O M2 M1 M
Giả sử đó tỡm được cỏc điểm A và B thoả món điều kiện của bài toỏn. Lấy cỏc điểm C, D tương ứng thuộc a và b sao cho CD vuụng gúc với a. Phộp tinh tiến theo vộc tơ CDuuur
biến A thành B và điểm M biến thành M'. Khi đú
MA = M'B. Do đú:
MA + BN ngắn nhất khi và chỉ khi M'B + BN ngắn nhất hay là M', B, N thẳng hàng từ đú ta tỡm được vớ trớ của A và B.
Vớ dụ 4. Trong mặt phẳng cho gúc xOy, điểm M nằm trong gúc xOy. Hóy tỡm vớ trớ của hai điểm A và B lần lượt nằm trờn hai tia Ox và Oy sao cho tổng khoảng cỏch MA + AB + BM ngắn nhất.
Ở bài toỏn này học sinh gặp phải khú khăn khi đi tỡm vớ trớ A và B là cả AM, AB, BM đều biến thiờn và khụng cú cạnh nào cố định. Để giải quyết khú khăn trờn học sinh cần phải huy động kiến thức để tỡm cỏch đưa ba đoạn thẳng trờn về một đoạn thẳng cố định. Trong bài toỏn trờn chỉ cú cỏc yếu tố cố định là M và hai tia Ox, Oy, vỡ thế ta nghĩ ngay tới việc tạo ra đoạn thẳng cố định xuất phỏt từ M bằng cỏch lấy đối xứng với M qua Ox và Oy.
Gọi M1 và M2 lần lượt là hai điểm đối xứng với M qua hai tia Ox và Oy khi đú ta cú M1M2 là cố định.
Mặt khỏc do M1 và M2 là hai điểm đối xứng với M qua hai tia Ox và Oy nờn với mối điểm A trờn Ox và điểm B trờn Oy thỡ ta luụn cú:
AM1 = AM và BM2 = BM.
Ta cú MA + AB + BM = M1A + AB + BM2. Mà ta cú đường gấp khỳc M1A + AB + BM2 ≥ M1M2, đẳng thức xẩy ra khi bốn điểm M1, A,
HM2 M1 M2 M1 P N M C B A (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
B, M2 thẳng hàng. Vậy giỏ trị nhỏ nhất của MA + AB + BM là đoạn thẳng M1M2 và vị trớ của A, B là giao điểm của đường thẳng M1M2 với hai tia Ox và Oy.
Vớ dụ 5. Cho tam giỏc nhọn ABC, ba điểm M, N, P lần lượt nằm trờn ba cạnh BC, AB, AC. Hóy tỡm vị trớ của M, N, P sao cho chu vi tam giỏc MNP nhỏ nhất.
Ở đõy học sinh gặp phải mõu thuẫn là giữa bài toỏn trong vớ dụ 4 và bài toỏn trong vớ dụ 5 tuy cú sự liờn quan (bài toỏn mở rộng) nhưng trong bài toỏn ở vớ dụ 4 cú một yếu tố cố định là M cũn đối với bài toỏn này cả ba yếu tố là M, N, P khụng cú yếu tố nào cố định cả.
Để khắc phục điều này đũi hỏi học sinh phải suy nghĩ theo hướng là giả sử một trong ba yếu tố trờn cố đinh hay là đó tỡm được để ỏp dụng bài toỏn trong vớ dụ 4. Từ suy nghĩ trờn ta cú lời giải sau đõy:
Giả sử M cố định khi đú bài toỏn trờn hoàn toàn tương tự bài toỏn trong vớ dụ 4.
Gọi M1 và M2 là hai điểm đối xứng với M qua hai cạnh AB và AC khi đú theo bài toỏn trong vớ dụ 4 ta cú:
Chu vi tam giỏc MNP nhỏ nhất bằng độ dài đoan thẳng M1M2 và vị trớ của N, P là giao điểm của đường thẳng qua M1M2 với hai cạnh của tam giỏc ABC là AB và AC.
Vẫn đề đặt ra ở đõy là vị trớ của M ở đõu thỡ đoạn thẳng M1M2 ngắn nhất. Theo trờn ta cú tam giỏc AM1M2 là một tam giỏc cõn tại A, gúc
ã
1 2
M AM cố định và AM1 = AM2 = AM. Nờn đoạn thẳng M1M2 ngắn nhất khi và chỉ khi cạnh AM1 ngắn nhất hay là đoạn AM ngắn nhất. Trong tam
giỏc ABC thỡ AM ngắn nhất khi và chỉ khi M là chõn đường cao của tam giỏc hạ từ A. Từ đú ta tỡm được vị trớ của M, N, P.
Qua mấy vớ dụ trờn chỳng ta thấy nếu trong khi dạy học chỳng ta biết cỏch phỏt hiện cỏc mõu thuẫn và vận dụng cỏc mõu thuẫn đú vào việc kiến tạo tri thức thỡ học sinh tiếp thu kiến thức một cỏch dễ dàng hơn, đồng thời cũn tạo cho học sinh cú sự nhạy bộn, phỏt triển tư duy sỏng tạo.
2.3. Sử dụng chướng ngại trong vai trũ dạy học theo lý