1.3.Chướng ngại và sự biểu hiện của nú trong dạy học Toỏn.
2.1.2. Sử dụng mõu thuẫn giữa trực quan và trừu tượng trong vai trũ tạo tỡnh huống học tập.
trũ tạo tỡnh huống học tập.
Theo triết học Mac - Lờnin thỡ " Từ trực quan sinh động đến tư duy trỡu tượng, từ tư duy trỡu tượng đến thực tiễn - đú là con đường biện chứng của sự nhận thức chõn lý, của sự nhận thức hiện thực khỏch quan".
Trong toỏn học đặc biệt là trong hỡnh học thỡ việc sử dụng cỏc mụ hỡnh trực quan, sự trừu tượng cao của người học. Toỏn học càng phỏt triển thỡ càng trừu tượng, từ những hỡnh ảnh cụ thể tiến lờn cỏc khỏi niệm trong toỏn học; từ những hỡnh ảnh vẽ trờn giấy, bảng đi đến tưởng tượng, lập luận lụgic để đi đến giải quyết cỏc vẫn đề phức tạp trong toỏn học; hỡnh học phỏt triển từ xột trong hỡnh học phẳng lờn hỡnh học khụng gian.
Vớ dụ 1: Trong khi dạy học phần vị trớ tương đối của hai đường thẳng trong khụng gian ta thấy:
Trong kgụng gian cho hai đường thẳng a, b. Hỏi cú những khả năng nào xẩy ra giữa hai đường thẳng trờn.
Vỡ học sinh đó được học về vị trớ tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng và vỡ khi học sinh vẽ hai đường thẳng lờn giấy, bảng chỉ thấy được cỏc trường hợp cắt nhau; trựng nhau; song song với nhau mà thụi. Nờn học sinh đó nhầm lẫn (gặp phải điều mõu thuẫn) là đó bị trực quan đỏnh lừa. Đõy là một vẫn đề được đặt ra cho học sinh tỡm hiểu, để nắm được về vớ trớ tương đối ta cú thể cho học sinh hoạt động sau:
Trong trường hợp cỏc em vẽ và xột ở trờn thỡ hai đường thẳng a, b cú đặc điểm gỡ?
Cõu trả lời mong đợi: hai đường thẳng a, b cựng nằm trong một mặt phẳng.
Trong khụng gian ngoài trường hợp là hai đường thẳng a, b cựng nằm trong một mặt phẳng thỡ cũn trường hợp nào nữa hay khụng?
Cõu trả lời mong đợi: ngoài trường hợp là hai đường thẳng a, b cựng nằm trờn một mặt phẳng thỡ cũn trường hợp hai đường thẳng a, b nằm trờn hai mặt phẳng phõn biệt.
Trong trường hợp hai đường thẳng a,b nằm trờn hai mặt phẳng phõn biệt thỡ chỳng cú điểm chung nào hay khụng?
Cõu trả lời mong đợi: trong trường hợp này thỡ hai đường thẳng a, b khụng cú điểm chung.
Trong trường hợp trờn hai đường thẳng a, b được gọi là chộo nhau. Giỏo viờn yờu cầu học sinh nờu cỏc trường hợp cú thể xõy ra của hai đường thẳng trong khụng gian.
Vớ dụ 2: Trong khi dạy học phần giao tuyến của hai mặt phẳng ta cho học sinh làm bài toỏn sau:
Cho tứ giỏc ABCD, AB, CD khụng song song với nhau. S là một điểm khụng nằm trờn mặt phẳng (ABCD).
a) Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD). b) Tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD).
Trước khi giải bài này học sinh đó biết cỏch tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng là đi tỡm ớt nhất hai điểm chung.
Khi dạy bài này nếu chỳng ta dựng mụ hỡnh, dựng cỏc phần mềm vẽ hỡnh hoặc vẽ hỡnh lờn bảng thỡ dễ dàng thấy ngay giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD), cũn giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là một vấn đề đối với cỏc em học sinh cú khả năng trừu tượng yếu. Giải:
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD khi đú ta cú:
S và O là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vậy giao tuyến của hai mặt phẳng trờn là đường thẳng đi qua hai điểm S và O.
b) Đối với hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) thỡ ta thấy ngay S là một điểm chung của hai mặt phẳng trờn, vẫn đề được đặt ra cho học sinh là đi tỡm điểm chung thứ hai khỏc điểm S. Mõu thuẫn xõy ra ở đõy là thụng qua mụ hỡnh trực quan thỡ học sinh chỉ nhỡn được cỏc điểm chung của hai mặt phẳng nằm vọn vẹn trong hỡnh trờn hay là mụ hỡnh trờn mà thụi. Để giải quyết mõu thuẫn này thỡ giỏo viờn hóy yờu cầu học sinh xem lại giả thiết của bài toỏn xem cú chi tiết nào liờn quan hay khụng, và từ đú hóy cho học sinh tỡm giao điểm thứ hai của hai mặt phẳng ngoài điểm S.
Ta gọi I là giao điểm của AB và CD khi đú ta cú: S và I là hai điểm chung của hai mặt phẳng núi trờn. Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng núi trờn là đường thẳng đi qua S và I.
Vớ dụ 3. Cho hỡnh chúp S.ABCD với đỏy là hỡnh thang ABCD cú AD / /BC và AD = 2BC. Gọi E là trung điểm của AD và O AC BE= ∩ . I là điểm di động trờn cạnh AC khỏc A và C. Qua I, ta vẽ mặt phẳng ( )α song song (SBE). Tỡm thiết diện tạo bởi ( )α và hỡnh chúp S.ABCD?
I D
CA A
BS S
(Để tỡm giao tuyến của hai mặt phẳng này học sinh phải phõn chia hai trường hợp: I thuộc đoạn AO, khi đú thiết diện là ∆JMN và I thuộc đoạn CO, khi đú thiết diện là tứ giỏc MNPQ (hỡnh dưới)).
Khi học sinh đứng trước bài toỏn trờn cỏc em gặp phải mõu thuẫn là khụng xỏc định được vớ trớ của điểm I vỡ thế khi làm cỏc em dễ mắc sai lầm là khụng xột hết cỏc trường hợp xẩy ra.
OS S A B D C E I J N M O S A B D C E I M P Q N
Vớ dụ 4: Khi chuyển đổi giữa hỡnh học tổng hợp sang hỡnh học giải tớch học sinh gặp phải mõu thuẫn như:
Cho hai đường thẳng d: ax + by +c = 0 và d': a'x + b'y + c' = 0 khi
đú hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi
a b
a '≠ b' với a '.b' 0≠ .
Khi đứng trước bài toỏn này học sinh gặp mõu thuẫn là biểu diễn trực quan thỡ thấy rừ hai đường thẳng cắt nhau, nhưng học sinh khụng sao giải
thớch được sự cắt nhau trờn gắn với điều kiện a b
a '≠ b' . Để giải quyết mõu thuẫn trờn giỏo viờn cú thể giải thớch cho học sinh như sau:
v(b; a)r − , và v'(b'; a ')ur − . Ta cú hai đường thẳng d và d' cắt nhau tại một điểm khi và chỉ khi hai vộc tơ chỉ phương trờn khỏc phương, hay là.
a b v(b; a) kv'(b'; a ') a ' b' − ≠ − ⇔ ≠ r ur .
Vớ dụ 5: Khi dạy học tớnh chất về giao tuyến của ba mặt phăng ta cú thể làm như sau:
Cho học sinh quan sỏt hai hỡnh vẽ sau:
Cho học sinh nhận xột về vị trớ giao tuyến của ba mặt phẳng trong hai hỡnh trờn, từ đú cho cỏc nờu tớnh chất về giao tuyến của ba mặt phẳng đụi một cắt nhau.
Qua cỏc vớ dụ trờn ta thấy nếu khi dạy học giỏo viờn biết cỏch khai thỏc cỏc mõu thuẫn (mõu thuẫn giữa trực quan và trừu tượng), để từ cỏc mõu thuẫn đú tạo ra cỏc tỡnh huống cú vấn đề giỳp học sinh tiếp cận tri thức mới một cỏch tốt hơn thụng qua dạy học giải quyết vẫn đề.
