Bài tập 2.3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(α ) đi qua O, song song AB và SC. Thiết diện đó là hình gì?
Bài tập 2.4: Trong mp cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lợt vẽ bốn đờng thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (α ). Trên a, b, c, d lần lợt lấy A', B', C'
a) Xác định giao điểm D' của đờng thẳng d với (A'B'C') b) Chứng minh A'B'C'D' là hình bình hành.
Bài tập 2.5: Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 với M, N, P thuộc các cạnh t- ơng ứng AA1, CC1, DD1 sao cho
1 1 1 1 1 1 C D P C C C N C AA AM = = Gợi ý:
Cần chọn mp(γ ) chứa BC sao cho việc tìm giao
tuyến của mp(γ)và (MNP) không quá khó. Học sinh th-
ờng nhận thấy đầu tiên là mp(ABCD) hoặc mp(BCC1B1). Giáo viên phân tích để học sinh thấy rằng chọn một trong hai mặt phẳng này đều đợc.
Nếu chọn mp(γ ) ≡ (ABCD). Hãy tìm giao tuyến của (ABCD) với (MNP)? 1 1 1 1 1 D C P C C C N C = ⇒ NP // CD1, NP∩ CD = N'
Mp(MNP) và mp(ABB1A1) chứa hai đờng thẳng song song (NP // A1B) nên giao tuyến MM' phải song song với A1B (M' ∈AB)
⇒ Trong mp(ABCD): M'N' ∩ BC = Q là giao điểm cần tìm.
Bài toán 3: Cho hai nửa đờng thẳng Ax, By cố định chéo nhau. M, N là hai điểm di động trên Ax, By. Tìm tập hợp trung điểm I của MN.
Lời giải:
- Phần thuận: Gọi O là trung điểm của AB. Kẻ Ox' // Ax, Oy' // By
MM' // AB (M'∈ Ox'), NN' // AB (N' ∈ Ox') Suy ra: AOM'M và BON'N là các hình bình hành, do đó MM' // NN' và MM' = NN'. Hay MM'NN' là hình bình hành
=> M'N' ∩ MN = I Vậy I ∈ (Ox', Oy').
Khi M chạy trên Ax, N chạy trên By thì I chạy trên mp(Ox', Oy') = (α ) giới hạn bởi các tia Ox', Oy'
- Phần đảo: Lấy I bất kỳ trong mp qua O song song với Ax, By đợc giới hạn bởi Ox', Oy'. Trong (α ), dựng ảnh d của Ox' qua phép đối xứng tâm I.
d ∩ Oy' = N', IN' ∩ Ox' = M' => I là trung điểm của M'N'.
Kẻ M'M // AB (M ∈Ax), N'N // AB (N∈ By). Ta chứng minh đợc MM'NN' là hình bình hành nên MN đi qua trung điểm I của M'N' và I cũng là trung điểm của MN.
Vậy quỹ tích I là phần mặt phẳng qua trung điểm O của AB, song song với Ax, By đợc giới hạn bởi các tia Ox', Oy' lần lợt song song và cùng chiều với Ax, By.
Giáo viên nên lu ý với học sinh rằng qua 2 đờng thẳng c và d không cùng trong một mặt phẳng (c và d chéo nhau) bao giờ cũng dựng đợc hai mặt phẳng song song với nhau. Do đó quĩ tích trung điểm các đoạn thẳng MN tựa trên c và d có thể coi là một bộ phận của quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng chắn giữa
hai mặt phẳng song song. Điều này sẽ giúp ta nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bài toán tơng tự với bài toán vừa giải.
Bài toán 3.1: Cho hai đờng thẳng chéo nhau x, y. A và B là hai điểm cố định thứ tự trên x, y.M chuyển động trên x, N chuyển động trên y. I là điểm chia MN theo tỷ số k. Tìm tập hợp điểm I?
Trong bài toán trên nếu xem I là điểm chia đoạn MN theo tỷ số -1 thì bài toán 3.1 là tổng quát của nó theo hớng I là điểm chia đoạn MN theo tỷ số k (nh vậy bài toán 3 là trờng hợp đặc biệt của bài toán 3.1).
* Sau khi giải bài toán 3.1, giáo viên đặt vấn đề nếu AM = BN thì kết quả thay đổi nh thế nào? Điều này có thể gây hứng thú cho học sinh vì nó rất gần với bài toán đầu.
Bài toán 3.2: Cho hai đờng thẳng chéo nhau x, y. A và B là hai điểm cố định ttheo thứ tự trên x, y. M chuyển động trên x, N chuyển động trên y. I là điểm chia MN theo tỷ số k. Tìm tập hợp điểm I khi AM = BN?
H
ớng dẫn:
áp dụng bài toán 3.1 ta đã có I ∈ mp(x', y') ( x', y' lần lợt là các đờng thẳng qua O song song với x và y )
- Bây giờ xét trong mp(x', y') khi đó ? ' (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
'
=
INIM IM
Từ đó có thể quy về bài toán phẳng nào?
(Bài toán quy về tìm tập hợp điểm I trong mp (x'Oy') sao cho I chia M'N' theo tỷ số k)
Lời giải:
- Phần thuận:
M' ∈ Ox' sao cho MM' // AB, N' ∈ Oy' sao cho NN' // AB. => MM' // NN' MM' = OA => MM' = k . NN' NN' = OB Trong mp (MM'NN') : MM' // NN' MM' = k . NN' ⇒ M', N', I thẳng hàng, MI = K . NI M'I = k . N'I
=> I ∈ mp(x'Oy') và I chia đoạn M'N' theo tỷ số k. Ta có: OM' = ON'
Gọi N'' là điểm đối xứng của N' qua O
Gọi d là đờng thẳng qua O và qua I: '
.' k IN ' k IN
IM =
Gọi d' là đờng thẳng qua O và qua I' : ' ' . ' 'M k IN I =
Khi M, N lần lợt chạy trên x, y thì I chạy trên d, d'
- Phần đảo:
Dựng mp(x'Oy'), trên đó dựng đờng thẳng d và d' Lấy điểm I bất kỳ trên d hoặc trên d'
Dựng đờng thẳng d1 là ảnh của đờng thẳng Ox' qua k I
V−1/
d1 ∩ Oy' = N'; IN' ∩ Ox' = M' => I chia M'N' theo tỷ số k. Kẻ M'M // AB (M ∈x)
N'N // AB (N∈ y)
Khi đó trong mp(MM'NN') có: MM' // NN'; MM' = k . NN'; IM' = k . IN'
=> M, N, I thẳng hàng và I chia MN theo tỷ số k.
* Xét bài toán trong phẳng:
Cho góc xOy; A, B lần lợt trên Ox, Oy. A', B' lần lợt trên Ox, Oy sao cho A'B' // AB. Tia Oz cắt AB và A'B' lần lợt tại M và M'. Chứng minh:
'' ' ' ' A M B M MA MB =
(Việc chứng minh không khó)
Từ đó có thể khái quát bài toán 3.2 nh sau:
Bài toán 3.3: Cho hai đờng thẳng chéo nhau x, y; A và B là hai điểm cố định theo thứ tự trên x, y. M chuyển động trên x, N chuyển động trên y. I chia MN theo tỷ số k. Tìm tập hợp I khi AM = l . BN (l là hằng số)
(Lời giải tơng tự) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
* Xét bài toán phẳng:
Cho góc xOy. M di động trên Ox, N di động trên Oy sao cho OM + ON = 2l (const). Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
Gợi ý học sinh dự đoán quỹ tích:
Nếu M0 ∈Ox sao cho OM0 = 2l thì N0 ≡ O => Trung điểm của M0N0 là I0
Nếu N1 ∈Oy sao cho ON1 = 2l thì M1 ≡ O => Trung điểm của M1N1 là I1: OI1 = l Trực quan cho thấy I0, I, I1 thẳng hàng.
Quỹ tích điểm I có phải là đờng thẳng I0I1? Câu hỏi đặt ra cho học sinh là chứng minh I0, I, I1 thẳng hàng.
- Phần thuận: Kẻ đờng thẳng qua M song song với Oy cắt I0I1 tại I2
Mặt khác OI0 = OI1 => ∆I0OI1 cân tại O => I1I0O = I0I1O Mà I0I2M = I0I1O (đồng vị) nên MI2I0 = I1I0O
=>∆I0MI2 cân tại M => MI0 = MI2
Do đó NI1 = MI2. Kết hợp với NI1 // MI2 nên MI1NI2 là hình bình hành => Trung điểm I của MN là trung điểm của I1I2.
=> I ∈ I0I1 {I nằm trên đoạn I0I1}
- Phần đảo: Lấy I bất kỳ trên I0I1. Lấy I2 đối xứng với I1 qua I, kẻ qua I2 đờng thẳng song song với Oy cắt Ox tại M. MI kéo dài cắt Oy tại N. Ta có: MI2 // NI1
MI0 = MI2 (do ∆I0MI2 cân tại M) NI1 = MI0
=> MI2 = NI1
Do đó MI2NI1 là hình bình hành.
Vì I là trung điểm của I1I2 nên I là trung điểm của MN. Vậy {I} là đoạn I0I1
Xét trong không gian đa ra bài toán 3.4
Bài toán 3.4: Cho hai nửa đờng thẳng Ax và By. M, N là hai điểm thay đổi trên Ax, By. Gọi I là trung điểm của MN. Tìm quỹ tích I trong trờng hợp AM + BN = 2l (l = const).
Một số bài toán tơng tự khác:
Bái toán 3.5: Ba đờng thẳng a, b, c từng đôi một không cùng nằm trong một mặt phẳng. Một mp(γ) cắt chúng theo thứ tự ở A, B, C. Tìm trọng tâm G
của ∆ABC khi mp(P) di động song song với vị trí ban đầu của nó.
Bài toán 3.6: Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D'. M,N tơng ứng di động trên các đoạn A'C' và BD. Gọi I là trung điểm của MN. Tìm {I}.
Bài toán 3.7: Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D'. Điểm X chuyển động trên cạnh của hình lập phơng theo hớng ABCDA, điểm Y chuyển động trên cạnh của hình lập phơng theo hớng B'C'CBB' với cùng vanan tốc với X. Hai điểm X và Y xuất phát cùng một lúc từ A và B' tơng ứng. Gọi I là trung điểm của XY. Tìm {I}.
Bài toán 4: Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng bất kỳ song song với AC và BD cắt tứ diện theo tứ giác PQRS (Q thuộc BC).
a/ chứng minh: PQRS là hình bình hành. b/ PQRS là hình thoi khi Q ở vị trí nào?
c/ xác định vị trí Q để diện tích tứ giác PQRS max Lời giải: a) Việc chứng minh câu a rất dễ dàng, học sinh chỉ cần dựng đợc thiết diện.
b) PQAC = BCBQ ⇒ PQ = AC BC BQ . QRBD =QCBC ⇒ QR = BD BC QC . PQ = QR ⇔ BQ . AC = QC . BD ⇔ QCBQ = ACBD => Vị trí Q: Q chia cạnh BC theo tỷ số BDAC c) SPQRS = PQ.QR.sin PQˆR sinPQˆR = const BD QR AC PQ BC QC BC BQ BD QR AC PQ . 2 1≥ = + = + => PQ . QR .AC.BD 4 1 ≤ Dấu "=" xảy ra ⇔ BD QR AC
Bài toán 4.1. Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm O. Gọi S là điểm nằm ngoài ABCD sao cho SB = SD. Gọi M tuỳ ý trên đoạn AO với AM = x. Mặt phẳng(α ) qua M song song với SA, BD cắt SO, SB, AB lần lợt tại N,P,Q.
a/ Tứ giác MNPQ là hình gì?
b/ Cho SA = a. Tính SMNPQ theo a và x. Tìm x để SMNPQ max. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài toán 4.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (đáy lớn là AB=2a, AD=CD=a). Mặt bên SAB là tam giác đều. Gọi (α ) là mặt phẳng qua M(nằm trên AD) và song song với SA và CD. (α ) ∩ BC, SC, SD lần lợt tại N, P, Q.
a/ Tứ giác MNPQ là hình gì?
b/ Đặt AM=x. Tính SMNPQ theo a, x. Tìm max, min ( nếu có).
Bài toán 4.3. Cho tứ diện ABCD cạnh a. M,P là hai điểm di động trên các cạnh AD và BC sao cho AM = CP = x. Một mặt phẳng qua M, P và song song với CD cắt tứ diện theo một thiết diện.
a/ Chứng minh: Thiết diện thông thờng là một hình thang cân. b/ Xác định x để diện tích của thiết diện đạt min.
Bài toán 4.4. Cho hình chóp S.ABC. O là một điểm bên trong tam giác ABC. Qua O vẽ các đờng thẳng song song với SA, SB, SC cắt các mặt (SBC), (SAC), (SAB) theo thứ tự tại A', B', C',.
a/ Nêu cách dựng ba điểm A', B', C'. b/Chứng minh rằng : SC OC SB OB SA
OA'+ '+ ' có giá trị không đổi khi O di động trong tam giác ABC.
c/ Xác định O để OA'.OB'.OC' đạt giá trị lớn nhất.
Dạy học học bài tập chơng quan hệ song song cần chú ý dạng bài toán liên quan đến PCSS. PCSS có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học không gian cụ thể là lớp các bài toán có chứa bất biến afin.
Tính thẳng hàng: PCSS biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng hoặc trùng nhau.
Tỷ số độ dài của hai đoạn thẳng: PCSS không làm thay đổi tỷ số độ dài của hai đoạn thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đờng thẳng.
Tính song song, đồng quy: PCSS biến hai đờng thẳng song song thành hai đờng thẳng song song hoặc trùng nhau. PCSS biến chùm đờng thẳng đồng quy thành chùm đờng thẳng đồng quy hoặc trùng nhau.
Nguyên tắc chung của giải bài tập sử dụng PCSS là đa bài toán trong không gian về bài toán tròn mặt phẳng (đơn giản hoặc quen thuộc hơn).
Bài toán 1: ảnh của tứ diện ABCD qua các PCSS sau là gì?
a/ Phép chiếu song song có phơng chiếu là phơng của đờng thẳng AB, mặt phẳng chiếu là mp(P) bất kỳ cắt AB.
b/ Phép chiếu song song có phơng chiếu là phơng của đờng thẳng MN trong đó M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD. Mặt phẳng
chiếu là mp(Q) bất kỳ cắt MN. Lời giải:
a) mp(P) là mặt phẳng cắt AB tại A'. Thực hiện PCSS ((P),AB):
Đờng thẳng AB có ảnh là A'.
Gọi C', D' lần lợt là ảnh của C, D. Do CD không song song với AB nên C', D' là 2 điểm phân biệt và khác A'.
Vậy ảnh của tứ diện ABCD qua PCSS ((P),AB) là tam giác A'C'D'.
b) Đờng thẳng MN cắt mp (Q) tại I. Gọi A', B', C', D' lần lợt là ảnh của A, B, C, D.
Vì M là trung điểm của AB
⇒ I là trung điểm của A'B'.
⇒ I là trung điểm của C'D'.
Do đó A'B' và C'D' cắt nhau tại I
là trung điểm của mỗi đoạn. Suy ra A'C'B'D' là hình bình hành.
Vậy ảnh của tứ diện ABCD qua PCSS ((Q),MN) làm một hình bình hành.
Chú ý: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
i)Từ câu b) suy ra một hình bình hành có thể làm hình biểu diễn cho một tứ diễn bất kỳ.
ii)Ta có thể đặt vấn đề tìm PCSS để ảnh của một tứ diện là một hình bình hành. ảnh của một tứ diện có thể là một hình chữ nhật đợc không? Tứ diện cần phải thỏa mãn điều kiện nào và với phép chiếu song song nào thì điều đó xẩy ra?
Ta biết rằng để hình bình hành A'C'B'D' là hình chữ nhật thì cần phải thỏa mãn thêm điều kiện A'B' = C'D'.
Vì vậy có thể nghĩ tới giả thiết AB = CD. Khi đó mặt phẳng chiếu Q phải song song với AB và CD.
Ta có các bài toán:
Bài toán 1.1: Tìm PCSS để ảnh một tứ diện gần đều là một hình chữ nhật.
Bài toán 1.2: Chứng minh rằng điều kiện có và đủ để tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau là hình chiếu của tứ diện lên các mặt phẳng song song với các cặp cạnh đối là hình chữ nhật.
Bài toán 2: Cho hình lập phơng ABCDA'B'C'D'. Chứng minh rằng A, G, C' thẳng hàng (G là trọng tâm của tam giác A'BD).
H
ớng dẫn : Có thể giải bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng sử dụng PCSS bằng cách chỉ ra một PCSS mà ba điểm đó có ảnh trùng nhau hoặc hai PCSS mà ba điểm đó có ảnh là ba điểm thẳng hàng.
Cách 1: Chọn PCSS ((A'B'C'D'), AC') và chứng minh ảnh của A, G, C' là C'.
Cách 2: Chọn hai PCSS ((A'B'C'D'), AA') và ((A'A'D'D),AB). Chú ý: Bằng cách 2 ta có thể tìm đợc tỷ số AC':AG = 3:1.
Bài toán 3: Cho mp(P) cắt hai đờng thẳng chéo nhau: d và d' tại các điểm tơng ứng A, B. Dựng các điểm M thuộc d, N thuộc d' sao cho: MN // mp(P) và MN có độ dài bằng a cho trớc.
Gợi ý: Có thể chuyển bài toán dựng hình trong không gian sang bài toán trong mp(P) đợc không? Từ đó học sinh có thể suy nghĩ đến sử dụng PCSS để đ- a về việc dựng các điểm trong
mp(P).
Lời giải:
Cách dựng: Dựng đờng thẳng d'' là hình chiếu của d' trên mp(P) theo phơng d.
Lấy điểm C thuộc đờng thẳng d'' sao cho AC = a. Từ C dựng đờng thẳng song song với d cắt đờng thẳng d' tại N. Từ N dựng đờng thẳng song song với AC cắt d tại M. Khi đó M, N là 2 điểm cần dựng.
Chứng minh: Theo cách dựng ta có: M ∈ d, N ∈ d'