I. Rèn luyện kĩ năng vẽ hình
1.1.Hình biểu diễn trong không gian
Vấn đề hình biểu diễn đã đợc trình bày trong SGK, SGV, Sách bài tập hình học không gian và các tài liệu giảng dạy hình học không gian ở trờng PTTH. Có thể hệ thống lại nh sau:
1.1.1. Hình biểu diễn của một hình không gian trên một mặt phẳng là hình chiếu song song của hình học không gian đó lên mặt phẳng chứa hình biểu diễn (hay hình đồng dạng với hình chiếu đó)
1.1.2. Các quy tắc vẽ hình biểu diễn.
Dựa vào các tính chất đợc bảo toàn qua phép chiếu song song là tính chất thẳng hàng của ba điểm, tính chất cùng phơng của hai đờng thẳng, tỉ số của hai đoạn thẳng cùng phơng và chú ý tới một số tính chất không đợc bảo toàn qua phép chiếu song song, dựa vào một nhận xét là: Luôn chọn đợc phơng chiếu sao cho hình biểu diễn không rơi vào trờng hợp đặc biệt, ta có các quy tắc để vẽ hình biểu diễn nh sau:
1. Hình biểu diễn của một đờng thẳng (một đoạn thẳng) là một đờng thẳng (một đoạn thẳng).
2. Nếu điểm A ∈ a thì A' ∈ a', trong đó A' là hình biểu diễn của A, a' là hình biểu diễn của a.
3. Hình biểu diễn của hai đờng thẳng (đoạn thẳng) song song là hai đờng thẳng (đoạn thẳng) song song hoặc trùng nhau.
Từ đó hình biểu diễn của một hình bình hành (hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật) là một hình bình hành, hình biểu diễn của một hình thang là một hình thang.
4. Hình biểu diễn của hai đoạn thẳng song song hoặc hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đờng thẳng là hai đoạn thẳng có tỉ số độ dài bằng tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng đó. Từ đó, nếu A'B' là hình biểu diễn của đoạn AB thì trung điểm M' của A'B' là hình biểu diễn của trung điểm M của đoạn AB. Nếu tam giác A'B'C' là hình biểu diễn của tam giác ABC thì trọng tâm G' của tam giác A'B'C' là hình biểu diễn của trọng tâm G của tam giác ABC.
5. Hình biểu diễn của một tam giác là một tam giác.
6. Hình biểu diễn của một đờng tròn là một elip, hình biểu diễn của một đa giác nội tiếp đờng tròn là một đa giác nội tiếp elip.
Ngoài những quy tắc trên ngời ta còn dùng những quy ớc dùng hình bình hành để biểu diễn một phần của mặt phẳng, dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho những đờng trông thấy và dùng nét vẽ đứt đoạn để biểu diễn cho những đờng bị khuất.
Ví dụ: Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D'. M là trung điểm của cạnh AB, P là trung điểm của cạnh CC'. Hãy xác định các giao điểm của các cạnh hình lập phơng với mặt phẳng (A'MP).
Ta có thể xác định các giao điểm nh sau: A'M cắt B'B tại E.
EP cắt BC tại N và B'C' tại F.
Ta đã xác định đợc các giao điểm M, N, P, Q.
Nh vậy, ta đã sử dụng tính chất (1) để xác định các giao điểm.
Chú ý rằng ta cũng có thể sử dụng tính chất (3) để xác định các giao điểm nh sau: Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng (A'MP) và đờng thẳng C'D'. Vì mặt phẳng (A'AB) song song với mặt phẳng (C'CD) nên A'M // PQ. Vì vậy muốn xác định Q ta chỉ cần vẽ đờng thẳng đi qua P và song song với A'M cắt C'D' tại Q. Tơng tự: đờng thẳng đi qua M và song song với A'Q cắt BC tại N. Ta xác định đợc giao điểm.
1.1.3. Các yêu cầu đối với hình biểu diễn.
Yêu cầu cơ bản là hình biểu diễn phải đúng, nghĩa là phải dựa trên những quy tắc đã nêu trên (các quy tắc đó thể hiện các bất biến trong phép chiếu song song).
Một yêu cầu khác là hình biểu diễn phải trực quan nghĩa là có thể giúp ta hình dung dễ dàng hình không gian đó và phần nào giúp ta giải đợc bài toán.
Ví dụ: (BT3 - trang 27 - SGK 11)
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hãy xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:
a) (SAB) và (SCD). b) (SAD) và (SBC).
Thực chất bài toán này là vẽ hình.
Để giải bài toán này hay nói cách khác là để xác định đợc giao tuyến của hai mặt phẳng, học sinh cần nhận thấy đặc điểm của hai mặt phẳng (ở đây là hai mặt phẳng phân biệt lần lợt đi qua hai đờng thẳng song song AB và CD). Đồng thời sử dụng hệ quả của định lý (về giao tuyến của ba mặt phẳng): "Nếu
hai mp phân biệt lần lợt đi qua hai đờng thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đờng thẳng đó". Và định lý: "Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đờng thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó". Do đó giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đờng thẳng qua S song song với AB.
Trong khi rèn luyện cho học sinh kĩ năng vẽ hình, cũng đồng thời rèn luyện cho học sinh kĩ năng đọc hình vẽ và khắc sâu từng đơn vị kiến thức lý thuyết trong các bớc vẽ hình.
Trên thực tế, ở trờng phổ thông, nhiều khi giáo viên đa ra một bài toán và vẽ luôn hình cho các em. Điều này không phát huy đợc tính độc lập tích cực cho học sinh khi đứng trớc một bài toán hình không gian: học sinh lúng túng không biết xử lý bài toán nh thế nào. Có nhiều lí do dẫn đến điều hạn chế này trong đó lý do phổ biến nhất là hạn chế về mặt thời gian. Tuy nhiên nh A.V.Krutetxki đã nói: "Nếu học sinh biết không phải một trăm định lí mà chỉ năm mơi định lí thôi nhng khi cần thiết có thể tự chứng minh nốt năm mơi định lí kia thì sẽ tốt hơn".
Có nhiều học sinh không hiểu đợc vì sao thầy giáo lại vẽ đợc nh vậy và cũng không "đọc" đợc nội dung trên hình vẽ là nh thế nào. Đó là một nguyên nhân dẫn đến tâm lý sợ môn học này. Chính vì thế, hớng dẫn và tạo cho các em thói quen vẽ hình cùng với giải thích từng đơn vị kiến thức để có bớc vẽ là điều tiên quyết để các em thông hiểu môn học. Nắm vững kĩ năng vẽ hình là giúp các em có đợc phơng tiện trực quan tốt để định hớng cho lời giải bài toán, đặc biệt là khi bắt đầu dạy kiến thức cơ bản hình học không gian (chơng I, II, III của sgk Hình học 11). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Sau đây, chúng tôi đa ra một số bài toán có thể rèn luyện kĩ năng vẽ hình và giải quyết theo hớng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.
Bài toán 1: (BT 4 - trang 27 - SGK hình học 11).
Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R, S là bốn điểm lần lợt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì:
a) Ba đờng thẳng PQ, RS, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy. b) Ba đờng thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy. Đầu tiên học sinh cần vẽ hình để dự đoán vị trí của PQ, RS, AC nh thế nào với nhau Giáo viên có thể sử dụng các câu hỏi nh sau để dẫn dắt học sinh giải quyết bài toán (câu a):
+ P, Q, R, S đồng phẳng thì có nhận xét gì về vị trí tơng đối của PQ và RS?
[ PQ//RS hoặc PQ ∩ RS ≠ ∅ ]
+ Với mỗi trờng hợp đó xét vị trí tơng đối của PQ, RS, AC.
Giáo viên cũng có thể ra bài toán này cho học sinh ở dạng kết luận mở, nghĩa là:
"Cho tứ diện ABCD. Gọi P,Q,R,S là bốn điểm lần lợt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA. Nếu P,Q,R,S đồng phẳng, hãy xác định vị trí tơng đối của các đờng thẳng PQ, RS, AC"
Khi giải bài toán này học sinh thờng mắc sai lầm trong việc xét thiếu tr- ờng hợp (thờng thì các em chỉ xét trờng hợp hai đờng thẳng cắt nhau).
Cho hình tứ diện ABCD với P, Q lần lợt là trung điểm của AB và CD. Gọi R là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2 RC và S là giao điểm của cạnh AD với mặt phẳng (PQR). CMR: AS = 2 SD.
Giải bài toán này học sinh cần vẽ đợc đợc hình. Để vẽ đợc hình, học sinh cần nhớ đợc các quy tắc vẽ hình. Chẳng hạn phải dựa vào quy tắc hình biểu diễn của hai đoạn thẳng song song hoặc hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đ- ờng thẳng là hai đoạn thẳng có tỷ số độ dài bằng tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng đó. Do đó trên hình biểu diễn phải thể hiện P là trung điểm của AB, Q là trung điểm của CP, R∈ BC sao cho BR = 2 RC . Từ đó học sinh tự vẽ hình bằng cố gắng trí tuệ của bản thân. Nếu học sinh gặp khó khăn giáo viên có thể hỏi : + Xác định giao điểm của đờng thẳng AD và mp (PQR) nh thế nào?
[Tìm giao tuyến của mp (PQR) với mặt phẳng chứa AD là đờng thẳng d. Tìm giao điểm của d với AD].
+ Nên chọn mặt phẳng nào chứa AD mà việc tìm giao tuyến đơn giản? [mp (ADC)]
+ Hãy xác định giao tuyến của (ADC) với (PQR)?
[ Hai mặt phẳng này có trớc một điểm chung là Q. Tìm điểm chung thứ hai bằng cách lấy giao điểm PR
và AC là T. QT là giao tuyến cần tìm ]
Khi đó S = QT ∩ AD . Việc còn lại chỉ là chứng minh: AS = 2 SD.
Bài toán 3: (BT 3 - trang 50 - SGK)
Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đờng chéo AC và BF ta lấy hai điểm M, N sao cho AM = BN. Mặt phẳng (α ) chứa MN và song song với AB cắt AD và EF tại M' và N'.
b) Chứng minh M'N' song song với EC. c) Chứng minh MN song song với mp (DEF). Trớc tiên học sinh sẽ không dự đoán đợc MNN'M' là hình gì nếu không biểu diễn đợc một cách chính xác bài toán lên hình vẽ.
Từ hình vẽ học sinh có thể dự đoán MNN'M' là hình thang (MM' // NN')
Từ đó định hớng chứng minh câu a). Việc chứng minh không có gì khó khăn.
Tuy nhiên trong khi vẽ hình mặc dù vẽ đúng nhng có một em học sinh vẽ rơi vào trờng hợp đặc biệt nên thấy là M'N' cũng song song MN. Từ đó dự đoán MNN'M' là hình bình hành.
Do đó các em cố tìm cách chứng minh một điều không đúng.
Cũng cần nói để các em hiểu là: Bài toán của chúng ta là trờng hợp "bất kỳ" thì MNN'M' là hình thang.
Bài toán 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. I ∈ C'D, mp(A'BI) ∩ AD' = J, mp(A'BI) ∩ B'C = K. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng.
Rõ ràng rằng cần thiết phải có hình vẽ trực quan thì mới chứng minh đợc I, J, K thẳng hàng. Tuy nhiên để vẽ đợc hình biểu diễn cần phải sử dụng đến nhiều kiến thức về sự liên thuộc, về quan hệ song song. Trong trờng hợp học sinh cha vẽ đợc hình, giáo viên có thể hớng dẫn học sinh bằng hệ thống các câu hỏi gợi ý.
+ Để xác định đợc điểm J cần phải thực hiện các bớc nào? [Tìm giao tuyến của mp(A'BI) với mặt phẳng chứa AD'. Tìm giao điểm của AD' với giao tuyến vừa tìm đợc, đó là J].
[mp(AA'D'D) chứa AD' và có 1 điểm chung A' với (A'BI). Chỉ cần xác định thêm một điểm chung nữa]. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ Tơng tự nh vậy hãy tìm K là giao điểm của đờng thẳng B'C với (A'BI) và việc này yêu cầu học sinh tự làm.
+ Điểm chung thứ hai xác định bằng cách nào?
Giao tuyến của (A'BI) với (CDD'C') là đờng thẳng qua I song song với CD' vì hai mặt phẳng này đi qua hai đờng thẳng A'B và CD' song song với nhau. Đờng thẳng giao tuyến này cắt DD' tại N thì N là điểm chung thứ hai. Do đó AD' ∩ (A'BI) = AD' ∩ A'N = J.
Trong SGK Hình học 11, chơng II (Quan hệ song song) đã đa ra một số bài toán rèn luyện kỹ năng vẽ hình:
BT3-trang 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng sau đây:
a) (SAB) và (SCD) b) (SAD) và (SBC)
BT3-trang 32: Cho hình chóp S.ABCS có đáy ABCD là hình tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình
chóp cắt bởi mặt phẳng (α ) đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì?
BT4-trang 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(β) đi quan trung điểm M của
cạnh AB, song song với BD và song song với SA.
BT5-trang 41: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA'//BB'//CC'. Gọi H là trung điểm của cạnh A'B'
b) Tìm giao tuyến d của hai mp (AB'C') và (A'BC)
c) Xác định thiết diện của mp(H,d) với lăng trụ ABC.A'B'C' đã cho.
Thực chất của bài toán xác định thiết diện cũng là xác định giao tuyến của hai mặt phẳng. Nh vậy, bài toán xác định hình mà giáo viên cần lu ý cho học sinh là:
- Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
- Xác định giao điểm của mặt phẳng với đờng thẳng.
Đây cũng là khó khăn của học sinh trong vẽ hình để giải quyết bài toán không gian. Để khắc phục khó khăn này, nên xây dựng quy trình giải cho từng dạng toán. Phơng pháp xây dựng một quy trình là:
- Xuất phát từ việc giải một số bài toán cơ bản - Phát biểu quy trình
- Vận dụng quy trình để giải các bài toán khác.
* Quy trình xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Bài toán 5: Cho tứ diện SABC. Gọi M và N là hai điểm thuộc SA và SB sao cho MN không song song với AB. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (CMN).
Giáo viên hớng dẫn bằng hệ thống câu hỏi:
- Hai mặt phẳng này đã có điểm chung nào cha?
- Tìm thêm một điểm chung thứ hai?
Lời giải:
C là một điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (CMN).
Vì MN không song song với AB nên MN cắt AB tại I là điểm chung thứ hai của (ABC) và (CMN). Vậy giao tuyến là đờng thẳng CI.
Bài toán 6: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng . Gọi M và N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Tìm giao tuyến của hai mp (BCD) và (DMN)
H ớng dẫn:
- Hai mặt phẳng đã có điểm chung nào ch- a? (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Hai mp (BCD) và (DMN) có đặc điểm gì? [MN // BC]
Lời giải:
D là một điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DMN).
Vì M và N tơng ứng là các trung điểm của AB và AC nên MN//BC.
Hai mặt phẳng (BCD) và (DMN) lần lợt đi qua hai đờng thẳng song song với nhau là MN và BC nên giao tuyến của chúng song song với BC (theo hệ quả - trang 32- SGK).
Do đó giao tuyến cần tìm là đờng thẳng qua D song song với BC.
Từ hai bài toán trên rút ra nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng có hai cách:
Cách 1: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng Điểm chung có thể tìm là:
Điểm chung trong các điểm đã cho của hai mặt phẳng
Điểm chung đợc xác định là giao điểm của đờng thẳng trong mặt phẳng này với đờng thẳng trong mặt phẳng kia. Hai đờng thẳng này nằm trong mặt phẳng thứ ba cắt cả hai mặt phẳng đã cho.
Cách 2: Tìm một điểm chung và một phơng của giao tuyến đợc xác định trên cơ sở một định lý, một hệ quả nào đó.
á