toán và nâng dần mức độ khó khăn
Biện pháp này phù hợp quy luật hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp.
J.A.Koomenxki cho rằng "Dạy học là một quá trình từ từ và liên tục, những điều hôm nay phải củng cố cho cái hôm qua và mở ra con đờng cho ngày mai".
G.Pôlia đã phân loại mức độ khó dễ của các bài toán:
Loại I: Các bài toán có thể giải đợc bằng cách vận dụng trực tiếp quy tắc mẫu hoặc tuân theo một cách máy móc các ví dụ mẫu có ngay trớc mắt học sinh. Thầy giáo thờng cho các bài toán nh thế vào cuối giờ.
Loại II: Khó hơn, nó đợc giải tuy cũng vận dụng trực tiếp quy tắc đã đợc học trong lớp hoặc tuân thủ máy móc ví dụ mẫu đã biết tuy nhiên học sinh cha rõ ngay nên chọn quy tắc mẫu nào hoặc vận dụng ví dụ mẫu nào, học sinh cần có sự lựa chọn sơ bộ trong một phạm vi nào đó.
Loại III: Còn khó hơn nữa. Để giải quyết đợc chúng, học sinh cần phải biết kết hợp một số quy tắc hoặc ví dụ đã học. Bài toán sẽ không quá khó nếu một tổ hợp nào đấy tơng tự với nó nhng không phải chính nó đã đợc thảo luận ở lớp. Nếu tổ hợp này là mới, hoặc cần phải phối hợp nhiều lần giáo trình (có thể rất xa nhau), thì bài toán thờng rất khó.
Trong QTDH, việc tạo ra hệ thống bài tập theo từng chủ đề theo hớng nâng dần mức độ khó khăn là cần thiết. Bởi vì xây dựng hệ thống bài toán có định hớng và có chủ định góp phần thực hiện tốt và đầy đủ các chức năng của bài tập toán (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra, đặc biệt là chức năng phát triển). ([1], 131-132)
Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABCD. AB không song song với CD. Tìm giao tuyến của hai mp (SAB) và (SCD).
Học sinh có thể dễ dàng giải bài toán này: Do AB, CD đồng phẳng, AB không song song với CD nên gọi N = AB ∩ CD thì giao tuyến của (SAB) và (SCD) là SN.
Bài tập 1.1: Cho hình chóp S.ABCD. AB không song song với CD.M là trung điểm của SC.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABM) và (SAD).
Giáo viên gợi ý theo các câu hỏi:
- Hai mặt phẳng có điểm nào chung? [điểm A]
- Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta làm thế nào? Có thể giải bài toán này tơng tự bài toán 1 không? Nếu học sinh vẫn cha giải quyết đợc giáo viên có thể tiếp tục gợi ý:
- Trên hình vẽ có hai đờng thẳng nào trên (AMB) và (SAD) đóng vài trò tơng tự nh AB và CD trong bài toán 1? Sau khi học sinh phát hiện không có hai đờng thẳng nào thuộc hai mặt phẳng mà đồng phẳng, giáo viên gợi ý:
- Có thể tạo ra hai đờng thẳng nh thế không? bằng cách nào? Để từ đó học sinh có thể phát hiện đợc cần một mặt phẳng phụ (γ ) và hai đờng thẳng
chính là hai giao tuyến của (γ ) với (ABM) và (SAD).
Nên chọn (γ) là mặt phẳng nào?
Có thể nhiều học sinh đa ra ý kiến khác nhau, giáo viên phân tích các ý kiến để lựa chọn ý kiến hợp lý nhất.
Lu ý với học sinh là giao điểm của hai giao tuyến của mặt phẳng (γ) với
mp(ABM) và mp(SCD) phải khác A.
⇒ chọn mp(γ ) = (SCD)
(SCD) ∩ (SAD) = SD AB ∩ CD = N
=> (SCD) ∩ (MAB) = MN MN ∩ SD = P
=> (SAD) ∩ (MAB) = AP
Nhận xét: Rõ ràng trong lời giải không
sử dụng hết toàn bộ giả thiết M là trung điểm
của SC mà chỉ sử dụng giả thiết M ∈ SC. Và nh G.Polia đã nói: "Hãy tạo khả năng cho học sinh tham gia thiết lập bài toán mà họ cần phải giải. Nếu họ góp phần vào việc thiết lập bài toán thì học sẽ làm việc tích cực hơn trong việc giải"([5],368). Vì vậy ở đây giáo viên nên khuyến khích học sinh phát biểu bài toán tơng tự.
Bài tập 1.2: Cho hình chóp S.ABCD; AB không song song với CD. M∈
SC. Tìm giao tuyến của (SAD) và (ABM).
Chú ý: Gọi I = AM ∩ BP O = AC ∩ BD (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bằng trực giác dự đoán S, I , O thẳng hàng. Do đó có thể đặt vấn đề xây dựng bài toán.
Bài tập 1.3: Cho hình chóp S.ABCD. AB không song song với CD. M thay đổi trên SC. SD ∩ (AMB) = P. Gọi I là giao điểm của AM và BP. Chứng minh SI đi qua một điểm cố định.
Bài tập 1.4: Cho hình chóp S.ABCD. AB không song song với CD. Điểm M bất kỳ trên SC. SD ∩ (AMB) = P. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh SO, BP, AM đồng quy.
Bài tập 1.5: Cho hình chóp S.ABCD. AB không song song với CD. Điểm M bất kỳ trên SC. SD ∩ (AMB) = P. I là giao điểm của AM và BP. O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh S, I, O thẳng hàng.
Ba bài toán này hoàn toàn tơng tự nhau và có xuất phát từ bài tập 1.1. Ta giải bài tập 1.5.
- Làm thế nào để chuyển bài tập 1.5 về bài tập 1.1?
M ∈ SC => AM ∈ (SAC) => I ∈ (SAC) => S, O, I ∈ (SAC) P ∈ SD => BP ∈ (SBD) => I ∈ (SBD) => S, O, I ∈ (SBD)
=> S, O, I thuộc giao tuyến của (SAC) và (SDB) => S, O, I thẳng hàng. Giáo viên có thể đặt vấn đề nếu AB // CD kết quả của bài toán thay đổi nh thế nào?
Vì (MAB) và (SCD) có đặc điểm: chứa 2 đờng thẳng song song với nhau (AB // CD) nên giao tuyến phải song song với AB ⇒ Giao tuyến là đờng thẳng qua M và song song với DC. Gọi P là giao điểm của SD với (AMB) thì MP // DC. I = BP ∩ AM.
Nếu M thay đổi thì SI có đi qua điểm cố định nào không?
Bài tập 1.6: Cho hình chóp S.ABCD. Điểm M bất kỳ. SD ∩ (AMB) = P. Chứng minh SI đi qua điểm cố định khi M thay đổi.
Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD. Tìm giao điểm của BD và (SAC).
Học sinh có thể giải bài toán này một cách dễ dàng.
Vì BD ∩ AC = I nên BD∩ (SAC) = I.
Bài tập 2.1: Cho hình chóp S.ABCD. D'∈SD.Tìm giao điểm của D'B với (SAC).
Bài toán này có gần với bài toán 2 không? (Nếu D' ≡ D thì trở thành bài toán 2)
trong mp(SAC) đồng phẳng với BD' nên cha có đợc giao điểm cần tìm.Việc cần làm là làm xuất hiện đờng thẳng trong (SAC) đồng
phẳng với BD' để lấy giao điểm của hai đờng thẳng đó
⇒ Dẫn đến chọn mp(γ ) chứa BD' rồi tìm giao tuyến của mp (γ) với
(SAC). Mp chứa BD' dễ thấy nhất là mp(SBD) => chọn mp(SBD) thì có: (SBD) ∩ (SAC) = SO; O = AC ∩ BD; SO ∩ BD' = O'
Vậy giao điểm cần tìm là O'
Từ hai bài toán này có thể khái quát xây dựng một quy trình tìm giao điểm của đơng thẳng và mặt phẳng (đã nêu phần trớc).
Bài tập 2.2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi O1, O2 là tâm của các mặt bên không chứa A.
a) Tìm giao tuyến của mp(AO1O2) và mp(ABCD).
b) Tìm giao điểm của CC' với (AO1O2) H
ớng dẫn :
a) Hai mặt phẳng (AO1O2) và mp(ABCD) có điểm chung là A và chứa hai đờng thẳng song song (BD // O1O2) nên giao tuyến là đờng thẳng đi qua A và song song với BD.
b) Tìm giao điểm của đờng thẳng CC' với mp(AO1O2) làm thế nào? - Chọn mp chứa CC' là (CDD'C') có một điểm chung O2 với mp(AO1O2) - Gọi A1 là giao điểm của đờng thẳng (qua A song song với BD) với CD => (CDD'C')∩ (AO1O2) = A1O2