Các bài toán của SGK là các bài toán trực tiếp luyện tập cho học sinh nhằm củng cố kiến thức theo từng bài, từng chơng. Đó là các bài toán đã đợc các tác giả lựa chọn để phù hợp với tất cả đối tợng học sinh. Phù hợp ở đây đợc hiểu là: Đối với học sinh khá giỏi có khả năng giải quyết trọn vẹn, ngoài ra còn có khả năng mở rộng bài toán, khái quát hoá bài toán... Đối với học sinh trung bình hay học sinh kém phải có khả năng hiểu bài toán và có thể giải quyết bài toán dới sự hớng dẫn của giáo viên. Tất nhiên để đạt đợc những yêu cầu trên đòi hỏi ở học sinh sự học tập một cách tích cực, sự cố gắng cao. Thực tế cho thấy thái độ của học sinh đối với việc giải bài tập SGK còn tồn tại. Học sinh trung bình yếu gặp nhiều khó khăn khi đứng trớc bài toán dẫn đến việc chán nản, mất niềm tin dẫn đến không còn hứng thú học tập. Ngợc lại học sinh khá giỏi lại xem thờng bài tập SGK và giải quyết một cách qua loa, chung chung. Điều này gây ra khó khăn trong giờ học: làm thế nào để cho cả học sinh giỏi và học sinh kém hơn cùng học tập tích cực. Chúng tôi đề xuất biện pháp khai thác các bài toán SGK theo các hớng:
Xuất phát từ đơn vị kiến thức vừa đợc học sẽ làm cho học sinh kém tiếp thu thuận lợi, đồng thời thoả mãn nhu cầu hiểu rõ hơn bản chất kiến thức đã học, từ đó tạo hứng thú cho các em.
Nhìn nhận bài toán SGK theo các cách tiếp cận khác nhau. Từ đó có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, có thể xây dựng đợc bài toán mới, củng cố đợc những kiến thức đã học từ trớc đó khá xa sẽ làm cho học sinh giỏi tích cực tìm tòi, suy nghĩ.
Trong học tập cần yêu cầu học sinh làm hết các bài toán ở SGK từ dễ đến khó. Chẳng hạn:
Chứng minh rằng:
a) Nếu một đờng thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại
b) Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
Đây là bài tập vận dụng trực tiếp lý thuyết, giáo viên yêu cầu học sinh khi chứng minh cần có lập luận rõ ràng, logic, nêu rõ sử dụng định lý nào, tính chất nào?
Lời giải:
a) Nếu đờng thẳng a song song với mặt phẳng (α ) thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng (β) song song với (α ) (Hệ quả 1 - đinh lý 3 - trang 34- SGK Hình học 11)
Nếu mặt phẳng (γ ) cũng song song với (α ) thì (γ) và (β) song song
với nhau. (Hệ quả 2 - đinh lý 3 - trang 34-SGK Hình học 11).
Do đó a // (γ) vì a ⊂ (β) (định lý 1 - trang 33-SGK Hình học 11)
b)
Giả sử hai mp song song (α ) và (β) chắn trên hai cát tuyến song song
a và a' hai đoạn thẳng AB và A'B'.
Khi đó: mp (a,a') ∩ mp (α ) theo giao tuyến AA' mp (a,a') ∩ mp (β) theo giao tuyến BB'
=> ABB'A' là hình bình hành. Do đó AB = A'B'
Từ bài toán này có thể đặt ra cho học sinh câu hỏi xét tính đúng sai của các mệnh đề:
+ Hai mặt phẳng thoả mãn tính chất nếu đờng thẳng bất kỳ cắt mặt phẳng này thì cắt mặt phẳng kia là hai mặt phẳng song song.
+ Hai mặt phẳng chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau là hai mặt phẳng song song.
Bài toán 2: (BT3-trang 36 SGK hình học 11)
Cho hai đờng thẳng chéo nhau.Chứng minh rằng có một cặp mặt phẳng duy nhất song song với nhau, mỗi mặt phẳng đi qua một trong hai đờng thẳng đó.
H
ớng dẫn :
- Cần chứng minh những điều gì?
(Chứng minh tồn tại cặp mặt phẳng song song, mỗi mặt phẳng đi qua một trong hai đờng thẳng đó. Sự tồn tại cặp mặt phẳng đó là duy nhất)
- Để chứng minh tồn tại cặp mặt phẳng song song thoả mãn bài toán có thể có những cách nào?
Chỉ ra trực tiếp:
Dựng mp(P) chứa a và song song với b bằng cách lấy O ∈ a.
Trong mp(O,b) dựng đờng thẳng b' // b. Khi đó (P) chính là mặt phẳng chứa a và b' (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Dựng mp(Q) chứa b và song song với (P) (dựng đợc theo hệ quả 1 - đinh lý 3 - trang 34-SGK)
mp(Q) chứa b; mp(P) chứa a
+ Bây giờ cần chứng minh cặp mp(P) và mp(Q) là duy nhất. Để chứng minh cặp (P) và (Q) vừa dựng là duy nhất chỉ cần chứng minh (P) dựng đợc là duy nhất (vì mp(Q) dựng đợc là duy nhất theo (P)). Thông thờng để chứng minh duy nhất ta làm thế nào (có phơng pháp nào)?
Dùng phản chứng: Giả sử có mp(P') ≠ mp(P) qua a và song song với b. Do (P) và (P') cùng song song với b nên chúng song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến song song với b. Theo giả thiết (P) ∩ (P') = a nên a // b => mâu thuẫn. Vậy (P') ≡ (P). Nói cách khác mp(P) dựng đợc là duy nhất).
Bài toán đợc giải quyết.
Sử dụng kết quả của bài toán trên ta có bài toán liên hệ giữa hình hộp và hình tứ diện: "Cho tứ diện bất kỳ. Chứng minh rằng luôn luôn ngoại
tiếp tứ diện đó bởi một hình hộp"
Đặc biệt nếu tứ diện đó là tứ diện đều thì hình hộp ngoại tiếp nó là hình lập phơng.
Nếu tứ diện đó là tứ diện gần đều thì hình hộp ngoại tiếp nó là hình hộp chữ nhật.
Nếu tứ diện đó là tứ diện trực tâm thì hình hộp ngoại tiếp nó là hình hộp có các mặt là hình thoi.
Từ kết quả của bài toán này ta có thể giải đợc nhiều bài toán về hình tứ diện bằng cách đa về trên hình hộp.
Bài toán 3: (BT6 - trang 37- SGK Hình học 11) - Định lý Talét trong không gian
Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song, đờng thẳng a cắt (P), (Q), (R) lần lợt tại A, B, C. Đờng thẳng a' cắt (P), (Q), (R) lần lợt tại A', B', C'.
CMR: ' ' ' ' C B B A BC AB = H ớng dẫn:
+ Trong mặt phẳng, định lý Talét đợc phát biểu nh thế nào?
Cho hai đờng thẳng song song d và d'. Đờng thẳng a và a' cắt nhau tại M và đờng thẳng a cắt d, d' lần lợt tại A, A'. Đờng thẳng b cắt d, d' lần lợt tại B, B'.
Khi đó MAMA' =MBMB'
+ Ta đã chứng minh định lý Talét trong mặt phẳng theo cách nào? (sử dụng tam giác đồng dạng).
+ Vậy trong không gian, liệu ta có thể sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh không? có phải ta luôn có a và a' cắt nhau để tạo ra các tam giác đồng dạng không?
Từ gợi ý này dẫn học sinh đến việc chia các trờng hợp: Trờng hợp 1: a // a' Trờng hợp 2: a∩a'≠φ Trờng hợp 3: a và a' chéo nhau. + Việc chứng minh (TH1) và(TH2) quy về trong mặt phẳng. + Tr- ờng hợp 3: a và a' chéo nhau. (Trường hợp 2) (Trường hợp 3) (Trường hợp 1)
Làm thế nào để đa về bài toán trong mặt phẳng? Việc này đòi hỏi phải vẽ thêm hình (vẽ đờng phụ): Qua A' kẻ đờng thẳng a1 song song với đờng thẳng a. Đờng thẳng này cắt (Q) và (R) lần lợt tại B1, C1. Đến đây có thể yêu cầu học sinh tự giải và trình bày bài toán.
Bài toán này có thể sử dụng phép chiếu song song để giải không? Nhận thấy bài toán yêu cầu chứng minh hai tỷ số bằng nhau nên có thể hớng học sinh suy nghĩ theo cách dùng phép chiếu song song. Việc giải sẽ đợc trình bày ở phần phép chiếu song song.
Vấn đề đáng quan tâm nữa trong bài toán này là bài toán ngợc có đúng không? Nh đã biết, ở cấp 2 học sinh đã đợc học định lý Talét đảo trong mặt phẳng. Bài toán ngợc của định lý Talét trong không gian đợc đặt ra nh sau:
Bài toán 4: Cho hai đờng thẳng ∆ và ∆' chéo nhau. A, B, C ∈∆; A', B', C'∈∆'. Sao cho: ' ' ' ' C B B A BC AB =
Có tồn tại hay không ba mặt phẳng (α ), (β), (γ ) sao cho:
(α ) chứa A, A' ,(β) chứa B, B' và (γ ) chứa C, C' đôi một song song. Nếu tồn
tại thì tồn tại bao nhiêu bộ nh thế?
H
ớng dẫn:
+ Có thể chỉ ra đợc các mp(α ), (β), (γ) thoả mãn không? (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Do ∆,∆' chéo nhau nên các đờng thẳng AA', BB', CC' đôi một chéo nhau. + Dựng mp(α ) chứa AA' và song song với BB' là thực hiện đợc và duy nhất. + Dựng mp(β) chứa BB' và song song với AA' là thực hiện đợc và duy nhất. Đồng thời mp(α ) song song với mp(
β)
+ Dựng mp(γ ) qua CC' và song song
với BB' là thực hiện đợc và duy nhất
Từ tỷ số: BCAB =BA''CB'', xem xét mệnh đề AA' // (γ) là đúng hay sai
Dựng đờng thẳng c1 qua C' và song song với a. Đờng thẳng này cắt (β)
và (α ) tại B1 và A1. Do (α ) // (β) nên B1B' //A1A'
=> ' '' '' 1 1 1 A B B C A B B C = (Talét trong mp) => CABB = BCAB 1 1 1 ' Kết hợp BB1 // AA1 nên ta có BB1 // AA1
=> Trong mp(β) có BB1 và BB' cùng song song với mp(γ ) nên mp(β
) // mp(γ). Do đó (α)//(β)//(γ)
Và hiển nhiên theo cách dựng các mặt phẳng này là duy nhất.
* Định lý thuận Talet trong không gian và định lý đảo Talet trong không gian có nhiều ứng dụng giải toán: Tính tỷ số, chứng minh các mặt phẳng song song, chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng.
Ví dụ 1 (BT4 - trang 50-SGK hình học 11): Cho hai nửa đờng thẳng Ax và By nằm trên hai đờng thẳng chéo nhau. Hai điểm M, N lần lợt di động trên Ax và By sao cho: AM = BN. Chứng minh rằng: MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Lời giải:
Lấy hai điểm cố định M0, N0 theo thứ tự trên Ax, By sao cho AM0 = BN0.
Khi đó: 0 0 BN BN AM AM = .
Theo định lý Talet đảo ta có: AB, M0N0, MN cùng song song với một mặt phẳng. Ta lấy một mặt phẳng (P) cố định song song với AB và M0N0. Vậy khi M, N di động thì đờng thẳng MN song song với mp(P) cố định.
Nhận xét: Tỷ số 0 0 BN BN AM AM
= không phụ thuộc vào giả thiết AN = BN.
Do đó bài toán có thể giải bằng cách tơng tự trong trờng hợ: AM = k.BN (k>0). Ta có bài toán sau:
Cho hai nửa đờng thẳng Ax và By nằm trên hai đờng thẳng chéo nhau. Hai điểm M, N di động trên Ax và By sao cho AM = k.BN (k>0). Chứng minh rằng: MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Ví dụ 2 (BT7-Trang 51-SGK Hình học 11): Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hai điểm M và N lần lợt nằm trên AD và CC' sao cho
'NC NC CN MD AM = . a) Chứng minh rằng: Đờng thẳng MN // mp(AC'B).
b) Xác định thiết diện của hình hộp cắt mặt phẳng đi qua MN song song với mp(ACB').
Bài toán 5 (Bài tập 4 - Trang 41 SGK): Chứng minh rằng tổng bình ph- ơng tất cả các đờng chéo của hình hộp bằng tổng bình phơng tất cả các cạnh của hình hộp đó.
Lời giải:
Xuất phát từ một bài toán trong mặt phẳng: Trong hình bình hành ABCD tổng bình phơng các đờng chéo bằng tổng bình phơng các cạnh.
Trong hình bình hành BCD'A': 2(BC2 + BA'2) = CA'2 + BD'2
Trong hình bình hành ADC'B': 2(AD2 + AB'2) = AC'2 + B'D2
⇒ 2(BC2 + BA'2 + AD2 + AB'2) = CA'2 + BD'2 + AC'2 + B'D2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
⇒ 4(AB2 + AD2 + AA'2) = AC'2 + BD'2 + CA'2 + DB'2 (đpcm).
Chú ý: Gọi O là tâm của hình hộp thì đẳng thức trên có thể viết:
⇔OA2 + OB2 + OC2 + OD2 + OA'2 + OB'2 + OC'2 + OD'2=2(AB2 + AD2 + AA'2) (1)
Nh vậy tổng bình phơng khoảng cách từ O đến các đỉnh hình hộp bằng 2(a2 + b2 + c2) với a, b, c là độ dài 3 cạnh xuất phát từ 1 đỉnh của hình hộp.
Gọi M là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Ta hy vọng rằng điểm M sẽ có một tính chất nhận tính chất trên của điểm O là một trờng hợp riêng.
Yêu cầu học sinh dự đoán:
MA2+ MB2 + MC2 + MD2 + MA'2 + MB'2 + MC'2 + MD'2 = ? (2)
Khi M ≡ O, VP của (2) là VP của (1). Vì vậy, ta ngờ rằng VP của (2) ≠
VP của (1) ở chỗ nó có thêm một số hạng phụ thuộc vào M và triệt tiêu khi M ≡ O.
Đến đây chắc chắn học sinh sẽ nghĩ tới số hạng là: k.MO hoặc k.MO2. Chú ý đến bậc của (1) ta lựa chọn giả thuyết: k.MO2.
Nh vậy: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 + MA'2 + MB'2 + MC'2 + MD'2 =
2(AB2 + AD2 + AA'2) + k.MO2 (2')
Giáo viên để cho học sinh thảo luận để tìm k hoặc gợi ý học sinh chọn một trờng hợp đặc biệt chẳng hạn hình hộp là hình lập phơng, cho M ≡ A. thay vào (2') ta sẽ có: k = 8.
Phát biểu mệnh đề: "Gọi độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của hình hộp là a, b, c; O là tâm của hình hộp. Chứng minh rằng: Tổng các bình phơng các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trong không gian đến tám đỉnh của hình hộp bằng: 2(a2 + b2 + c2) + 8MO2"
Học sinh tự chứng minh mệnh đề là đúng. Lời giải có thể nh sau:
áp dụng định lý đờng trung bình trong tam giác:
4AC' AC' 2 MC' MA MO 2 2 2 2 = + − 4 C A' 2 MA' MC MO 2 2 2 2 = + −
4BD' BD' 2 MD' MB MO 2 2 2 2 = + − 4 DB' 2 MB' MD MO2 = 2+ 2 − 2
Kết hợp kết quả của bài toán gốc
⇒ MA2 + MB2 + MC2 + MD2 + MA'2 + MB'2 + MC'2 + MD'2 = 2(a2 + b2 + c2) + 8MO2
Ngoài ra ta có thể đặt vấn đề xây dựng bài toán:
+Tổng bình phơng các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trong không gian đến tám đỉnh hình hộp đạt giá trị nhỏ nhất khi nào?
+CMR: Tổng bình phơng chiều dài các cạnh của một hình tứ diện bằng bốn lần tổng bình phơng các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện.