- Sự phức hợp của hoạt động:
2. Mối liên hệ giữa gợi động cơ với tình huống gợi vấn đề trong dạy học.
2.1.2.2. Xét tơng tự.
Xuất phát từ một số khái niệm, định lý, mệnh đề, bài toán đúng trong hình học phẳng, bằng cách xét tơng tự chuyển qua trong hình học không gian, nếu thay “điểm ”, “đờng thẳng” bởi “đờng thẳng” ,“mặt phẳng” và thay đổi một số yếu tố thích hợp thì ta cũng thu đợc những khái niệm, định lý, mệnh đề, bài toán đúng trong không gian.
Ví dụ 1:
Khái niệm hai đờng thẳng vuông góc trong không gian đợc định nghĩa hoàn toàn tơng tự với khái niệm hai đờng thẳng vuông góc trong mặt phẳng, đó là góc giữa chúng bằng 900.
Ví dụ 2:
Gợi động cơ để đi đến định nghĩa mặt phẳng trung trực.
Trong hình học phẳng ta đã biết khái niệm đờng trung trực của một đoạn thẳng đợc định nghĩa là đờng thẳng vuông góc với đoạn thẳng đã cho tại trung điểm của nó.
Giáo viên hớng dẫn học sinh thay “đờng thẳng” bởi “mặt phẳng” và bằng cách xét tơng tự để đi đến khái niệm mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng trong không gian đợc định nghĩa “mặt phẳng trung trực của một đoạn thẵng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó”.
Ví dụ 3:
Trong mặt phẳng ta đã có định lý: “Tập hợp tất cả những điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng là đờng trung trực của đoạn thẳng đó”.
Xét tơng tự trong không gian, giáo viên cho học sinh dự đoán quỹ tích những điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng. Để từ đó học sinh phát hiện nội dung của định lý: “Tập hợp những điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng là một mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó”.
Ví dụ 4:
Xuất phát từ định lý trong hình học phẳng: “Hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba thì song song với nhau”, bằng cách xét tơng tự chuyển qua xét trong không gian, nếu thay “đờng thẳng” bởi “mặt phẳng” thì
P b a b a P
ta có mệnh đề toán học nào? Hãy phát biểu các mệnh đề toán học đó và xét tính đúng sai của chúng?
Kết quả mong đợi là dẫn dắt học sinh đi đến phát hiện ra các tính chất biểu thị liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đờng thẳng và mặt phẳng.
a. Nếu ta thay 3 đờng thẳng bằng 3 mặt phẳng, ta có mệnh đề:
“Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì song song với nhau”. Đó là một mệnh đề sai.
b. Nếu ta thay đờng thẳng bằng một mặt phẳng, ta có các mệnh đề sau:
• Cho a ⊥ (P) và cho đờng thẳng b
- Nếu b//a thì b ⊥ (P). Đây là mệnh đề đúng. Đó chính là nội dung tính chất 1 (Trang 62- SGK ).
a//b (P) ⊥ a
- Nếu b ⊥ (P) thì a//b. Đây là mệng đề đúng và đó chính là nội dung tính chất 4 (trang 64 - SGK)
a ⊥(P) b⊥(P) a ≡ b
• Cho hai đờng thẳng a,b và một mặt phẳng P - Nếu a//(P) và b ⊥ (P) thì a ⊥ b (đúng)
⇒ (P) ⊥ b.
a P b Q a P - Nếu a//(P) và b ⊥ a thì b ⊥ (P) (sai)
- Nếu a ⊥ (P), a ⊥ b thì b//(P) (đúng). Mệnh đề này cũng chính là nội dung tính chất 5> (trang 64 - SGK)
b ⊄ (P) b ⊥ a (P) ⊥ a
c. Nếu ta thay 2 đờng thẳng bằng 2 mặt phẳng ta có các mệnh đề sau:
• Cho a ⊥ (P) và (Q)
- Nếu a ⊥ (Q) thì (P)// (Q). Đây là mệnh đề đúng và đó chính là nội dung tính chất 2> (trang 64 - SGK).
(P) ⊥ a (Q) ⊥ a (P) ≡ (Q)
- Nếu (Q)//(P) thì a ⊥ (Q). Đây là mệnh đề đúng và đó chính là nội dung tính chất 3 (trang 63 - SGK):
⇒ b//(P).
a P Q (P)//(Q) a ⊥ (P) • Cho (P) ⊥ (Q) và cho đờng thẳng a - Nếu a ⊥ (Q) thì a//P - Nếu a//(P) thì a ⊥ (Q) Đây là mệnh đề đúng. Ví dụ 5:
Xuất phát từ một bài toán trong mặt phẳng: “Trong một tam giác ba đ- ờng trung tuyến giao nhau tại một điểm và khoảng cách từ điểm đó tới mỗi đỉnh
của tam giác bằng 3 2
độ dài đờng trung tuyến tơng ứng đi qua đỉnh đó”.
Giáo viên tiến hành gợi động cơ để học phát hiện ra bài toán mới trong không gian bằng cách đặt các câu hỏi sau:
- Hãy chuyển bài toán đã cho về trong không gian?.
- Các khái niệm tam giác, trung điểm của cạnh tam giác, đỉnh của tam giác trong hình học phẳng đóng vai trò gì trong không gian?.
Mong muốn học sinh thiết lập sự tơng tự khi chuyển từ phẳng sang không gian: Tam giác đóng vai trò là tứ diện, các đỉnh của tam giác lúc này là các đỉnh của tứ diện và trung điểm các cạnh của tam giác chuyển thành trọng tâm các mặt của tứ diện. Mặt khác vì tam giác có 3 cạnh, còn tứ diẹn có 4 mặt. Từ đó học sinh sẽ dự đoán đợc một mệnh đề trong không gian. “Trong một tứ diện, bốn đoạn thẳng nối các đỉnh của tứ diện với trọng tâm của mặt đối diện
sẽ giao nhau tại một điểm, khoảng cách từ điểm này tới trọng tâm mỗi mặt tứ
diện bằng 4
1 độ dài đờng trọng tuyến tơng ứng”.