- Sự phức hợp của hoạt động:
2. Mối liên hệ giữa gợi động cơ với tình huống gợi vấn đề trong dạy học.
2.2. Gợi động cơ trung gian.
Gợi động cơ trung gian là gợi động cơ cho những bớc trung gian hoặc cho những hoạt động tiến hành trong những bớc đó để đi đến mục đích.
Trong thực tiễn dạy học có những vấn đề, những tri thức không phải ng- ời học sinh muốn là có thể giải quyết, là chiếm lĩnh đựơc ngay. Họ không xác định đợc phơng hớng giải quyết nên bắt đầu từ đâu, phải tiến hành những hoạt động nh thế nào để đi đến mục đích cuối cùng. Đứng trớc tình huống đó, ngời giáo viên phải biết tổ chức các hoạt động để học sinh thực hiện và dần sáng tỏ đợc vấn đề. Để từ đó học sinh không những giải quyết tốt vấn đề đặt ra mà còn có khả năng giải quyết tốt nhiều vấn đề tơng tự. Chính vì vậy, gợi động cơ
a b
α
β
trung gian có ý nghĩa to lớn tới sự phát triển năng lực độc lập giải quyết vấn đề của học sinh.
Sau đây là những cách thờng dùng để gợi động cơ trung gian:
2.2.1. Hớng đích:
Hớng đích cho học sinh là hớng vào những mục đích đặt ra, vào hiệu quả dự kiến của những hoạt động của họ nhằm đạt đợc những mục đích đó.
Điểm xuất phát của hớng đích là việc đặt mục đích. Để đặt mục đích một cách chính xác, thầy giáo cần xuất phát từ chơng trình và văn bản giải thích chơng trình, nghiên cứu sách giáo khoa và các tài liệu khác. Trong tiết học, ngời thầy giáo phải đặt mục đích cuối cùng hay từng bớc cho học sinh thấy để chủ động hớng hoạt động của mình vào đó.
Hớng đích là phải làm sao cho học sinh ý thức đợc con đờng mình đi tới đích, đi theo những bớc cụ thể nào, với “công cụ” gì. Trong quá trình tìm hiểu và mô tả còn đờng đi tới đích đó học sinh phải tránh việc làm đợc chăng hay chớ và tìm ra cho bài toán đợc con đờng đi thích hợp, họ luôn biết hớng những quyết định và hoạt động của mình vào mục đích đã đặt ra. Việc hớng đích nh vậy tạo động lực cho những quyết định và hoạt động đó, cho nên nó là một cách gợi động cơ trung gian.
Ví dụ1:
Gợi động cơ trung gian để chứng minh định lý về điều kiện hai mặt phẳng song song.
Bớc 1: Tìm hiểu định lý.
Giả thiết: a ∈(α), b∈(α), a ∩ b ≠φ. a//(β), b//(β).
Kết luận: (α)//(β).
c
M ∆
∆′
a. Chứng minh: (α) và (β) không có điểm chung. b. Chứng minh bằng phơng pháp phản chứng.
Xác định hớng đi: Rõ ràng phơng án (a) là không thể thực hiện đợc, do đó ta chọn phơng án (b).
Bớc 2: Phân tích giả thiết, tìm sự liên quan theo hớng (b).
- Nếu (α) không song song với (β) thì có thể xẩy ra những trờng hợp nào của vị trí tơng đối giữa (α) và (β)?
* Xét trờng hợp (α) ∩ (β) = c vì trờng hợp (α) ≡ (β) học sinh dễ dàng nhận thấy đợc một mâu thuẫn với giả thiết của bài toán.
- Có nhận xét gì về vị trí tơng đối giữa c với a và b? Về mối liên hệ giữa ba đờng thẳng a,b,c? Vấn đề nào nảy sinh mâu thẫn với giả thiết?
Trả lời câu hỏi trên yêu cầu học sinh lập luận đợc c//a, c//b, mặt khác a,b,c đồng phẳng (vì cùng thuộc mặt phẳng (α), từ đó ta suy ra đợc a//b, điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Đến đây định lý đã đợc chứng minh hoàn toàn
Ví dụ 2:
Hoạt động gợi động cơ trung gian nhằm để học sinh tự giác, tích cực chứng minh định lý mở đầu.
Bớc 1: Tìm hiểu định lý. Giả thiết: ∆ ⊥a, ∆ ⊥b. a,b∈(P), a∩ b ≠ φ. Kết luận: ∆ ⊥c, mọi c ∈(P).
a b O N A B C P
Nhắc lại mục đích: Chứng minh ∆⊥c, mọi c ∈(P). Để đạt đợc mục đích trên ta nên đi theo hớng nào? a. Chứng minh (∆,c) = 900.
b. Chứng minh có một đờng thẳng song song với một trong hai đờng thẳng ∆hoặc c và vuông góc với đờng còn lại.
Xác định hớng đi: Rõ ràng phơng án (a) sẽ hay hơn rất nhiều so với ph- ơng án (b), do đó ta chọn phơng án (a).
Bớc 2: Phân tích giả thiết, tìm sự liên quan theo hớng (a).
Sau đây là những câu hỏi có dụng ý s phạm nhằm gợi động cơ chứng minh định lý:
- Hãy xét các trờng hợp đặc biệt của c?
Xét trờng hợp c không song song với a hoặc b.
Giả sử ∆′ qua giao điểm O của a và b ∆′ // ∆ và c' qua O , c'//c. - Để chứng minh (∆,C) = 900 ta có thể đa về chứng minh mệnh đề t- ơng đơng nào?
- Làm thế nào để chứng minh đợc ∆′⊥C′? Trong trờng hợp này ta nên đi theo hớng nào?
Trên ∆′, về hai phía của o lấy hai điểm M, Nsao cho OM = ON. Hãy diễn đạt bằng cách khác điều kiện a ⊥∆′ và b⊥∆′?
Câu hỏi trên nhằm hớng cho học sinh phát hiện ra a,b là các đờng trung trực của đoạn thẳng MN xét trong các mặt phẳng (a , ∆′) và (b, ∆′).
a b c O M N I A1 B1 A2 B2 d1 d2 ∆ ∆′ P c′
Để chứng minh: ∆′⊥c ta có thể quy về việc chứng minh mệnh đề nào? Trả lời câu hỏi trên nhằm hớng học sinh lập luận tơng tự đi chứng minh c’ là trung trực của đoạn thẳng MN xét trong mp (c’ , ∆’ ).
- Làm thế nào để chứng minh c’ là dơng trung trực của đoạn MN trong mặt phẳng (c’ , ∆’ )?.
Hớng học sinh trả lời câu hỏi trên bằng hớng lập luận chứng minh CM = CN, với mọi C∈c’.
Từ đó với điểm C bất kỳ thuộc đờng thẳng c’, qua C kẻ đờng thẳng bất kỳ cắt a và b lần lợt tại A,B nhằm khai thác giả thuyết a,b là các đờng trung trực của đoạn MN. Đến đây dễ dàng chứng minh đợc hai tam giác CAM và CAN bằng nhau, từ đó ta suy ra đợc điều phải chứng minh.
Ngoài lập luận nh trên, giáo viên có thể hớng dẫn học sinh chứng minh
'
c
⊥
∆′ theo cách nh sau:
Trên đờng thẳng c' về hai phía đối với điểm 0 lấy hai điểm M,N sao cho OM = ON).
Khi đó để chứng minh ∆′⊥c' ta đa về việc chứng minh ∆′ là đờng trung trực của đoạn MN xét trong mặt phẳng (∆′,c' ) .Khi đó với điểm I bất
B
A a
kỳ thuộc ∆′, ta sẽ chứng minh IM = IN. Để chứng minh IM = IN ta có thể lập luận theo cách sau :
Qua 2 điểm M,N lần lợt dựng hai đờng thẳng d1, d2 cùng thuộc mặt phẳng (P) và song song với nhau.
Đặt: d1 ∩a = A1 , d1 ∩b = B1 d2 ∩ a = A2 , d2 ∩ b = B2
Khi đó dễ dàng ta chứng minh đợc ∆′ là đờng trung trực của các đoạn A1A2 và B1B1 xét trong các mặt phẳng (∆′,a) và (∆′,b).
Để chứng minh IM = IN ta gắn IM, IN vào hai tam giác A1IM và A2IN và ta dễ dàng chứng minh đợc ∆A1IM =∆A2IN ⇒ IM = IN. Đến đây định lý đã đợc chứng minh.
Ví dụ 4:
Gợi động cơ trung gian nhằm để học sinh tự giác tích cực chứng minh định lý ba đờng vuông góc.
Bớc 1: Tìm hiểu địng lý:
Giả thuyết: a không vuông góc với mặt phẳng (p)
a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P) b ∈ (P)
Kết luận: b ⊥a⇔b ⊥a′
Bớc 2: Phân tích giả thuyết, tìm ra hớng chứng minh thích hợp cho bài toán.
Sau đây là những câu hỏi có dụng ý s phạm nhằm gợi động cơ chứng minh định lý.
- Hãy xét tất cả các trờng hợp của vị trí tơng đối giữa a và mặt phẳng (P)? Hãy chứng minh định lý trong từng trờng hợp?
Xét trờng hợp a cắt (P) vì các trờng hợp a ∈ (P) và a //(P) suy ra từ các tính chất đã học.
b
P B′ A′ a′
Rõ ràng a,a’ luôn nằm trong một mặt phẳng, gọi đó là mặt phẳng (a,a’). - Hãy nhìn vào kết luận của định lý? Để chứng minh điều đó ta nên đi theo hớng nào? Có thể tìm trong mặt phẳng (a,a’) một đờng thẳng cắt a hoặc a’ mà vuông với b không? Đờng thẳng đó đợc xác định nh thế nào?
Yêu cầu trả lời câu hỏi trên để học sinh phát hiện ra trong mặt phẳng (a,a’) luôn có một đờng thẳng cắt a và a’ và vuông góc với b, đó là đờng thẳng AA’ cắt cả a,a’ với A ∈ a, A’ là hình chiếu vuông góc của A xuống (P), do đó nếu b ⊥ a hoặc b ⊥a’ thì b luôn vuông góc với (a,a’). Đến đây thì định lý dễ dàng đợc suy ra.
Ví dụ 5:
Hoạt động gợi động cơ trung gian nhằm để học sinh tự giác, tích cực chứng minh định lý về đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau.
Bớc 1: Tìm hiểu định lý Giả thiết: a,b chéo nhau.
Kết luận: Tồn tại và duy nhất 1 đờng thẳng ∆ cắt cả a và b và vuông góc với chúng.
Bớc hai: Bằng hệ thống câu hỏi, hệ thống các định hớng s phạm nhằm giúp học sinh phát hiện, tìm tòi cách chứng minh .
- Thực chất của việc chứng minh sự tồn tại của đờng thẳng ∆ là gì?
- Để xác định đờng thẳng ∆ cắt và vuông góc với a,b, chúng ta cần phải xác định đợc những yếu tố nào?
a b
A B
P
Yêu cầu học sinh trả lời: Xác định đợc hai điểm thuộc ∆ hoặc xác định một điểm thuộc ∆ và phơng của ∆.
- Phân tích giả thiết của bài toán cho ta biết yếu tố nào?
Trả lời câu hỏi trên để hớng học sinh phát hiện ra phơng của ∆ là ph- ơng vuông góc với mặt phẳng song song với a và b. Đặc biệt, đó là phơng vuông góc với mặt phẳng chứa a và song song với b, gọi mặt phẳng đó là (P) .
Để học sinh xác định đợc điểm cần tìm thuộc ∆, giáo viên tiếp tục đặt ra các câu hỏi có dụng ý s phạm sau:
Giả sử đờng thẳng ∆ đã đợc dựng,đặt ∆ ∩a= A, ∆∩b =B . - Lập mối liên hệ giữa hai điểm A và B?
Yêu cầu trả lời câu hỏi trên để học sinh lập luận A là hình chiếu vuông góc của B xuống (P).
- Có nhận xét gì về vị trí tơng đối giữa A và b’, từ đó rút ra nhận xét về đặc điểm của điểm A ?
Trả lời câu hỏi trên học sinh sẽ phát hiện ra A là giao điểm của a và b’, với b’ là hình chiếu vuông góc của b xuống mặt phẳng (P).
Từ sự phân tích bài toán bằng các câu hỏi trên, học sinh có thể nêu ra các bớc dựng đờng thẳng ∆, tức là chứng minh đợc sự tồn tại của đờng thẳng
∆.
Để chứng minh sự duy nhất của đờng thẳng ∆ ta nên đi theo hớng nào? a. Chứng minh mọi đờng thẳng khác ∆ đều không thoả mãn định lý. b. Chứng minh bằng phơng pháp phản chứng.
A
C′
D′
Xác định hớng đi: Rõ ràng phơng án (a) rất khó thực hiện, do đó ta chọn phơng án (b).
- Giả sử có đờng thẳng ∆’ khác ∆, ∆’ cắt cả a và b, và vuông góc với mỗi đờng thẳng đó, hãy lập luận bài toán để rút ra một điều mẫu thuẫn. Xét
∆’ trong các trờng hợp sau: + ∆’ đi qua A.
+ ∆’ đi qua B.
+ ∆’ không đi qua A và B
Trả lời các câu hỏi trên, học sinh sẽ tự mình phát hiện, tìm tòi cách chứng minh của bài toán dới sự dẫn dắt, gợi mở của giáo viên.