- Sự phức hợp của hoạt động:
2. Mối liên hệ giữa gợi động cơ với tình huống gợi vấn đề trong dạy học.
2.1.2.5. Gợi động cơ nhằm hớng tới sự hoàn chỉnh hệ thống kiến thức
thức
Ví dụ 1:
Gợi động cơ mở đầu để phát hiện định lý: “Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đờng thẳng a,b cắt nhau và hai đờng thẳng này cùng song song với một mặt phẳng (β) cho trớc thì hai mặt phẳng (α) và ( β) song song với nhau”
Trớc khi học định lý này, học sinh cha đợc học dấu hiệu nào để chứng minh hai mặt phẳng song song. Mặt khác, từ định lý: “Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đờng đờng thẳng a nằm trong (α) đều song song với (β)”.
Do đó, giáo viên có thể đặt ra cho học sinh một tình huống nh sau: Có thể kết luận (α)//(β) không, trong các trờng hợp sau:
Th1: mp (α) chứa một đờng thẳng song song với (β)?
Th2: mp (α) chứa hai đờng thẳng song song với nhau và cùng song song với (β)?
β ab α D1 A B C D A1 B1 C1
Th3: mp (α) chứa hai đờng thẳng cắt nhau và cùng song song với (β)? Rõ ràng, học sinh sẽ nhận thấy ngay trờng hợp 1 và 2 không thoả mãn. Ví dụ:
Trên hình vẽ ta có: a,b ∈(α), a//b và a//(β), b//(β), nhng (α) không song song (β).
Nh vậy: Còn lại trờng hợp 3, đối với truờng hợp này học sinh sẽ không thể khẳng định đúng hay sai, vì họ không thấy một phản ví dụ nào.
Đến đây, giáo viên đặt ra một tình huống:
Xét mô hình có dạng hình hộp ABCD.A1B1C1D1, giáo viên cho học sinh quan sát và xét hai mặt phẳng (ABCD) và (A1B1C1D1) song song với nhau.
Cho học sinh nhận xét về các cặp đờng thẳng (AB,AC), (AB,AD); (CA,CD); (CB,CD) đều có tính chất cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (A1B1C1D1).
D B A A C C A1 B1 C1 C1 A1 D1
Giáo viên đặt ra câu hỏi cho học sinh suy nghĩ: Cần bao nhiêu cặp đờng thẳng cắt nhau của mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng (A1B1C1D1) để mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng ( A1B1C1D1)?
Cắt đôi hình hộp và quan sát hai hình đợc cắt ra:
ở hình(a) chỉ còn cặp đờng thẳng (AB,AC) cắt nhau và cùng song song với (B1A1C1), ở hình (b) chỉ còn cặp đờng thẳng (CA,CD) cắt nhau và mỗi đ- ờng thẳng song song với mặt phẳng (D1A1C1). Tuy nhiên vẫn giữ nguyên các cặp mặt phẳng (BAC) và (B1A1C1) song song với nhau, (ACD) và (A1C1D1) song song với nhau.
Vậy từ các trờng hợp trên ta thấy chỉ cần mặt phẳng đáy trên chứa hai đ- ờng thẳng cắt nhau và hai đờng thẳng này cùng song song với mặt phẳng đáy dới thì hai mặt phẳng đáy song song với nhau.
Từ các tình huống trên đã đề xuất học sinh phát biểu điều kiện để mặt phẳng (α) song với mặt phẳng (β) nhằm phát hiên ra định lý.
Ví dụ 2:
Tiến hành gợi động cơ để học sinh phát hiện định lý mở đầu: “Nếu đ- ờng thẳng ∆vuông góc với hai đờng thẳng a,b cắt nhau nằm trong mp(P) thì
∆ vuông góc với mọi đờng thẳng c nằm trong mp(P).
Tạo tình huống bằng cách sử dụng đồ dùng trực quan:
a b c c′ o ∆′ ∆ P
+ Hai thanh kim loại mỏng đợc gắn kết với nhau mô tả hai đờng thẳng a,b cắt nhau và đợc đặt trên bề mặt tấm gỗ.
+ Dùng thanh kim loại thứ ba mô tả cho đờng thẳng ∆ đợc cắm xuyên qua tấm gỗ và vuông góc với hai thanh a,b.
+ Đặt thanh kim loại thứ t ∆′xuyên qua tấm gỗ tại điểm gắn kết của hai thanh a,b và vuông góc với a,b.
+ Thanh kim loại thứ năm mô tả đờng thẳng c đợc đặt trên bề mặt tấm gỗ.
Giáo viên đặt ra các trờng hợp và cho học sinh nhận xét: - Nếu đặt c//a, có nhận xét gì về độ lớn góc giữa c và ∆? - Nếu đặt c//b, có nhận xét gì về độ lớn góc giữa c và∆?
Rõ ràng trong hai trờng hợp trên góc giữa c và ∆cũng chính là góc giữa c và ∆' và luôn bằng 900.
- Nếu xét một vị trí bất kỳ của c trên mặt phẳng (P).
Qua O, đặt một thanh kim loại thứ sáu mô tả đờng thẳng c'sao cho c'
//c.
- Có nhận xét gì về số đo góc tạo bởi giữa hai đờng thẳng ∆ và c?
Trong trờng hợp này, học sinh có nhận xét góc tạo bởi giữa hai đờng thẳng ∆ và c sẽ bằng góc tạo bởi giữa hai đờng thẳng ∆′và c′, bằng quan sát trực quan phán đoán độ lớn góc (∆′,c′) bằng 900.
Nh vậy nếu ta cho c dịch chuyển khắp mặt gỗ liệu ta có thu đợc kết quả tơng tự không? Giáo viên cho học sinh phát biểu và rút ra mệnh đề tổng quát:
A B C D A1 B1 C1 D1 O M N
“Nếu đờng thẳng ∆ vuông góc với 2 đờng thẳng a, b cắt nhau nằm trong mp (P) thì ∆ vuông góc với mọi đờng thẳng c nằm trong mặt phẳng (P)”.
Ví dụ 3:
Gợi động cơ mở đầu nhằm phát hiện định lý ba đờng vuông góc.
Hình hộp đứng ABCD. A1B1C1D1 có các đáy là hình bình hành, A1B1C1 > 900.
Để học sinh phát hiện ra định lý, giáo viên có thể hớng dẫn bằng hệ thống câu hỏi sau:
- Đờng thẳng A1B1 đóng vai trò gì đối với đờng thẳng A1B?
(Rõ ràng A1B1 là hình chiếu vuông góc của A1B xuống mặt phẳng (A1B1C1D1)).
- Nếu B1D1 ⊥ A1B1 thì giữa hai đờng thẳng B1D1 và A1B1 có mối liên hệ gì với nhau?
(B1D1 ⊥ A1B1) .
Bây giờ trên AA1 và CC1 ta lấy hai điểm M, N bất kỳ .
- Hãy xác định hình chiếu vuông góc của MN xuống mặt phẳng (A1B1C1D1)?
(Trả lời: Đó là A1C1) .
- Nếu B1D1 ⊥ MN thì giữa B1D1 và A1C1 có mối quan hệ với nhau nh thế nào ?
(B1D1 ⊥ A1C1).
- Ngợc lại, nếu B1D1 ⊥ A1C1 thì có kết luận đợc B1D1 ⊥MN hay không?
A B C D A1 B1 C1 D1 M N
Sau khi xét hai ví dụ trên, giáo viên có thể đặt ra câu hỏi:
- Trong hai ví dụ trên, đờng đờng thẳng B1D1 có đặc điểm gì đặc biệt? (Mong muốn học sinh phát hiện ra B1D1 luôn nằm trên mặt phẳng chiếu).
Để nhận biết hai đờng thẳng vuông góc còn có cách nào khác? Hãy dự đoán mệnh đề trong trờng hợp tổng quát?
Ví dụ 4:
Hoạt động gợi động cơ mở đầu nhằm để học sinh phát hiện ra định lý về đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau: “Cho hai đờng thẳng chéo nhau a và b, luôn có duy nhất một đờng thẳng ∆cắt cả a và b, và vuông góc với mỗi đờng thẳng ấy. Đờng thẳng ∆ đó đợc gọi là đờng vuông góc chung của a và b”.
Gợi động cơ :
Cho hình lập phơng ABCD. A1B1C1D1, hãy tìm một dờng thẳng đồng thời cắt và vuông góc với hai đờng thẳng trong mỗi cặp đờng thẳng chéo nhau sau đây:
a. AA1 và BC b, A1B và DC1. c. AA1 và C1D1.
Học sinh dễ dàng chỉ ra đợc mỗi cặp đờng thẳng chéo nhau trên đều có một đờng thẳng thoả mãn yêu cầu, đó là: Đối với câu (a), đờng thẳng cần tìm là AB , câu (b) là MN với M,N là trung điểm của BA1 và DC1 ), câu (c) là A1D1
O O′ a a′ b P
Xét trong trờng hợp tổng quát đối với hai đờng thẳng a,b cho nhau bất kỳ, giáo viên có thể hớng dẫn tiếp học sinh phát hiện ra định lý nh sau:
Qua đờng đờng thẳng b, luôn tồn tại duy nhất một mặt phẳng (P) song song với đờng thẳng a.
Gọi a' là hình chiếu vông góc của a xuống mp(P).
Rõ ràng a'luôn cắt b, đặt O'= a' ∩ b
Vì a'là hình chiếu vuông góc của a xuống (P) nên với O' ∈a'luôn
xác định một điểm O∈ asao cho OO' ⊥(P).
Dễ dàng ta chứng minh đợc OO' ⊥a, OO' ⊥b và rõ ràng OO' đồng thời cắt cả a và b.
Nh vậy với hai đờng thẳng chéo nhau luôn tồn tại đờng thẳng cắt và vuông góc với hai đờng thẳng đó. Hãy dự đoán đờng thẳng đó có duy nhất không, hãy phát biểu mệnh đề trong trờng hợp tổng quát?.