S ỏch giỏo khoa Đại số 10 xuất bản năm 2006 (mới) cú một số ớt thay đổi về nội dung so với sỏch Đại số 10 chỉnh lý và hợp nhất năm 2000 (cũ), để phự hợp
2.4.2.Chủ đề 2: Phương trỡnh một ẩn
2.4.2.1. Phương trỡnh bậc nhất và phương trỡnh bậc hai một ẩn
*Vớ dụ 1: Giải cỏc phương trỡnh sau: a. -2x + 5 = 0 (1)
b. 2x2 - 5x + 1 = 0 (2)
(Bp1) Ở lớp 9 học sinh đó được học về phương trỡnh bậc nhất và phương trỡnh bậc hai một ẩn. Tuy nhiờn đại đa số học sinh ở trường ngoài cụng lập khụng thể vận dụng được quy tắc giải, nhiều em cũn lỳng tỳng khụng biết bắt đầu từ đõu, quy trỡn giải và việc tớnh ∆, cụng thức nghiệm học sinh khụng nhớ. Chương trỡnh giảm tải vận dụng cho năm học 2011-2012, mục ụn tập lại phương trỡnh bậc nhất và phương trỡnh bậc hai một ẩn khụng dạy. Thực chất việc giảm tải đú cũng hoàn toàn phự
hợp nhưng với việc chưa thể khắc phục được tỡnh trạng học sinh ngồi nhầm lớp thỡ việc giảm tải đú khụng thật phự hợp đối với học sinh ở cỏc trường ngoài cụng lập. Như vậy biện phỏp khắc phục tỡnh trạng học sinh khụng giải được phương trỡnh bậc nhất và phương trỡnh bậc hai một ẩn là:
(Bp2) Giỏo viờn cần nhắc lại phương phỏp giải phương trỡnh bậc nhất, phương trỡnh bậc hai một cỏch tường minh.
(Bp3) Từ đú yờu cầu học sinh ỏp dụng để giải vớ dụ 1
Để khắc sõu phương phỏp giải thỡ giỏo viờn yều cầu học sinh làm thờm bài tập.
*Bài tập 1: Giải cỏc phương trỡnh sau:
a. 2x + 10 = 0; b. -3x + 7 = 0; c. -x - 8 = 0 *Bài tập 2: Giải cỏc phương trỡnh sau
a. 2x2 + 7x + 9 =0; b. -x2 + 5x +5 = 0; c. - x2 - 3x +5 = 0
*Vớ dụ 2:
Giải phương trỡnh: 3x2 - x + 2 - (7x2 +x - 1) = 0 (3) (Bp1) Khi đưa ra phương trỡnh đú học sinh thường giải như sau:
Pt ⇔ 3x2 - x + 2 - 7x2 +x - 1 = 0 ⇔ - 4x2 + 1 = 0
Bỡnh luận: Đến đõy học sinh thực hiện bỏ dấu ngoặc mà đằng trước cú dấu ( - )nhưng lại khụng đổi dấu cỏc hạng tử nằm trong đú. Và đến phương trỡnh - 4x2 +1 = 0 học sinh cũn lỳng tỳng khụng biết xỏc định cả hệ số a, b, c của phương trỡnh bậc hai một ẩn. Kỹ năng tớnh toỏn của học sinh cũn yếu, thậm chớ học sinh cũn sai sút trong quy tắc nhõn chia một biểu thức với số õm và do vậy khụng tỡm được x.
*Biện phỏp khắc phục:
(Bp2) Giỏo viờn nhắc lại cỏch giải phương trỡnh bậc hai trong cỏc trường hợp hệ số b hoặc c bằng 0 và nhắc lại quy tắc bỏ dấu ngoặc đằng trước cú dấu trừ.
Bỏ dấu ngoặc trong một biểu thức đại số tức là thay biểu thức ấy bởi một biểu thức bằng với nú khụng chứa dấu ngoặc.
Học sinh nhớ: A-(B+C-D) = A-B-C+D và = = - = -
(Bp6) Học sinh ghi nhớ: Chẵn lần “õm” nhõn với nhau thỡ được kết quả “dương” Lẻ lần “õm” nhõn với nhau thỡ được kết quả “õm” (Bp3) Cho học sinh vận dụng quy tắc trờn để giải vớ dụ 2
Giỏo viờn cựng học sinh theo dừi và sửa bài nếu cú sai sút.
Giỏo viờn nờu bài tập vận dụng giỳp học sinh học tập và ghi nhớ quy tắc vừa được củng cố.
*Bài tập 3: Giải cỏc phương trỡnh sau: a. -3x2 + 5 x - 5 - (-x2 +2x - 4) = 0; b. - x +3x2 - 2 - (x2 -6x + 1) = 0 c. 2x2 - 2x + 3 - [-(2x2 +7x - 2)] = 0
*Vớ dụ 3:
Giải phương trỡnh sau: (2x-1)2 = -x2 + x +1 (4)
(Bp1) Khi giỏo viờn đưa ra vớ dụ 3 và yờu cầu học sinh giải từ đú giỏo viờn phỏt hiện học sinh cũn “hổng “ rất nhiều kiến thức cơ bản ở cấp THCS. Thứ nhất sự yếu kộm về kỹ năng tớnh toỏn của học sinh đú là học sinh vẫn thực hiện chuyển vế và khụng đổi dấu của biểu thức đú. Thứ hai là học sinh khụng nhớ cỏch khai triển hằng đẳng thức. Thứ ba là khụng biết phõn tớch đa thức thành nhõn tử.
*Biện phỏp khắc phục:
(Bp2) Giỏo viờn nhắc cho học sinh nhớ: 7 hằng đẳng thức đỏng nhớ và cho vớ dụ minh họa để vận dụng;
Nhớ: A+B=0 ⇔ A=-B; AB+AC = A(B+C) (Bp3) Học sinh vận dụng thực hiện giải pt(4)
*Bài tập 4: Giải cỏc phương trỡnh sau: a. (x-1)(x+1) = 2x2 - 5x +3 b.(3+4x)2 = (2x-5)2
c. (1-3x)2 = 4x2+x-1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2.4.2.2. Phương trỡnh quy về phương trỡnh bậc nhất và bậc 2 một ẩn
Học sinh đó yếu kộm về kiến thức toỏn học thỡ việc phõn biệt phộp biến đổi đưa về phương trỡnh tương đương hay đưa về phương trỡnh hệ quả, đú là việc làm thực sự khú khăn đối với học sinh. Trong quỏ trỡnh biến đổi học sinh thường dựng dấu <=> hoặc dấu => mà khụng phõn biệt được khi nào dựng cho những bài toỏn nào là phự hợp. Giỏo viờn cần nhấn mạnh về phộp biến đổi tương đương, khi biến đổi tương đương thỡ điều kiện xỏc định của phương trỡnh khụng thay đổi.
Trong phạm vi SGK Đại số 10, phương trỡnh quy về pt bậc nhất và pt bậc 2 một ẩn, SGK chỉ giới thiệu 3 loại phương trỡnh đơn giản đú là pt chứa dấu giỏ trị tuyệt đối, pt chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai và phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu.
Ở chủ đề này mục đớch ngoài việc củng cố kiến thức nền về phộp biến đổi tương đương và phộp biến đổi đưa về phương trỡnh hệ quả mà cũn củng cố nội dung của chủ đề 1.
*Vớ dụ 1:
Giải phương trỡnh: + x = +1 (1) (SGK Đại số 10) (Bp1) Học sinh tiến hành giải: Pt đó cho <=> x = 1
Bỡnh luận: Thoạt nhỡn thỡ thấy kết quả đỳng nhưng nếu nhỡn lại quy tắc giải phương trỡnh chứa căn thức thỡ ta lại thấy cú vấn đề. Ở đõy học sinh quờn đặt điều kiện của biểu thức dưới dấu căn bậc hai là 3-x≥ 0 <=> x≤ 3
Ngoài ra học sinh cũn sử dụng sai quy tắc biến đổi tương tương đương làm cho điều kiện của phương trỡnh được mở rộng. Mặc dự ở đõy bài toỏn khụng làm xuất hiện nghiệm ngoại lai.
Hơn nữa học sinh cũn mắc phải sai lầm khi gặp giải bất phương trỡnh 3-x≥ 0 *Biện phỏp khắc phục:
(Bp2) Giỏo viờn sửa sai về kiến thức cho học sinh:
Điều kiện để cú nghĩa là: A≥ 0, tuy nhiờn nằm ở mẫu thức của một phõn thức thỡ điều kiện là A>0
Khi biến đổi tương đương cần chỳ ý đến điều kiện của phương trỡnh (khụng làm thay đổi điều kiện )
(Bp5) Đối với những học sinh yếu kộm GV cần gợi động cơ hướng đớch, phõn bậc hoạt động để cỏc em đi đến kết quả cuối cựng mà khụng mắc phải sai lầm.
GV hướng dẫn học sinh làm bài tập ở vớ dụ 1: + Tỡm điều kiện của phương trỡnh?
+ Sử dụng phộp biến đổi tương đương (cộng hai vế của phương trỡnh với - ) + Kết hợp điều kiện, suy ra nghiệm của phương trỡnh?.
(Bp3) Gọi học sinh thực hiện giải bài toỏn ở vớ dụ 1 để tạo niềm tin cho học sinh. ĐK: x≤ 3
(Kết hợp với điều kiện, ta cú x= 1 là nghiệm của phương trỡnh)
*Vớ dụ 2:
Giải pt sau: = (2)
(Bp1) Khi GV đưa ra bài tập này HS thường làm như sau: Pt <=> x2 = 4 <=>
Ở đõy học sinh vận dụng sai quy tắc tương đương. Phộp biến đổi đó làm mở rộng điều kiện của phương trỡnh và đó làm xuất hiện nghiệm ngoại lai. Vỡ với x =-2 thỡ pt vụ nghĩa. Hơn nữa học sinh quờn điều kiện đối với hàm phõn thức cú chứa căn bậc hai ở mẫu.
*Biện phỏp khắc phục: (Bp2) Chỳ ý cho học sinh:
Đối với hàm căn thức: Tỡm điều kiện để biểu thức dưới dấu căn cú nghĩa. Đối với hàm phõn thức: Phải cú điều kiện mẫu khỏc 0
Khi biến đổi tương đương phải chỳ ý đến sự biến đổi của điều kiện phương trỡnh.
(Bp6) Cho học sinh ghi nhớ: = <=>
(Bp5) GV định hướng cho học sinh làm bài tập ở vớ dụ 2 ĐK: x>-2; Nhõn cả hai vế của phương trỡnh với (Bp3) Học sinh thực hiện
(Bp4) Khắc sõu: Cho học sinh làm bài toỏn tương tự *Bài tập1: Giải cỏc phương trỡnh sau:
a. = +3 b. x+ = 8+ c. 2x + = d. = +
*Vớ dụ 3
Giải phương trỡnh sau: = x-2 (3) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(Bp1) Sau khi được cung cấp một lượng kiến thức nhất định về giải phương trỡnh chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai nhưng khi yờu cầu học sinh giải vớ dụ 3 thỡ học sinh thực hiện như sau:
ĐK: 5x+4≥ 0 <=> x≥ - (Vẫn cú khụng ớt học sinh khụng tỡm được điều kiện của x)
Pt (3)<=> 5x+4 = (x-2)2
<=> 5x+4 = x2-4x+4 <=> x2 - 9x = 0 <=> ( thỏa món đk)
Bỡnh luận: Học sinh đó vận dụng sai quy tắc biến đổi tương đương, khi biến đổi đó làm thay đổi điều kiện của phương trỡnh. Điều kiện của phương trỡnh đó được mở rộng. Học sinh khụng nhớ đỳng bản chất của phộp biến đổi tương đương.
*Biện phỏp khắc phục:
(Bp2) Hướng dẫn học sinh cỏch khắc phục và phõn biệt được phộp biến đổi tương đương và biến đổi đưa về phương trỡnh hệ quả.
+Khi thực hiện phộp biến đổi tương đương của một phương trỡnh (lưu ý là khụng làm thay đổi đk của phương trỡnh):
- Cộng hay trừ hai vế với cựng một số hoặc cựng một biểu thức;
- Nhõn hoặc chia hai vế với cựng một số khỏc 0 hoặc với cựng một biểu thức luụn cú giỏ trị khỏc 0.
Với bài toỏn trờn GV định hướng cho học sinh thực hiện theo hai cỏch: + Khi biển đổi đưa về phương trỡnh hệ quả thỡ cần lưu ý là phương trỡnh hệ quả cú thể cú thờm nghiệm khụng phải là nghiệm của phương trỡnh ban đầu. khi đú để loại nghiệm ngoại lai , ta phải thử lại cỏc nghiệm tỡm được.
(Bp4) Với bài toỏn trờn GV định hướng cho học sinh thực hiện theo hai cỏch: Cỏch 1: Sử dụng phộp biến đổi tương đương
Nhấn mạnh cho học sinh nhớ: = g(x) <=>
Cỏch 2: Biến đổi đưa về phương trỡnh hệ quả bằng cỏch bỡnh phương hai vế để làm mất căn bậc 2.
Tỡm nghiệm của phương trỡnh hệ quả, thử lại với phương trỡnh ban đầu và kết luận nghiệm.
(Bp3) GV cho hai nhúm học sinh thực hiện theo 2 cỏch biến đổi trờn. Gọi học sinh so sỏnh kết quả và rỳt ra kết luận.
GV lưu ý học sinh: Dự làm theo cỏch biến đổi nào thỡ cũng khụng được quờn điều kiện của pt để kết luận nghiệm.
Cỏch 1: (3) <=> <=> <=> <=> x= 9 Vậy pt(3) cú nghiệm duy nhất x=9 Cỏch 2: ĐK: 5x+4≥ 0 <=> x≥ -
Pt (3) => 5x+4 = (x-2)2
<=> 5x+4 = x2-4x+4 <=> x2 - 9x = 0 (*)
Phương trỡnh (*) cho cú 2 nghiệm x=0; x=9 (thỏa món đk của pt (3))
Thử lại : Ta thấy giỏ tri x= 0 bị loại ( Vế phải khỏc vế trỏi), cũn giỏ trị x= 9 là nghiệm của pt (3) (Vế phải = vế trỏi = 7)
Vậy pt(3) cú nghiệm duy nhất x=9 *Bài tập2: Giải cỏc phương trỡnh sau:
a. = x-3 b. - x = 2 c. 3x + = 1 d. = 3x + 2
Tuy nhiờn, khi giải phương trỡnh, khụng phải lỳc nào cũng ỏp dụng được phộp biến đổi tương đương. Trong nhiều trường hợp ta phải thực hiện cỏc phộp biến đổi đưa tới phương trỡnh hệ quả, chẳng hạn bỡnh phương hai vế, nhõn hai vế của phương trỡnh với một đa thức.
*Vớ dụ 4:
Giải phương trỡnh sau: + = (4)
(Bp1) Ở vớ dụ 4 nhiều học sinh thường mắc phải ngay đầu tiờn là khụng tỡm được điều kiện xỏc định của phương trỡnh. Và nhiều học sinh vẫn cũn khụng biết là dựng phộp biến đổi tương đương hay biến đổi đưa về phương trỡnh hệ quả. Hơn nữa học sinh cũn vấp phải là khụng biết “quy đồng mẫu số”- một lượng kiến thức cơ bản ở bậc THCS.
(Bp2) Nhắc lại cho học sinh nhớ:
+ A.B = 0 <=> và A.B≠0 <=> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ + = + =
(Bp3) GV yờu cầu học sinh giải vớ dụ 4, cú thể bằng cỏch đặt cõu hỏi: - ĐK của phương trỡnh là gỡ?
- Cần thực hiện phộp biến đổi nào? HS: ĐK: x ≠0 và x≠1
(4) => x+3 + 3(x-1) = (2-x)x => x+3 + 3x-3 = 2x-x2
=> x2 +2x = 0 =>
Đối chiếu với điều kiện và thử lại ta cú pt (4) cú nghiệm x=-2
Bỡnh luận: Tuy nhiờn ở dạng bài toỏn này học sinh sử dụng phộp biến đổi đưa về phương trỡnh hệ quả thỡ lại khụng thấy xuất hiện nghiệm ngoại lai vỡ trong quỏ trỡnh biến đổi cuối cựng học sinh khụng thử lại nghiệm.
*Vớ dụ 5:
Giải phương trỡnh sau: + = (5)
Đối với phương trỡnh (5) học sinh vẫn dựng phộp biến đổi tương đương: ĐK: x≠0 và x≠2 (5) <=>(x+2)2+(x-2)2 =3x-7 <=> 2x2 +8 = 3x+7 <=> 2x2 - 3x+1 = 0 (5’) Phương trỡnh (5’) cú 2 nghiệm x=1 và x= . Vậy pt(5) cú 2 nghiệm x=1 và x=
(Bp1) GV: Trong cỏch giải của pt(5) kiểm lại nghiệm thỡ kết quả là đỳng. Tuy nhiờn trong cỏch biến đổi chưa núi rừ, khi biến đổi tương đương thỡ nhõn 2 vế của (5) với h(x)=(x-2)(x+2), h(x) phải xỏc định và khỏc 0 trờn đk xỏc định của (5). Nếu
khụng núi gỡ mà biến đổi tương đương (dấu <=> thứ nhất) đó mở rộng điều kiện của phương trỡnh, mặc dự cuối cựng nú khụng làm xuất hiện nghiệm ngoại lai. (Bp3) GV cho học sinh bổ sung và hoàn chỉnh lời giải vớ dụ 5
Như vậy, khi giải phương trỡnh, cần hiểu rừ là dựng phộp biến đổi dẫn đến phương trỡnh tương đương hay hệ quả để cú ý thức kiểm tra nghiệm. Trong trường hợp nghi ngờ, tốt nhất là nờn thử lại vào phương trỡnh đó cho.
*Bài tập3: Giải cỏc phương trỡnh sau: a. - = +2
b. + = c. = -
*Vớ dụ 6:
Giải phương trỡnh sau: = 2x-1 (6)
(Bp1) Với bài giải phương trỡnh cú chứa dấu giỏ trị tuyệt đối thỡ học sinh đó biết hai cỏch giải:
Cỏch 1: dựng định nghĩa dấu giỏ trị tuyệt đối để làm mất dấu giỏ trị tuyệt đối cú trong phương trỡnh.
Cỏch 2: cú thể dựng cỏch bỡnh phương hai vế để đưa về phương trỡnh hệ quả. Trong cỏch dựng định nghĩa dấu giỏ trị tuyệt đối thỡ khi giải vớ dụ 6 học sinh biến đổi như sau:
HS: Ta cú =
+Nếu x ≥ 0 thỡ pt (6) trở thành x-2 = 2x-1 <=> x = -1 (loại) +Nếu x<0 thỡ pt (6) trở thành -x+2 = 2x-1 <=> x = 1 (loại) Vậy pt (6) vụ nghiệm
Ở đõy học sinh vận dụng và hiểu sai về định nghĩa giỏ trị tuyệt đối của một số và một biểu thức.
*Biện phỏp khắc phục:
+ = ; + =
GV cũng lưu ý học sinh là dấu { khụng mang ý nghĩa của phộp giao.
Chỳ ý: Khi phương trỡnh = g(x) nờn giải theo một trong hai cỏch trờn để trỏnh nhầm lẫn sai sút. Tuy nhiờn nếu f(x) hoặc g(x) là đa thức bậc hai trở lờn thỡ khụng nờn dựng cỏch bỡnh phương hai vế. Vỡ khi bỡnh phương hai vế thỡ sẽ dẫn đến phương trỡnh từ bậc 4 trở lờn và việc giải sẽ gặp khú khăn.
Đối với dạng phương trỡnh dạng = , nếu f(x), g(x) cựng bậc ba trở xuống và hệ số của bậc cao nhất bằng nhau thỡ dựng cỏch bỡnh phương hai vế.
(Bp3) GV cho hai nhúm học sinh giải phương trỡnh (4) theo hai cỏch nờu trờn. *Bài tập 4: Giải cỏc phương trỡnh sau:
a. = -3x+4 b. = (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
c. x2 - 5 - 1 = 0 d. = x2 - 4x -1
*Vớ dụ 7: Giải phương trỡnh sau: a. x4 -7x2 - 8 = 0 (7)
b. (x+2)4 - 4(x+2)2 + 3 = 0 (8)
Trong SGK Đại số 10 tuy khụng nờu lại phương phỏp giải phương trỡnh trựng phương. Nhưng ở phần bài tập lại yờu cầu học sinh giải phương trỡnh dạng này. Tuy nhiờn ở lớp 9 cỏc em đó được làm quen với dạng phương trỡnh này rồi, nhưng khi giỏo viờn đưa vớ dụ 7 thỡ khụng ớt em bỡ ngỡ thấy dường như chưa bao giờ gặp.
(Bp1) Với bài toỏn này, đối với học sinh trung bỡnh trở lờn thỡ việc giải khụng cú khú khăn nhưng cú thể chưa khai thỏc hết được phương phỏp giải loại phương trỡnh này. Đối với một số học sinh từ trung bỡnh trở lờn thỡ khi đặt ẩn phụ quờn điều kiện là đặt ẩn phụ t≥ 0 dẫn đến kết luận sai (kết luận với nghiệm ẩn t).
Cũn đối với những học sinh yếu kộm Toỏn thỡ cú thể khụng biết cỏch làm hoặc làm sai. Trong dạy học giỏo viờn cú thể sử dụng biện phỏp dạy học phõn húa để giỳp đỡ hai đối tượng này một cỏch cú hiệu quả.
*Biện phỏp khắc phục:
(Bp2,4) Đối với những học sinh yếu kộm, giỏo viờn cú thể nờu tường minh cỏch giải loại phương trỡnh này. Sau đú yờu cầu học sinh vận dụng tương tự giải vớ dụ 7a. Giỏo viờn gợi động cơ bằng cỏch hướng đớch, quy lạ về quen, tỡm mối liờn hệ và phụ thuộc thụng qua giải phương trỡnh cú thể quy về phương trỡnh bậc hai.
GV: ta cú thể dựng phương phỏp đặt ẩn phụ để giải phương trỡnh trựng phương: ax4 +bx2 +c = 0 (a≠0) (*)
Cỏch giải: Đặt t = x2 ( đk: t≥ 0 ) thỡ pt (*) <=>at2 + bt +c =0 (a≠0) (**) Giải phương trỡnh (**) học sinh đó biết cỏch giải. Nhưng cần chỳ ý đến việc lấy nghiệm của pt (**) thỏa món đk t≥ 0. Sau khi kết luận nghiệm của pt(**) thỡ quay về cỏch đặt x2 = t (t≥ 0 ) để tỡm nghiệm của pt(*). Tuy nhiờn, cú thể khụng