S ỏch giỏo khoa Đại số 10 xuất bản năm 2006 (mới) cú một số ớt thay đổi về nội dung so với sỏch Đại số 10 chỉnh lý và hợp nhất năm 2000 (cũ), để phự hợp
2.4.4. Chủ đề 4: Bất đẳng thức
*Kiến thức trọng tõm
+ Khỏi niệm bất đẳng thức
Cỏc mệnh đề dạng “a>b” hoặc “a<b” hoặc “a≥ b” hoặc “a≤ b” được gọi là cỏc bất đẳng thức.
Bất đẳng thức dạng “a>b” hoặc “a<b” là cỏc bất đẳng thức ngặt.
Bất đẳng thức dạng “a≥ b” hoặc “a≤ b” là cỏc bất đẳng thức khụng ngặt. + Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
Nếu mệnh đề “a<b => c<d” đỳng thỡ ta núi bất đẳng thức c<d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a<b và cũng viết a<b => c<d.
Nếu bất đẳng thức a<b là hệ quả của bất đẳng thức c<d và ngược lại thỡ ta núi hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết a<b ⇔ c<d.
+ Tớnh chất của bất đẳng thức
- Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số: a<b ⇔ a+c < b+c
- Nhõn hai vế của bất đẳng thức với một số: a<b ⇔ a.c < b.c nếu c>0 a<b ⇔ a.c > b.c nếu c<0 - Cộng hai bất đẳng thức cựng chiều: a<b và c<d => a+c < b+d
- Nhõn hai bất đẳng thức cựng chiều: a<b và c<d => a.c < b.d nếu a>0, c>0 - Nõng hai vế của bất đẳng thức lờn một lũy thừa: a<b ⇔ a < b
0<a<b => a < b (n∈ Z) - Khai căn hai vế của một bất đẳng thức: a<b ⇔ < ( a>0)
a<b ⇔ < (a>0) + Bất đẳng thức Cụ-si:
- Đối với hai số khụng õm: “Với mọi a≥0, b≥ 0 ta cú a+b ≥ ab
2 .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b”
- Bất đẳng thức Cụ - si đối với ba số khụng õm: “Với mọi a≥0, b≥ 0, c≥ 0 ta cú 3
3 abc
c b
- Bằng khỏi quỏt húa ta cú dự đoỏn: “Với mọi a1 ≥0, a2 ≥ 0, ... an ≥0 ta cú n n n aa a n a a a ... ... 2 1 2
1+ + + ≥ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1= a2= ... =an”.
*Mục đớch nội dung luyện tập, ụn tập
Đối với bài toỏn chứng minh bất đẳng thức là một trong những dạng toỏn khú đối với học sinh khụng chỉ đối với học sinh yếu kộm mà kể cả đối tượng học sinh khỏ giỏi. Với mục đớch của bài luận văn chỳng tụi khụng muốn đi sõu khai thỏc dạng bài toỏn cho đối tượng học sinh khỏ giỏi, mà ở đõy trong phạm vi chương trỡnh lớp 10 với đề tài này chỳng tụi muốn khai thỏc những bài toỏn cơ bản mang kiến thức nền và củng cố một số kiến thức cũ học sinh đó được tiếp cận ở bậc THCS. Mục tiờu trong phần luyện tập, ụn tập này là sử dụng hai biện phỏp chủ yếu để chứng minh bất đẳng thức, đú là sử dụng định nghĩa phộp biến đổi tương đương và vận dụng định lý Cụ-si.
2.4.4.1. Chứng minh bất đẳng thức bằng sử dụng định nghĩa phộp biến đổi tương đương.
Phương phỏp: Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B thỡ ta cần chứng minh A-B ≥ 0 (luụn đỳng). Tức là biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thức đỳng đó biết.
*Vớ dụ 1: Cho hai số thực x và y thỏa món x+y=2. Chứng minh rằng: x2+y2≥2.
(Bp1) Với bài toỏn này thỡ học sinh dễ dàng tỡm ra hướng giải quyết bài toỏn theo một trong hai cỏch sau:
Cỏch 1: Từ giả thiết x+y=2 suy ra y=2-x.
Do đú x2+y2≥2⇔x2+(2−x)2≥2⇔2(x−1)2 ≥0, đỳng. Cỏch 2: Vỡ x + y = 2 nờn ( ) ( ) 0 2 1 2 2 2 2 2 2 2+y ≥ ⇔ x +y ≥ x+y ⇔ x−y ≥ x , đỳng. *Vớ dụ 2: Chứng minh rằng, nếu a≥ 0 và b≥ 0 thỡ a3+b3≥ab(a+b) (1).
(Bp1) Để giải bài toỏn này HS cú thể biến đổi bất đẳng thức đú tương đương với một bất đẳng thức đỳng cú dạng tớch của cỏc số khụng õm luụn khụng õm hoặc tổng của cỏc số khụng õm luụn khụng õm, từ đú ta cú thể chứng minh (1) theo cỏc cỏch sau:
Cỏch 1: (1) ⇔....⇔(a+b)(a−b)2≥0 (Bất đẳng thức luụn đỳng vỡ a≥ 0 và b≥ 0 nờn a+b≥ 0 và hiển nhiờn (a-b)2 ≥ 0, ∀a, b.
Cỏch 2: Vỡ vai trũ của a và b trong bài toỏn bỡnh đẳng nờn khụng mất tớnh tổng quỏt ta cú thể giả sử: a≥b≥0. Khi đú
(1) ⇔....⇔(a−b)(a2−b2)≥0 (Bất đẳng thức này đỳng vỡ a≥b≥0 nờn 0 ≥ −b a và a2−b2 ≥0). Cỏch 3: (1) ⇔a3−2a2b+ab2+b3−2ab2+a2b≥0⇔a(a−b)2 +b(a−b)2≥0. Với bài toỏn này một số học sinh yếu kộm vẫn thấy khú khăn vỡ khụng nhớ hằng đẳng thức a3 + b3 = (a+b)(a2-ab+b2) và việc chuyển vế đặt nhõn tử chung cũng khụng phải dễ dàng đối với đối tượng này.
*Biện phỏp khắc phục:
(Bp2) GV cho nhắc lại 7 hằng đẳng thức đỏng nhớ, lấy vớ dụ cụ thể về phộp đặt nhõn tử chung.
Học sinh vận dụng và tỡm hướng biến đổi bài toỏn: Với cỏch 1 học sinh sử dụng hằng đẳng thức, chuyển vế và đặt nhõn tử chung để đưa về bất đẳng thức cuối cựng là đỳng. Cũn ở cỏch 2 học sinh khỏ hơn một chỳt cú thể lý luận và khụng cần phải sử dụng đến hằng đẳng thức. Ở cỏch 3 ớt học sinh nghĩ đến vỡ việc thờm bớt cần phải cú kỹ năng và cơ bản cũng đưa về bất đẳng thức ở cỏch 2.
*Vớ dụ 3: Cho 3 số thực a,b,c tựy ý. Chứng minh rằng: i, a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ac (2)
(Bp1) Với bài toỏn này, học sinh khỏ thỡ dễ dàng thực hiện, biến đổi dựng hằng đẳng thức đưa về bất đẳng thức đỳng đó biết. Tuy nhiờn với đối tượng học sinh yếu kộm thỡ việc hỡnh dung ở cõu i) nhõn thờm cả hai vế với số hai để tỏch thành hằng đẳng thức là một vệc làm khú. Cũn ở cõu ii), việc học sinh yếu kộm sử dụng hằng đẳng thức (a+b)2 = a2+2ab+b2 một cỏch mỏy múc nờn gặp khú khăn hơn khi phải vận dụng để khai triển (a+b+c)2 để chứng minh bất đẳng thức.
*Biện phỏp khắc phục:
(Bp2) - GV hướng dẫn học sinh làm cõu i): Nhõn hai vế của bất đẳng thức với 2, sau đú chuyển vế và dựng hằng đẳng thức (a-b)2 = a2-2ab+b2 để đưa về bất đẳng thức đỳng đó biết.
(Bp5) - Với cõu ii) khai triển từng bước: (a+b+c)2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2
(Bp3) - Học sinh thực hiện:
i, Ta cú: (2) ⇔ 2(a2+b2+c2 ) ≥ 2(ab+bc+ac) ⇔ ...⇔ (a-b)2 +(b-c)2+(c-a)2≥ 0 (*) (*) luụn đỳng ∀a,b,c
Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b=c
ii, Ta cú (3) ⇔ 3a2+3b2+3c2 ≥ (a+b)2+2(a+b)c+c2
⇔ 3a2+3b2+3c2 ≥ a2+2ab+ b2+2ac+2bc+c2
⇔ (a-b)2 +(b-c)2+(c-a)2 ≥ 0 (luụn đỳng ∀a,b,c) (đpcm)
*Vớ dụ 4: Cho 2 số thực a,b thỏa món a+b≥ 2. Chứng minh rằng: a4 + b4 ≥ a3 + b3
(4) Dấu “=” xảy ra khi nào?
(Bp1) + Lời giải của học sinh:
(4) ⇔ a4 - a3+ b4 - b3 ≥ 0 ⇔ a3(a-1)+ b3(b-1)≥ 0 (luụn đỳng) Vỡ a+b≥ 2 nờn ta cú (a-1)+(b-1) ≥ 0 =>
Bỡnh luận: Nhỡn đề bài toỏn thỡ cú cảm giỏc khụng khú khi biến đổi đưa về bất đẳng thức đỳng. Do vậy học sinh đặt bỳt làm ngay, hiểu một cỏch đơn giản và dẫn đến sai lầm. Với cỏch lý luận của học sinh thỡ đó ngầm hiểu a3≥ 0 và b3≥ 0,
∀a,b. Nhưng ở đõy bài toỏn khụng cho giả thiết đú và cỏch lý luận trờn cũng sai lầm vỡ nếu x>0, y>0 thỡ ta mới suy ra được x+y>0, điều ngược lại khụng đỳng.
*Biện phỏp khắc phục:
(Bp2,5) - GV phõn tớch và chỉ ra sai lầm của học sinh trong lời giải trờn. - Định hướng biện phỏp khắc phục lỗi sai của học sinh:
Phõn tớch: a3 = (a3 - 1)+ 1 và b3 = (b3 - 1)+ 1
Sau đú sử dụng hằng đẳng thức: a3 - b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
(Bp3) - Học sinh thực hiện lại lời giải:
4) ⇔ a4 - a3+ b4 - b3 ≥ 0 ⇔ a3(a-1)+ b3(b-1)≥ 0 ⇔ [(a3 - 1)+ 1](a-1)+ [(b3 - 1)+ 1](b-1)≥ 0 ⇔ (a3 - 1)(a-1)+ (b3 - 1)(b-1) +a+b-2 ≥ 0
⇔ (a - 1)2(a2 +a+1)+ (b - 1)2(b2 +b+1) +a+b-2≥ 0 (*)
(*) luụn đỳng vỡ (a-1)2≥ 0; (b-1)2≥ 0 và a2 +a+1>0, ∀a; b2 +b+1>0, ∀b Theo giả thiết: a+b≥ 2 => a+b-2≥ 0
Dấu “=” xảy ra ⇔ ⇔ a=b=1
(Bp5,6) - Với lời giải đỳng ở vớ dụ 3 thỡ giỏo viờn hướng dẫn học sinh làm bài toỏn tương tự: : Cho 3 số thực a,b,c thỏa món a+b+c≥ 3. Chứng minh rằng:
a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3
*Vớ dụ 5: Chứng minh rằng:
a2 + b2 +c2 + d2+e2≥ a(b+c+d+e) (5) với a,b,c,d,e ∈R
(Bp1) + Học sinh giải như sau:
Áp dụng bất đẳng thức Cụ-si ta cú:
=> a2 + b2 +c2 + d2+e2 ≥ ab+ac+ad+ae = a(b+c+d+e)
Bỡnh luận: Ở đõy học sinh sử dụng định lý Cụ-si cho hai số mà khụng để ý đến điều kiện của nú ( cỏc số phải khụng õm). Khi với mọi a,b là số thực thỡ định lý
khụng cũn đỳng nữa vỡ nếu a, b trỏi dấu thỡ ab<0 do đú khụng cú . Cũn nếu a,b cựng õm thỡ vế trỏi <0, vế phải >0 => bất đẳng thức khụng đỳng.
*Biện phỏp khắc phục:
(Bp2) - GV nhấn mạnh điều kiện của định lý Cụ-si
- Ở bài toỏn này khụng thể vận dụng bất đẳng thức Cụ-si để giải mà phải biến đổi đưa về bất đẳng thức đỳng đó biết.
(Bp5) - Cho học sinh giải lại bài toỏn theo định hướng của giỏo viờn. (5) ⇔ a2 + b2 +c2 + d2+e2 - a(b+c+d+e) ≥ 0
⇔ ( - b)2 +( - c)2 +( - d)2 +( - e)2 ≥ 0 (luụn đỳng)
(Bp6) - Sau khi giải bài toỏn ở vớ dụ 5, cú học sinh tổng quỏt húa bài toỏn như sau: Do a là một số cố định nờn mở rộng cho n số hạng tiếp theo là được:
a2 + a1 + a22 + ...+ an2 ≥ a(a1+ a2 + ...+ an) với a1, a2, ...,an ∈ R
Bỡnh luận: Học sinh khỏi quỏt như vậy liệu cú chớnh xỏc khụng. Ở đõy tư duy của học sinh tổng quỏt húa bài toỏn chưa đỳng. Quay lại lời giải đỳng của vớ dụ 5: Vế trỏi ( )2 lặp lại 4 lần và cộng lại thỡ bằng a2. Nhưng nếu ở vế trỏi nhiều hơn hay ớt hơn thỡ sự phõn tớch trờn khụng đỳng nữa, nếu tăng số hạng lờn n số thỡ cần phải cú n lần ()2 cú tổng bằng a2. Khi đú với cỏch viết tương tự ta được:
( - a1)2 + ( - a2)2 +...+ ( - an)2≥ 0 . Vậy bất đẳng thức đỳng là:
a2 + a1 + a22 + ...+ an2 ≥ (a1+ a2 + ...+ an) với a1, a2, ...,an ∈ R Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Cho cỏc số thực a,b,c,d tựy ý. Chứng minh rằng: a) a2 + b2 +c2 + 3 ≥ 2(a+b+c)
b) a4 + b4 ≥ a3b + ab3
c) a2 + b2 + 3(a+b+3) ≥ ab
d) a4 + b4 +c2 + 1 ≥ 2a(ab2 - a + c + 1)
Bài tập 2: Cho cỏc số thực a,b thỏa món a+b≥ 0. Chứng minh rằng: a) a3 + b3 ≥ a2b + ab2
b) ≥ ( )2
2.4.4.2. Chứng minh bất đẳng thức bằng phương phỏp sử dụngbất đẳng thức Cụ-si.
Đặc trưng của phương phỏp này là chỉ phõn tớch một vế rồi sử dụng bất đẳng thức Cụ-si cho 2 hoặc 3,… số thớch hợp. Cú thể ỏp dụng bất đẳng thức Cụ-si dưới nhiều hỡnh thức khỏc nhau như đỏnh giỏ từ trung bỡnh cộng sang trung bỡnh nhõn hoặc từ trung bỡnh nhõn sang trung bỡnh cộng và cũng cú thể cõn bằng hệ số, ghộp đụi, ghộp thờm,…
*Vớ dụ 1: Chứng minh rằng: (a+b)( + ) ≥ 4, ∀a,b >0
(Bp1) Với bài tập này học sinh khụng mấy khú khăn nếu như nắm vững bất đẳng thức Cụ-si. Đối với học sinh yếu kộm thỡ cần sự hỗ trợ của GV:
- Áp dụng bất đẳng thức Cụ-si cho cỏc cặp số trong dấu ngoặc
- Sử dụng tớnh chất về bất đẳng thức: phộp nhõn hai vế khụng õm của 2 bất đẳng thức cựng chiều.
- GV cho học sinh yếu kộm thực hiện lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cụ-si cho cỏc cặp số dương: a,b và , Ta cú: => (a+b)( + ) ≥ 4 . => (a+b)( + ) ≥ 4
(Bp5,6) - Từ vớ dụ 1 học sinh vận dụng giải tương tự cho bài toỏn sau: “Chứng minh rằng: (a+b+c)( + + ) ≥ 9, ∀a,b,c >0 ”
+ Nếu với học sinh khỏ thỡ cú thể nghĩ ngay đến phương phỏp làm là sử dụng bất đẳng thức Cụ-si cho ba số khụng õm và tớnh chất của phộp nhõn hai vế khụng õm của hai bất đẳng thức cựng chiều.
+ Tuy nhiờn cú học sinh lại vận dụng bất đẳng thức Cụ-si cho 2 số khụng õm sau khi biến đổi vế trỏi của bất đẳng thức cần chứng minh.
Ta cú: (a+b+c)( + + ) = 3 +( + )+( + )+( + )
Bài toỏn: Chứng minh rằng: a) + ≥ , ∀x,y >0 b) + + ≥ , ∀x,y,z >0
- GV cho học sinh nhận xột và nờu cỏch làm bài toỏn trờn.
- Thực chất về mặt hỡnh thức thỡ khỏc nhau nhưng về mặt nội dung thỡ chớnh là cỏch chứng minh giống ở vớ dụ 1 và bài toỏn tương tự.
*Vớ dụ 2: Chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc, ∀a,b,c>0
(Bp1) Với phương phỏp làm tương tự vớ dụ 1 học sinh dễ dàng chứng minh vớ dụ 2: Áp dụng bất đẳng thức Cụ-si cho cỏc cặp số dương: (a,b) ; (b,c); (c,a)
Ta cú: => (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8 = 8abc (đpcm)
(Bp4,5) - Từ vớ dụ 2 GV cho bài toỏn dưới dạng hỡnh thức khỏc thỡ nhiều em lại gặp khú khăn trong hướng tỡm lời giải:
“ Cho a, b, c ∈ R thỏa món: a+b+c = 1. Chứng minh rằng: (1-a)(1-b)(1-c) ≥ 8abc . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bỡnh luận: Bản chất bài toỏn này là một hỡnh thức khỏc của nội dung bài toỏn ở vớ dụ 2. Do học sinh hiểu và vận dụng một cỏch mỏy múc nờn thấy khú đối với bài toỏn này. Nhưng ta chỉ cần sử dụng giả thiết và biến đổi bài toỏn một chỳt thỡ bài toỏn trở về dạng bài toỏn ở vớ dụ 2:
Giả thiết: a+b+c=1. Ta cú(1-a)(1-b)(1-c) = (a+b)(b+c)(c+a) Bài toỏn trở về: Chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc Ở đõy dấu “=” xảy ra <=> a=b=c=
(Bp5,6) - Để nõng cao thờm một bậc về kiến thức, từ bài toỏn trờn GV đưa thờm bài toỏn sau: “Chứng minh rằng: (a2+b2)(b2+c2)(c2 +a2) ≥ 8a2 b2c2 , ∀a,b,c ”
(Bp1) + Học sinh chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức Cụ-si, ta cú: => (a2+b2)(b2+c2)(c2 +a2) ≥ 8a2 b2c2
- Học sinh chưa ý thức được tầm quan trọng của giả thiết bất đẳng thức (cỏc vế khụng õm) nờn đó vận dụng tớnh chất về phộp nhõn 2 vế của bất đẳng thức cựng chiều. Hai vớ dụ trờn giả thiết đều cho cỏc số dương, cũn ở bài toỏn này thỡ với mọi a,b,c.
*Biện phỏp khắc phục:
(Bp2) - GV nhắc lại tớnh chất: => ac>bd - Lưu ý học sinh: =
(Bp3) + Học sinh vận dụng chứng minh lại:
=> (a2+b2)(b2+c2)(c2 +a2) ≥ 8a2 b2c2
(Bp5,6) - Khụng phải bài toỏn nào cũng chỉ cú một phương ỏn duy nhất để giải. Cú những bài toỏn mà ta cú thể giải quyết theo nhiều hướng khỏc nhau. Chỳng ta quay về bài toỏn ở vớ dụ 2 (mục 2.4.4.1)
“Chứng minh rằng, nếu a≥ 0 và b≥ 0 thỡ a3+b3≥ab(a+b)
(1)”
+ Ngoài phương ỏn đưa về bất đẳng thức đỳng đó biết, dựa vào giả thiết của bài toỏn (a≥0 và b≥0) và bất đẳng thức cần chứng minh ta nghĩ ngay đến bất đẳng thức Cụ – si. Tựy thuộc vào khả năng vận dụng khộo lộo bất đẳng thức Cụ – si của học sinh mà cỏc em cú thể chứng minh (1) theo cỏc sau:
Cỏch 4: Áp dụng bất đẳng thức Cụ – si cho ba số khụng õm, ta cú 3 . . . . 3 3 3 3 3 3 3 2 a a b b a a b a a b a = = ≤ + + (*) 3 . . . . 3 3 3 3 3 3 3 2 a b b b b a b b a ab = = ≤ + + (**) Cộng theo vế (*) và (**) ta cú điều phải chứng minh. Cỏch 5: Áp dụng bất đẳng thức Cụ – si, ta cú a3+ab2≥2 a3ab2 =2a2b 2 2 3 2 3 a b 2 b a b 2ab b + ≥ = Cộng theo vế ta cú điều phải chứng minh.
“Cho hai số thực x và y thỏa món x+y=2. Chứng minh rằng: x2+y2 ≥2. Cỏch 3: Áp dụng bất đẳng thức Cụ – si, ta cú x x x x x x2+1≥2 2 =2 ⇒ 2+1≥2 ≥2 . Tương tự ta cú: y2 + 1≥ 2y Từ đú suy ra x2+y2+2≥2(x+y)⇒x2+y2≥2.
- Ở cả hai vớ dụ này ngoài hai phương phỏp trờn ta cũn cú thể dựng một vài phương phỏp khỏc để giải quyết bài toỏn. Chẳng hạn cú thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopsitki…Đối với học sinh khỏ cú thể đọc thờm về định lý này.
*Vớ dụ 3:
Cho 3 số thực a, b, c khụng õm. Chứng minh rằng: + + ≤ a + b + c
(Bp1) Với vớ dụ này học sinh dễ dàng chứng minh được bằng cỏch sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cụ-si và sử dụng tớnh chất cộng hai vế của cỏc bất đẳng thức cựng chiều.
(Bp5,6) Từ vớ dụ 3, GV cho học sinh làm bài toỏn sau: “Cho 3 số thực a, b, c khụng õm. Chứng minh rằng:
c2 + a2 + b2 ≤ a3 + b3 + c3. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? ” - GV định hướng, gợi động cơ cho học sinh giả bài toỏn này: Ta cú:
=>c2 + a2 + b2≤
≤ =a3 + b3 + c3
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
*Vớ dụ 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: + + ≥ a + b + c. Dấu bằng xảy ra khi nào?
(Bp2) - GV hướng dẫn học sinh giải quyết bài toỏn: Để sử dụng được bất đẳng thức