S ỏch giỏo khoa Đại số 10 xuất bản năm 2006 (mới) cú một số ớt thay đổi về nội dung so với sỏch Đại số 10 chỉnh lý và hợp nhất năm 2000 (cũ), để phự hợp
2.4.3. Chủ đề 3: Bất phương trỡnh một ẩn
*Kiến thức trọng tõm
+Bất phương trỡnh một ẩn
Cú dạng: f(x) < g(x) ( f(x) ≤ g(x) và f(x) >g(x) ( f(x) ≥ g(x) ); trong đú f(x), g(x) là những biểu thức chứa biến x + Bất phương trỡnh bậc nhất một ẩn Cú dạng : ax + b > 0 (1) (<; ≥; ≤ ), trong đú a, b ∈ R , a≠0 a > 0: (1) <=> x > - a < 0: (1) <=> x < - + Bất phương trỡnh bậc hai một ẩn Cú dạng : ax2 + bx + c > 0 (2) (<; ≥; ≤ ), trong đú a, b, c ∈ R , a≠0 - Xột dấu tam thức bậc hai ở vế trỏi của bất phương trỡnh - Tựy theo chiều của bpt suy ra tập nghiệm
+ Định lý về dấu của tam thức bậc hai
Cho f(x) = ax2 + bx + c (a≠0); ∆ = b2 - 4ac
Dấu của ∆ Dấu của f(x) ∆ < 0 a.f(x) > 0, ∀x ∆ = 0 a.f(x) > 0, ∀x ≠- ( f(x) = 0 <=> x = - ∆>0,f(x) cú 2 nghiệm phõn biệt, (x1 < x2) • a.f(x) > 0, ∀x ∈ (- ∞; x1)∪ (x2; +∞) • a.f(x) > 0, ∀x ∈ (x1; x2)
+ Một số phộp biến đổi bất phương trỡnh
Lưu ý học sinh:
Khi biến đổi tương đương bất phương trỡnh thỡ điều kiện của bất pt khụng được thay đổi.
+ P(x) < Q(x) <=> P(x) ± f(x) < Q(x) ± f(x) (f(x) cú cựng tập xỏc định) P(x) < Q(x) + f(x) <=> P(x) - f(x) < Q(x)
+ P(x) < Q(x) <=>
+ P(x) < Q(x) <=> P2(x) < Q2(x) nếu P(x)≥ 0 và Q(x) ≥ 0, ∀x
+ Một số chỳ ý khi biến đổi một bất phương trỡnh thành bpt tương đương
1) Khi biến đổi cỏc biểu thức ở hai vế của một bpt thỡ điều kiện của bpt cú thể bị thay đổi. Vỡ vậy, để tỡm nghiệm của một bpt thỡ ta phải tỡm cỏc giỏ trị của x thừa món điều kiện của bất phương trỡnh đú và là nghiệm của bpt mới.
2) Khi nhõn(chia) hai vế của bpt P(x) < Q(x) với biểu thức f(x) ta cần chỳ ý đến điều kiện về dấu của f(x). Nếu f(x) nhận cả giỏ trị dương lẫn giỏ trị õm thỡ ta phải lần lượt xột từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trỡnh.
3) Khi giải bpt P(x) < Q(x) mà phải bỡnh phương hai vế thỡ ta lần lượt xột hai trường hợp:
P(x), Q(x) cựng cú giỏ trị khụng õm, ta bỡnh phương hai vế bpt.
P(x), Q(x) cựng cú giỏ trị õm ta viết: P(x) < Q(x) <=> -P(x) > -Q(x) rồi bỡnh phương hai vế bất phương trỡnh mới.
*Mục đớch nội dung luyện tập, ụn tập
Với lượng kiến thức trọng tõm khụng nhiều cho việc giải bất phương trỡnh một ẩn trong phạm vi Đại số 10. Để học sinh vận dụng được cỏc kiến thức đú vào giải bài tập toỏn đối với học sinh trường ngoài cụng lập là cả một vấn đề khú khăn với cỏc em. Nguyờn nhõn chớnh học sinh khụng giải quyết được cỏc bài toỏn hoặc gặp những sai lầm đỏng kể trong giải bài tập về bất phương trỡnh một ẩn đú là sự yếu kộm của cỏc em về Toỏn. Lượng kiến thức “hổng” ở cỏc lớp dưới quỏ nhiều dẫn đến cỏc em khụng thể trỏnh khỏi những sai lầm khụng đỏng cú. Với phạm vi của đề tài chỳng tụi chỉ sử dụng những bài toỏn cơ bản trong sỏch giỏo khoa và nờu ra một số sai lầm của học sinh yếu kộm trong ụn tập chủ đề “Bất phương trỡnh một ẩn”- Đại số 10, từ đú cú biện phỏp khắc phục và lấp lượng kiến thức hổng của cỏc em và phần nào giỳp cỏc em cú năng lực về Toỏn hơn.
2.4.3.1. Bất phương trỡnh bậc nhất và bất phương trỡnh bậc hai một ẩn
*Vớ dụ 1: Giải cỏc phương trỡnh sau: a. -3x + 5 < 0 (1)
b. x2 - 4x + 3 > 0 (2)
(Bp1)Học sinh đưa ra lời giải như sau:
a) -3x < -5 <=> x < . Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh là T = (-∞ ; ) b) Xột f(x) = x2 - 4x + 3 cú a+b+c = 0 => f(x) cú 2 nghiệm x1 = 1, x2 = 3
Vỡ a và f(x) cựng dấu nờn tập nghiệm của (2) là T = (1;3)
Bỡnh luận: Ở đõy học sinh sai lầm vỡ khụng nắm vững bản chất, nội dung của lý thuyết đó học. Khi sử dụng phộp biến đổi tương đương (Vớ dụ 1a) thỡ việc nhõn cả hai vế của 1 bpt với cựng một số õm thỡ ta được bpt mới tương đương và ngược chiều. Cũn ở vớ dụ 1b thỡ học sinh lại sai lầm ngụn ngữ, ký hiệu. Trong trường hợp ∆ > 0 tam thức bậc hai cú hai nghiệm phõn biệt và a, f(x) cựng dấu với mọi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm thỡ học sinh lại kết luận ngược lại.
*Biện phỏp khắc phục:
(Bp2) - Nờu lại một số chỳ ý khi biến đổi tương đương bpt P(x) < Q(x) <=>
Lưu ý: Khi biến đổi tương đương khụng làm thay đổi điều kiện của bất phương trỡnh.
- Nhắc lại định lý về dấu của tam thức bậc hai.
(Bp3)- Từ đú yờu cầu học sinh ỏp dụng để giải vớ dụ 1.
(Bp5) - Để khắc sõu phương phỏp giải thỡ giỏo viờn yều cầu học sinh làm thờm bài tập.
*Bài tập 1: Giải cỏc bất phương trỡnh sau:
a. 2x - 10 ≥ 0; b. -4x + 6 > 0; c. 6x - 8 ≤ 0 *Bài tập 2: Giải cỏc bất phương trỡnh sau
*Vớ dụ 2:
Giải cỏc bất phương trỡnh sau:
a) (x+2)(2x-1)- 2 ≤ x2 + (x-1)(x+3) (3) b) (2x+1)(1-x) < x2 - 1 (4)
(Bp1) Khi đưa ra phương trỡnh đú học sinh thường giải như sau: a) (3) ⇔ 2x2 + 3x - 4 ≤ 2x2 + 2x - 3
⇔ 2x2 + 3x - 4 - 2x2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇔ 5x - 7 ≤ 0
⇔ x ≤
Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh (3) là T = (-∞ ; ] b) (4) ⇔ -2x2 + x + 1 < x2 - 1
⇔ 3x2 + x < 0 ⇔ x < 0 ∪ x >
Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh (4) là T = (- ∞; 0)∪ ( ; +∞)
Ở vớ dụ 2, học sinh mắc phải sai lầm là chuyển vế mà khi bỏ dấu ngoặc đằng trước cú dấu ( - )nhưng lại khụng đổi dấu tất cả cỏc hạng tử nằm trong đú chỉ đổi dấu một hạng tử. Nhưng thực chất ở đõy khi chuyển vế đổi dấu là cộng cả hai vế của bpt (3) với biểu thức -(2x2 +2x-3), bpt (4) với biểu thức -(x2-1).
*Biện phỏp khắc phục:
(Bp2)- Giỏo viờn nhắc lại: P(x) < Q(x) + f(x) <=> P(x) - f(x) < Q(x)
- Mặc dự ở phần luyện tập về phương trỡnh một ẩn giỏo viờn đó nhắc lại kiến thức cơ bản về: Bỏ dấu ngoặc trong một biểu thức đại số tức là thay biểu thức ấy bởi một biểu thức bằng với nú khụng chứa dấu ngoặc. Tuy nhiờn đến phần giải bất phương trỡnh một ẩn vẫn cú một số học sinh kộm lại khụng thể nhớ.
- Học sinh nhớ lại: A-(B+C-D) = A-B-C+D
(Bp3)- Cho học sinh vận dụng quy tắc trờn để giải vớ dụ 2 Đỏp số: a) T = (-∞ ; 1]
b) T = (- ∞; ) ∪ ( 1 ; +∞)
(Bp4)- Giỏo viờn cựng học sinh theo dừi và sửa bài nếu cú sai sút.
(Bp5) - Giỏo viờn nờu bài tập vận dụng giỳp học sinh học tập và ghi nhớ quy tắc vừa được củng cố.
*Bài tập 3: Giải cỏc bất phương trỡnh sau: a. - ≥ ;
b. (x+1)(2x-3)- 4x +1 ≤ x2 - 3+ (x-1)(x+2) c. 2(x2 - 2) < 7x + 1
d. (2x - 1)2 > -x2 + x + 1
2.4.3.2. Bất phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu, chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, chứa ẩn trong dấu giỏ trị tuyệt đối.
Học sinh đó yếu kộm về kiến thức toỏn học thỡ việc phõn biệt phộp biến đổi đưa về bất phương trỡnh tương đương, đú là việc làm thực sự khú khăn đối với học sinh. Trong quỏ trỡnh biến đổi học sinh thường dựng dấu <=> hoặc dấu => mà khụng phõn biệt được khi nào dựng cho những bài toỏn nào là phự hợp. Giỏo viờn cần nhấn mạnh về phộp biến đổi tương đương, khi biến đổi tương đương thỡ điều kiện xỏc định của bất phương trỡnh khụng thay đổi. Mặc dự trong những tiết ụn tập về phương trỡnh học sinh đó được trải nghiệm về sự biến đổi này nhưng học sinh vẫn chưa thật sự hiểu hết về bản chất của việc sử dụng phộp biến đổi tương đương. Trong phạm vi SGK Đại số 10, chỳng tụi chỉ giới thiệu một số dạng bất phương trỡnh một ẩn đơn giản đú là bpt chứa dấu giỏ trị tuyệt đối, bpt chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai và bất phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu.
*Vớ dụ 1:
Giải bất phương trỡnh: ≤ 0 (1) (SGK Đại số 10)
(Bp1) + Học sinh tiến hành giải: ĐK x≠ 5
Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh (1) là T = [-3;5]
Bỡnh luận: Ở đõy học sinh đó đồng nhất ký hiệu [;] và [;). Học sinh đó sử dụng ký hiệu tựy tiện, khụng theo quy định hoặc khụng đỳng với bản chất của nú. Học sinh cho rằng T = [-3;5], x = 5 cũng là nghiệm của bpt. Điều đú là khụng thể vỡ x = 5 bpt khụng xỏc định.
* Biện phỏp khắc phục:
(Bp2) - GV nhắc lại một số ký hiệu thường sử dụng trong tập hợp ở chương 1: a ≤ x < b ⇔ x ∈ [a;b)
a ≤ x ≤ b ⇔ x ∈ [a;b] a < x < b ⇔ x ∈ (a;b)
Việc nắm vững cỏc khỏi niệm khoảng, nửa khoảng, đoạn, biết thực hiện cỏc phộp toỏn trờn cỏc khoảng, nửa khoảng, đoạn trục số để biểu diễn, đú là nền tảng cho kỹ năng giải bất phương trỡnh, hệ bpt…
(Bp3)- Học sinh vận dụng kết luận lại tập nghiệm của bpt (1)
*Vớ dụ 2:
Giải bpt sau: + < (2)
(Bp1) + Khi GV đưa ra bài tập này HS thường làm như sau: ĐK: Bpt (2) <=> (x + 4)(x+3) + x(x+3) < 3x(x+4) <=> -2x2 -2x +12 < 0 <=> x2 + x - 6 < 0 <=> -3 < x< 2 Vậy T = (-3;2)\{0}
Bỡnh luận: Sai lầm bắt nguồn từ việc học sinh cú thúi quen quy đồng mẫu như việc giải phương trỡnh (quy đồng làm mất mẫu) hoặc học sinh khụng hiểu được bản chất của việc giải bất phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu. Mặt khỏc, cú thể học
sinh bắt nguồn từ việc ỏp dụng quy tắc so sỏnh 2 số hữu tỷ ở lớp dưới ( > ) ⇔ ad>bd mà quờn điều kiện b, d > 0
Hơn nữa, trong quỏ trỡnh biến đổi ( -2x2 -2x +12) < 0 <=> x2 + x - 6 < 0) học sinh lại mắc phải sai lầm tiếp theo là: khi nhõn hai vế của một bất phương trỡnh với cựng một số õm thỡ ta được bpt mới tương đương và ngược chiều.
*Biện phỏp khắc phục:
(Bp1)- GV: phõn biệt cho học sinh rừ khi quy đồng mẫu số chứa biến của pt và bpt Đối với phương trỡnh sau khi đặt điều kiện cho pt cú nghĩa thỡ việc quy đồng hai vế của pt ta cú thể làm mất mẫu vỡ với điều kiện xỏc định thỡ khụng làm thay đổi tập nghiệm của phương trỡnh.
Cũn đối với bpt: Sau khi quy đồng thỡ khụng được làm mất mẫu, vỡ mẫu số chứa biến x, khi biến đổi sẽ phụ thuộc mẫu số mang dấu õm hay dương.
- Nhắc lại: P(x) < Q(x) <=>
(Bp3)- Áp dụng học sinh giải lại bài tập ở vớ dụ 2
(Bp5) - Khắc sõu: Cho học sinh làm bài toỏn tương tự
*Bài tập1: Giải cỏc bất phương trỡnh sau: a. > 0
b. - > c. ≤ d. ≥
*Vớ dụ 3
Giải bất phương trỡnh sau: > x-2 (3)
(Bp1) + Lời giải sai:
Học sinh đó vận dụng sai quy tắc biến đổi tương đương, khi bỡnh phương hai vế của bpt học sinh xột thiếu trường hợp x-2<0 và điều kiện biểu thức dưới dấu căn bậc hai khụng õm.
* Biện phỏp khắc phục:
(Bp2)- GV nhấn mạnh lại: Khi giải bpt P(x) > Q(x) mà phải bỡnh phương hai vế thỡ ta lần lượt xột hai trường hợp:
P(x), Q(x) cựng cú giỏ trị khụng õm, ta bỡnh phương hai vế bpt.
P(x), Q(x) cựng cú giỏ trị õm ta viết: P(x) > Q(x) <=> -P(x) < -Q(x) rồi bỡnh phương hai vế bất phương trỡnh mới.
(Bp6) - Sử dụng phộp biến đổi tương đương:
≥ g(x) <=>
(Bp3)- GV cho học sinh giải lại vớ dụ 3:
Đỏp số:
*Vớ dụ 4:
Giải bất phương trỡnh sau: ≤ 2x-7 (4)
(Bp1) + Sai lầm thường gặp: (4) ⇔ ⇔ ⇔
Nguyờn nhõn sai lầm: Với x ≤ -4 => ≥ 0 >2x-7 nờn x≤ -4 khụng thỏa món và khi học sinh kết luận bài toỏn lấy giao, hợp sai dẫn đến kết quả sai.
* Biện phỏp khắc phục:
(Bp2,6)- Nhắc lại cho học sinh nhớ:
P(x) < Q(x) <=> P2(x) < Q2(x) nếu P(x)≥ 0 và Q(x) ≥ 0, ∀x Phộp giao: A∩ B = {x/ x∈ A và x∈ B}
Phộp hợp: A∪ B = {x/ x∈ A hoặc x∈ B} - Phương phỏp: ≤ g(x) ⇔
(Bp3,4)- GV cho học sinh giải lại vớ dụ 4: (4) ⇔ ⇔ ⇔ x ≥ 5
Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh (4) là T = [5; +∞)
*Vớ dụ 5:
Giải bất phương trỡnh sau: x2 - x - 4 + ≤ ( 5 )
(Bp1) + Sai lầm thường gặp: (5) ⇔ x2 - x - 4 + ≤ 2+
⇔ x2 - x - 6 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ x ≤ 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh (5) là T = [-2;3]
Bỡnh luận: Học sinh sai lầm trong phộp biến đổi tương đương. Vỡ khi thờm vào hai vế của bpt (5) với cựng một hàm số thỡ nhận được bpt khụng tương đương với (5). Phộp biển đổi này làm thay đổi tập xỏc định của bpt ban đầu. Trong phộp biến đổi x2 - x -4 + ≤ 2+ thành x2 - x - 6 ≤ 0 là khụng tương đương.
* Biện phỏp khắc phục: (Bp2)- GV nhắc lại :
P(x) < Q(x) <=> P(x) ± f(x) < Q(x) ± f(x) (f(x) cú cựng tập xỏc định) Lưu ý khi biến đổi tương đương khụng làm thay đổi đk của bpt.
(Bp3,4)- GV hướng dẫn học sinh giải lại vớ dụ 5: (5) ⇔ x2 - x - 4 + ≤ 2+
⇔ ⇔ ⇔ -2 ≤ x ≤ 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trỡnh (5) là T = [-2;2]
*Bài tập2: Giải cỏc bất phương trỡnh sau: a. < x-2
b. >x-3 c. + >
d. 3x2 - 2x - ≥ e. - >
*Vớ dụ 6:
Giải bất phương trỡnh sau: + 2x - 1 < 5 (6)
(Bp1) + Học sinh giải như sau: Ta cú = Với x ≥ 0 thỡ bpt (6) trở thành -x + 3 + 2x - 1 < 5 <=> x <3 Kết hợp đk ta cú 0≤ x<3 (*) Với x < 0 thỡ bpt (6) trở thành x - 3 + 2x - 1 < 5 <=> x < Kết hợp đk ta cú 0≤ x < (**) Kết hợp (*) và (**) ta cú => 0≤ x < Vậy bpt (6) cú tập nghiệm là T=[0; ]
Bỡnh luận: Ở đõy học sinh đó được nhắc lại về định nghĩa giỏ trị tuyệt đối của một biểu thức ở phần luyện tập phương trỡnh nhưng học sinh vẫn vận dụng và hiểu sai về định nghĩa giỏ trị tuyệt đối của một số và một biểu thức.
= -x+3 phải cú điều kiện -x+3 ≥ 0 tức là x ≤ 3 và = x-3 phải cố điều kiện -x+3 < 0 tức là x > 3
Hơn nữa học sinh khụng phõn biệt được hai ký hiệu { và [ . Ở đõy phải là hợp của hai trường hợp thỡ học sinh lại lấy giao của hai tập hợp.
*Biện phỏp khắc phục:
(Bp2)- GV nhắc lại định nghĩa về dấu giỏ trị tuyệt đối: + = ; + =
- GV cũng lưu ý học sinh là dấu { khụng mang ý nghĩa của phộp giao. Khi xột cỏc trường hợp của việc tỏch khỏi dấu giỏ trị tuyệt đối thỡ tập nghiệm của bất phương trỡnh phải là hợp của hai tập nghiệm trong cỏc trường hợp xột.
(Bp3,4)- Cho học sinh giải lại vớ dụ 6:
Xột hai trường hợp: x ≤ 3 Tập nghiệm T1 = (-∞; 3) x>3 Tập nghiệm T2 = φ Vậy bpt (6) cú tập nghiệm là T = T1 ∪ T2 = (-∞; 3)
*Vớ dụ 7:
Giải bất phương trỡnh sau: ≥ 4 (7)
(Bp1) + Lời giải sai:
(7) ⇔ -4≤ 8x-3≤ 4 ⇔ -1 ≤ 8x ≤ 7 ⇔ - ≤ x ≤ Vậy bpt (7) cú tập nghiệm là T = (- ; )
Ở đõy học sinh vận dụng sai tớnh chất của giỏ trị tuyệt đối để dễ dàng giải bpt dạng ≥ a.
*Biện phỏp khắc phục:
(Bp2) - Cú thể dựng phương phỏp sử dụng định nghĩa về dấu giỏ trị tuyệt đối để khử dấu, chia bpt thành nhiều khoảng, (nửa đoạn, nửa khoảng) khỏc nhau. Tương tự vớ dụ 6.
- Cũng cú thể vận dụng tớnh chất của giỏ trị tuyệt đối để giải bpt dạng: ≥ a và ≤ a với a > 0
Phương phỏp: ≤ a ⇔ -a ≤ f(x) ≤ a ≥ a ⇔ (a>0)
(Bp3)- GV cho học sinh giải lại vớ dụ 7:
(7) ⇔ Đỏp số: T = (-∞; - ) ∪ (; +∞)
*Vớ dụ 8:
Giải bất phương trỡnh sau: < (8)
(Bp1) + Lời giải sai:
(8) ⇔ < ⇔ - <0
⇔ < 0 ⇔ ….⇔ >0
Bỡnh luận: Sai lầm đầu tiờn học sinh mắc phải đú là khụng đặt điều kiện trược khi biến đổi tương đương (x≠-2; x≠1).Tiếp đú là học sinh lại quờn kiến thức cơ bản (phộp nhõn hai phõn thức).
*Biện phỏp khắc phục:
(Bp2) - Nhắc lại quy tắc nhõn hai phõn thức: . =
- Trước khi giải bất phương trỡnh phải đặt điều kiện cho bpt xỏc định
(Bp3,4)- Học sinh giải lại vớ dụ 8: ĐK: x≠-2; x≠1
(8) ⇔ < ⇔ ….⇔ >0
⇔ (x+5)(x+1)>0 ⇔ x < -5∪ x > -1
Kết hợp với điều kiện ta cú: T = (-∞; - 5)∪ (-1;1) ∪ (1; +∞)
GV ra bài tập tương tự theo mức độ từ dễ đến khú để học sinh vận dụng *Bài tập 3: Giải cỏc bất phương trỡnh sau:
a. < 2x+3 b. > 3 c. <1 d. ≥ e. > x g. ≤ 5
2.4.3.3. Bất phương trỡnh một ẩn chứa tham số
Khi dạy nội dung về giải bất phương trỡnh dạng ax+b>0 hoặc ax2 +bx+c>0 (a≠0) cú quy trỡnh rừ ràng. Tuy nhiờn, khi đề cập đến việc giải và biện luận cỏc bỏt phương trỡnh ax+b>0 hoặc ax2 +bx+c>0 theo tham số thỡ nhiều học sinh khụng nắm rừ về khỏi niệm bất phương trỡnh tham số, nhầm lẫn giữa ẩn số và tham số, khụng phõn biệt được hệ số đó cho. Do vậy học sinh thường mắc sai lầm khi giải và biện luận bất phương trỡnh theo tham số hoặc cỏc dạng bài tập cú chứa tham số.
GV phõn bậc hoạt động đưa ra bài tập phự hợp để học sinh nắm vững quy trỡnh và