Các chứng minh của ĐLB1 và ĐLB2 đòi hỏi một số dạng của tiên đề chọn, và thực ra, mệnh đề cho rằng mọi không gian giả metric đủ là không gian Baire thì một cách lô gíc tương đương với một phiên bản yếu hơn của tiên đề chọn gọi là tiên đề chọn phụ thuộc. [1]
Ứng dụng
ĐLB1 được dùng để chứng minh định lý ánh xạ mở, định lý đồ thị đóng và nguyên lý bị chặn đều. ĐLB1 cũng chỉ ra rằng mọi không gian metric đủ mà không có các điểm cô lập thì không đếm được. ( Nếu là một không gian metric đủ đếm được mà không có các điểm cô lập thì mỗi tập đơn nhất {x} trong là không trù mật mọi nơi, và do đó là thuộc về phạm trù thứ 1 trong chính nó. Một cách đặc biệt, điều này chứng tỏ rằng tật của tất cả các số thực là không đếm được. ĐLB1 chỉ ra rằng các không gian sau đây là không gian Baire
• Không gian các số thực R
• Không gian các số vô tỉ.
• Tập hợp Cantor
• Mọi không gian tô pô đẳng cấu với một không gian Baire
Nguyên lý ánh xạ mở
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia (đổi hướng từ Định lý ánh xạ mở) Bước tới: menu, tìm kiếm
Trong toán học, có 2 định lý có cùng tên "nguyên lý ánh xạ mở". Trong cả hai trường hợp, chúng đều đưa ra những điều kiện mà nếu thỏa thì một số ánh xạ cho trước là ánh xạ mở, nghĩa là ảnh của những tập mở là những tập mở. Đó là những kết quả quan trọng, vì không giống như ảnh ngược, ảnh của ánh xạ thường là ít thông tin hơn.
Giải tích hàm
Trong giải tích hàm, nguyên lý ánh xạ mở, cũng được biết đến như là Định lý Banach-Schauder, là một kết quả căn bản phát biểu rằng: nếu A: X → Y là một toàn ánh liên tục và tuyến tính giữa các không gian Banach X và Y, thì A là một ánh xạ mở (i.e. nếu U là một tập mở trong X, thì A(U) là tập mở trong Y).
Chứng minh định lý này sử dụng định lý phạm trù Baire. Nguyên lý ánh xạ mở có hai hệ quả quan trọng sau đây:
• Nếu A: X → Y là một song ánh liên tục tuyến tính giữa hai không gian Banach X và Y, thì toán tử ngược A-1: Y →
X cũng liên tục (điều này gọi là định lý hàm ngược bị chặn).
• Nếu A: X → Y là một toán tử tuyến tính giữa hai không gian Banach X và Y, và nếu như mọi dãy (xn) trong X với
xn → 0 và Axn → y thì điều kéo theo là y = 0, thì A liên tục (Định lý đồ thị đóng).
Giải tích phức
Trong giải tích phức, định lý ánh xạ mở phát biểu rằng nếu U là một tập mở connected trong mặt phẳng phức C và f: U
→ C là một hàm số holomorphic không phải là hằng số, thì f là một ánh xạ mở (nghĩa là nó gửi các tập mở U đi thành các tập mở trong mặt phẳng phức C).
Định lý ánh xạ mở đưa ra điểm khác biệt rõ giữa holomorphy và khả vi thực (real-differentiability). Trên đường thẳng thực, ví dụ, hàm số f(x) = x2 không phải là ánh xạ mở (hàm này gửi đường thẳng thực (mở) thành đoạn . Trong khi đó, f (z) = z2 là hàm holomorphic.
Định lý này kéo theo một hàm số holomorphic không thể đưa một đĩa mở vào một phần của đường thẳng.