Cho hàm thực f liên tục trên đoạn [a, b], với mọi giá trị thực y ở giữa f(a) và f(b) tồn tại ít nhất một số x trong đoạn [a, b] sao cho f(x) = y
Định lý Brianchon
Định lý Brianchon được nhà toán học Charles-Julien Brianchon (1785-1864) chứng minh năm 1806. Phát biểu
• Nếu một lục giác ngoại tiếp một conic (đường bậc hai) thì 3 đường chéo của nó đồng quy.
Ghi chú
• Định lý là có thể được suy ra từ định lý Pascal về lục giác huyền bí (Pascal 's Mysctic Hexagram Theorem).
• Bản thân Brianchon đã chứng minh định lý này mà không dùng tới định lý Pascal nêu trên.
Định lý Brouwer
Định lý Brouwer được phát biểu năm 1912 bởi nhà luận lý học Hà Lan Luizen Egbertus Jan Brouwer và còn có tên là Nguyên lý điểm bất động Brouwer. Đây là một trong những định lý toán học quan trọng của thế kỉ 20, ngày nay vẫn
đang được tiếp tục mở rộng. Chứng minh nguyên thủy của Brouwer sử dụng phương pháp tôpô (phương pháp bậc của ánh xạ liên tục). Ngày nay đã có ít nhất năm cách chứng minh khác nhau cho nguyên lí nổi tiếng này và hàng chục định lý tương đương với nó đã được tìm ra.
Phát biểu (dạng nguyên thủy)
Một ánh xạ liên tục f từ hình cầu đóng trong Rn vào chính nó phải có điểm bất động, tức là tồn tại x sao cho f(x)=x. Thí dụ: Trong mặt phẳng phức, mọi ánh xạ liên tục của hình tròn đơn vị vào chính nó sẽ có một điểm cố định.
Mở rộng
Schauder, Tikhonov đã mở rộng nguyên lí này, và ở dạng tổng quát nó được gọi là nguyên lý Brouwer-Schauder- Tikhonov. Phát biểu như sau: Một ánh xạ liên tục f từ một tập lồi compact trong một không gian vector topo lồi địa phương Hausdorff vào chính nó phải có điểm bất động.