Bách khoa toàn thư mở Wikipedia Bước tới: menu, tìm kiếm
Trong một 2-mặt cầu thông thường, bất kì một vòng kín nào có thể thu nhỏ một cách liên tục thành một điểm trên mặt cầu. Liệu điều kiện này có đặc trưng cho 2-mặt cầu? Câu trả lời là có, và nó đã được biết đến từ lâu. Giả thuyết Poincare cũng đặt ra câu hỏi tương tự cho 3-mặt cầu, mà hình dung khó hơn.
Giả thuyết Poincare là một trong những giả thuyết toán học nổi tiếng và quan trọng bậc nhất do Jules-Henri Poincaré
đưa ra năm 1904, và được Grigori Perelman chứng minh vào năm 2002, 2003. Trong 100 năm tồn tại, nó trực tiếp và gián tiếp đem về 4 huy chương Fields cho Smale (1966), Thurston (1982), Freedman (1986) và Perelman (2006).
Phát Biểu
• Giả thuyết Poincare phát biểu rằng mọi đa tạp 3 chiều đóng và đơn liên thì nó đồng phôi với mặt cầu 3 chiều.
• Ý nghĩa: Giả thuyết Poincare cho biết mặt cầu 3 chiều là đa tạp duy nhất có các tính chất "tốt".
Đa tạp
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia Bước tới: menu, tìm kiếm
Trong hình cầu, tổng các góc trong của một tam giác cầu không bằng 180° (xem hình học cầu). Mặt cầu không phải là một mặt Euclidean, nhưng tại vùng lân cận thì gần như tương tự. Tại một vùng nhỏ trên mặt địa cầu, tổng các góc trong tam giác vẽ trên mặt đất là xấp xỉ 180°. Mặt cầu có thể được coi như một tập hợp các ánh xạ hai chiều, do đó mặt cầu chính là một đa tạp.
Đa tạp tô pô n chiều là một không gian tô pô với một phủ mở {Ui} trong đó mỗi Ui đồng phôi với một tập mở Bi của không gian Euclide n chiều, nói một cách khác, là không gian tôpô tách với mỗi điểm của nó có một lân cận đồng phôi với một tập mở trong không gian Euclide n chiều. Đa tạp chính là khái niệm toán học mở rộng của đường và mặt.