Định lý số dư Trung Quốc, hay bài toán Hàn Tín điểm binh, là một định lý nói về nghiệm của hệ phương trình đồng
dư bậc nhất.
Lịch sử
Định lý số dư Trung Quốc là tên người phương tây đặt cho định lý này. Người Trung Quốc gọi nó là bài toán Hàn Tín
điểm binh. Hàn Tín là một danh tướng thời Chiến Quốc, từng được phong tước vương thời Hán Cao Tổ Lưu Bang đang
khi Hàn Tín điểm quân số, ông cho quân lính xếp hàng 3, hàng 5, hàng 7 rồi báo cáo số dư. Từ đó ông tính chính xác quân số đến từng người.
Gần đây, định lý số dư Trung Quốc có nhiều ứng dụng trong các bài toán về số nguyên lớn áp dụng vào lý thuyết mật mã.
Nội dung
Bản chất của bài toán Hàn Tín điểm binh là việc giải hệ phương trình đồng dư bậc nhất
trong đó m1,m2,...,mk đôi một nguyên tố cùng nhau. Trong bài toán Hàn Tín k = 3 và m1 = 3,m2 = 5,m3 = 7.
Định lý
Hệ phương trình đồng dư nói trên có nghiệm duy nhất theo mođun M = m1.m2...mk
là
trong đó
M1 = M / m1,M2 = M / m2,...,Mk = M / mk
y1 = (M1) − 1(mod m1), y2 = (M2) − 1(mod m2),..., yk = (Mk) − 1(mod mk)
Ví dụ
Giải hệ phương trình đồng dư
ta có M = 3.5.7 = 105;M1 = 5.7 = 35,M2 = 3.7 = 21,M3 = 3.5 = 15. y1 = 35 − 1(mod 3) = 2 − 1(mod 3) = 2; y2 = 21 − 1(mod 5) = 1 − 1(mod 5) = 1; y3 = 15 − 1(mod 7) = 1 − 1(mod 7) = 1. Từ đó .