Giới thiệu
Khai triển khẳng định rằng mọi hàm có đạo hàm hữu hạn đến cấp n đều có thể xấp xỉ bởi một đa thức bậc n. Một ứng đụng đơn giản của định lí là xấp xỉ hàm lũy thừa ex tại điểm x = 0:
Đa thức này được gọi là xấp xỉ Taylor bậc n của e^x vì nó xấp xỉ giá trị của hàm lũy thừa bởi đa thức bậc n. Xấp xỉ này chỉ đúng khi x tiến dần về 0, và khi x càng xa điểm 0 thì xấp xỉ càng kém chính xác. Sai số của xấp xỉ (R) phụ thuộc vào phần dư bậc n:
Tổng quát, định lí Taylor áp dụng cho mọi hàm khả vi f cho ta một xấp xỉ khi x ở lân cận điểm a:
với sai số:
Định lí
Định lí đầy đủ được phát biểu như sau: Cho n là số nguyên dương và f là hàm khả vi liên tục đến cấp n trên khoảng đóng [a,x] và khả vi cấp n+1 trên khoảng mở (a,x) thì
với R_n(x) là phần dư bậc n.
Dạng Lagrange của phần dư trong công thức trên là với ξ là số nằm giữa a và x. Công thức được chứng minh định lí này nhờ định lí Lagrange.
với f(n) là hàm liên tục tuyệt đối trên [a,x]. Kết quả được chứng minh nhờ định lí cơ bản của giải tích.
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh định lí với phần dư dạng tích phân. Định lí cơ bản của giải tích cho ta:
hay Ta áp dụng tích phân từng phần:
hay Thay vào (*) ta được:
Áp dụng tích phân từng phần một lần nữa ta được :
Tính tương tự ta có điều phải chứng minh.
Ngoài ra còn có thể dùng quy nạp để chứng minh: Giả sử định lí đúng ở một giá trị n nào đó tức:
Ta tính tích phân cuối cùng bằng tích phân từng phần với chú ý rằng nguyên hàm của (x − t)n của hàm biến t là
Do đó định lí cũng đúng với n+1 do đó đúng với mọi n nguyên dương
Tổng Abel
Tổng Abel mặc dù đã được phát biểu bởi tên nhà toán học Na Uy Neils Henrick Abel (1802-1829) nhưng các lý thuyết
khả tổng được nghiên cứu bởi Euler và Gottfried Willhelm Leibniz.