, Ò ÒÒ Ä 1) Dạng khuyết
b) Phương trình không thuần nhất
• Phương pháp tìm nghiệm riêng
Theo Định lý 2, để tìm nghiệm tổng quát của (5) ta chỉ cần đi tìm một nghiệm riêng của nó là được bởi vì ở trên đã cho ta cách tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng. Tuy nhiên việc tìm một nghiệm riêng của (5) cũng là một việc khó khăn. Sau đây là một số trường hợp mà ta chắc chắn tìm được nghiệm riêng theo hướng dẫn.
Trường hợp ½_E,trong đó 1 là đa thức bậc n:
+) Nếu ` không là nghiệm của phương trình đặc trưng (6), thì nghiệm riêng của (5) có dạng
? ½_E_
+) Nếu ` là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (6), thì nghiệm riêng của (5) có dạng
? ½_E_
+) Nếu ` là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (6), thì nghiệm riêng của (5) có dạng ? ½_E_
Trong đó _ là đa thức bậc n ở dạng đầy đủ.
VÍ DỤ 8 Giải mỗi phương trình sau a) ÒÒ! 5Ò' 4 ½E
b) ÒÒ! 2Ò' ½E
144 a) + Phương trình thuần nhất tương ứng là
ÒÒ! 5Ò' 4 0 Phương trình đặc trưng là
d! 5d ' 4 0 Phương trình này có hai nghiệm thực phân biệt là 1; 4 Nghiệm tổng quát là 2=½E' 2½E.
+ ½E. và 2 không là nghiệm của phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng có dạng ? ½Eg ' i.
Thay vào phương trình đã cho và thu gọn, ta được
!2g ! g ! 2i Cân bằng hệ số, ta có g !=; i =.
Nên ? ½E;!= '=<.
Kết luận, nghiệm tổng quát của phương trình là 2=½E' 2½E' ½E;!= '=<. b) + Phương trình thuần nhất tương ứng là
ÒÒ! 2Ò' 0 Nghiệm tổng quát là 2=½E' 2½E.
+ ½E. và 1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng có dạng ? ½Eg ' i ½Egr' i.
Thay vào phương trình đã cho và thu gọn, ta được
6g ! 2i ' 4i Cân bằng hệ số, ta có g =\; i 0.
Nên ? ½E = \r.
Kết luận, nghiệm tổng quát của phương trình là 2=½E' 2½E'=\r½E.
Trường hợp ½±E$W cos Ï ' _£ sin Ï&,trong đó 1?,2a là đa thức bậc n, m tương ứng:
+) Nếu ² ',Ï không là nghiệm của phương trình (6), thì nghiệm riêng của (5) có dạng
? ½±E$ cos Ï ' sin Ï&
+) Nếu ² ',Ï Ï ) 0 là nghiệm của phương trình (6), thì nghiệm riêng của (5) có dạng
? ½±E$ cos Ï ' sin Ï& Trong đó d maxQ, V ; , _ là các đa thức bậc k dạng đầy đủ.
VÍ DỤ 9 Giải phương trình sau
ÒÒ! 2Ò' 5 ½Ecos
Giải
+ Phương trình thuần nhất tương ứng có phương trình đặc trưng là d! 2d ' 5 0
Phương trình này có hai nghiệm phức phân biệt là 1 ! 2,; 1 ' 2,
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là ½E2=cos 2 ' 2sin 2.
½Ecos và 1+ i không là nghiệm phương trình đặc trưng, nên nghiệm riêng có dạng ? ½Egcos ' isin .
Thay vào phương trình đã cho và thu gọn, ta được
145 Cân bằng hệ số, ta có g =r; i 0.
Nên ? =r½Ecos .
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là
½E2=cos 2 ' 2sin 2 '13 ½Ecos .
Trường hợp D ' (, trong đó hai phương trình ÒÒ' /Ò' Z D ÒÒ' /Ò' Z (
đều tìm được nghiệm riêng. Khi đó theo nguyên lý chồng chất nghiệm ta suy ra nghiệm riêng của phương trình (5).
VÍ DỤ 11 Giải phương trình sau
ÒÒ! 2Ò' 5 ½Ecos ' 2010.
Giải
+ Phương trình thuần nhất tương ứng có nghiệm tổng quát là ½E2=cos 2 ' 2sin 2.
+ Phương trình ÒÒ! 2Ò' 5 ½Ecos có nghiệm riêng là = =r½Ecos . Dễ thấy phương trình
ÒÒ! 2Ò' 5 2010. Có nghiệm riêng là 402.
Nên nghiệm riêng của phương trình đã cho là ? =r½Ecos ' 402. + Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
½E2=cos 2 ' 2sin 2 '13 ½Ecos ' 402
• Phương pháp biến thiên hằng số
Trong trường hợp không thể tìm nghiệm riêng của phương trình (5), thì ta làm như sau: +) Tìm nghiệm tổng quát của (4) ở dạng:
2=· = ' 2· trong đó =, là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (4). trong đó =, là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (4). +) Coi 2=, 2 là các hàm số thì ta được hàm dạng