Các tích phân dạng

Một phần của tài liệu Bài giảng :Giải tích pptx (Trang 104 - 106)

, 4' ! 1' !3 Nên (1 3) là điểm cực tiểu.

4) Các tích phân dạng

+ ln ´, + sin / ´, + cos / ´, + ½+E´, …

Có thể tìm được nhờ tích phân từng phần. Nói chung, những hàm là tích của một thừa số có dạng đa thức hữu tỷ và một đa thức ở dạng siêu việt loại arcsin , arccos , arctan , arccot , .. đều có thể tìm bằng cách áp dụng công thức tích phân từng phần.

13.3 CÁCH TÌM TÍCH PHÂN BT ĐỊNH CA MT S DNG HÀM 1. Tích phân hàm hu t1. Tích phân hàm hu t

a) Hàm hữu tỷ

Là hàm có dạng ]E^E, trong đó , _ là các đa thức.

+ Khi bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu, ta nói là phân thc thc sự.

+ Khi bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu, ta nói là phân thc không thc sự. Nhờ phép chia hai đa thức, ta luôn biểu diễn được:

Phân thc không thc s = đa thc + phân thc thc s.

Do đó, khi tìm tích phân bất định của một phân thức ta chỉ tập trung vào việc tìm tích phân bất định của phân thức thực sự.

b) Phân rã phân thức thực sự thành các phân thức cơ bản

Mt kết qu quan trng trong Đại s:

“Mọi đa thức đều phân tích được thành tích của các nhị thức bậc nhất và các đa thức bậc hai vô nghiệm”.

• Xét một phân thức thực sự: ^E]E. Từ kết quả trên, ta có quyền giả sử rằng: _ an(x – a)α ⋅⋅⋅(x – b)β(x2 + px + q)λ ⋅⋅⋅(x2 + rx + s)µ Khi đó, ta được: _ ! / 'g= ! /g ' X ' ! /g± ±' X ' ' ! Z 'i= ! Zi ' X ' ! ZiÐ Ð' '2=' ‘ ' ' ='2' ‘ ' ' ' X '2' ‘ ' ' ' X ' '-=' ' ò ' '= -' ' ò ' ' X '-' ' ò. '. .

Các số gÞ, i/, 2œ, œ,-£,£. Được tìm bằng cách so sánh lũy tha cùng bc ở tử của hai

phân số sau khi đã quy đồng hoặc chọn các giá trịđặc bit ca biến số. Ta gọi các phân thức ở vế phải là các phân thc cơ bn.

105

VÍ D 7 Phân rã phân thức sau:

‡' r! ! 1.

Giải

Ta có‡' r! ! 1 ' 1 ! 1' ' 1 Nên Eö,EEu.E.=E,=E.=EE :,E,=E,=î 'E.=ñ 'E0:E,ú,E,=

s gr! 1 ' i ' 1' ' 1 ' 2 ' ! 1 Ä Cho !1, được g =.

Cho 1, được i =\. Cho 0, được !=r. Cho !2, được 2 !r.

Vậy Eö,EEu.E.=E,== '\E.== !rEE,=:,E,=

Chú ý: Cũng có thể tìm A, B, C, D bằng cách so sánh các hệ số trước những lũy cùng bậc ở 2 vế của (∗).

Từ kết quả này, ta thấy để tìm tích phân bất định của một phân thức hữu tỷ thực sự thì ta chỉ cần phải tìm tích phân bất định của các hàm sau:

1

! / , ! /1 œ,g ' i' ‘ ',' ‘ 'g ' i£ d, V ëÄ

c) Tích phân bất định của các phân thức cơ bản.

• *E.+oE ln| ! /| ' 2

• *E.+oE š =.œE.+= š¯¨' 2

Do g ' i´ ;î2 ' ‘ ! ‘ ' i< ´ î2 ' ‘´ ' ;i !îô< ´ g2 ´' ‘ ' ' ki !g‘2 l ´

và ' ‘ ' ; 'ô<' !ô‡: Nên:

• Để tìm tích phân * E:îE,ñ,ôE,Ú´, ta chỉ cần tìm *E:oE,+:. Tích phân này đã có trong bảng nguyên hàm cơ bản.

• Để tìm *E:,ôE,ÚîE,ñ Ñ´, ta chỉ cần tìm *E:,+oE:Ñ. Tích phân này được tìm theo công thức truy hồi xây dựng trong Ví dụ trên:

106

TÓM LI: Tìm *]E^E´ ta làm như sau:

Một phần của tài liệu Bài giảng :Giải tích pptx (Trang 104 - 106)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(188 trang)