, 4' ! 1' !3 Nên (1 3) là điểm cực tiểu.
$16 TÍCH PHÂN HAI LỚP
Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC
Tích phân hai lớp được trình bày ở đây nhằm chuẩn bị kiến thức cho việc học môn Xác suất- Thống kê và một số môn học khác có liên quan.
16.1 KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN HAI
1. Bài toán thể tích vật thể
Xét hàm số hai biến xác định trên một hình chữ nhật đóng
, |/ # # Z, [ # # ´.
Giả sử rằng , @ 0. Đồ thị của là một mặt với phương trình § , . Đặt S là vật thể hình trụ nằm phía trên R và phía dưới đồ thị của f, tức là:
, , § r|0 # § # , , ,
S được minh họa bởi hình dưới đây.
Mục đích của ta là: Tìm thể tích của S.
Trước tiên, ta chia R thành các hình chữ nhật con
bằng cách: Chia đoạn $/, Z& thành n khoảng con $Þ.=; Þ& với độ rộng bằng nhau và bằng ∆ Z ! //Q; chia đoạn $[, ´& thành m đoạn con $/.=; /& với độ rộng bằng nhau và bằng ∆ ´ ! [/V; vẽ các đường thẳng song song với các trục tọa độ từ mỗi điểm chia, như hình dưới đây.
ta chia R thành các hình chữ nhật con Þ/ $Þ.=; Þ&O P/.=; /Q
mỗi hình có diện tích là ∆g ∆∆.
Trong mỗi hình chữ nhật con Þ/ ta lấy một điểm tùy ý ÞÄ/. Ta thấy, phần thể tích của S
nằm phía trên Þ/ xấp xỉ bằng thể tích của hình hộp chữ nhật với đáy là Þ/ và chiều cao là ÞÄ/, thể tích của hình hộp chữ nhật ấy bằng ÞÄ/∆g
125 Từ đó, thể tích của S xấp xỉ bằng ù ù ÞÄ/∆g £ /= W Þ=
Cách xây dựng và trực giác của ta cho thấy, việc xấp xỉ thể tích của S bởi tổng nói trên càng tốt hơn khi n và m càng lớn. Đó là lý do ta đưa ra khái niệm thể tích của S như sau
R lim£,W,ù ù ÞÄ/∆g
£
/=
WÞ= Þ=
Giới hạn như trên xuất hiện khá thường xuyên, không chỉ trong việc tìm thể tích mà còn trong lĩnh vực vật lý, trong xác suất,.. và hàm f không nhất thiết phải dương. Đó là lý do người ta nghiên cứu về kiểu giới hạn trên và đặt cho kết quả của giới hạn một cái tên: Tích phân hai lớp.
2. Khái niệm tích phân hai lớp a) Trên hình chữ nhật
Cho § , xác định trên một hình chữ nhật đóng
, |/ # # Z, [ # # ´.
Làm tương tự như trong phần trên: Chia thành các hình chữ nhật nhỏ, trong mỗi hình chữ nhật nhỏ chọn một điểm tùy ý, lập tổng.
ĐỊNH NGHĨA Nếu tồn tại giới hạn lim£,W,∑ ∑£ ÞÄ/∆g
/=
W
Þ= , thì ta gọi nó là tích phân hai lớp của hàm f trên R. Ký hiệu
S, ´´T T hoặc + +, ´´ o ß ¹ + . Khi đó hàm f được gọi là khả tích trên R.
Chú ý: Giới hạn trên nghĩa là: Với m, n đủ lớn thì
S, ´´T T ù ù ÞÄ/∆g £ /= W Þ= b) Trên một miền bị chặn
Phần này ta đưa ra khái niệm tích phân của hàm hai biến trên một miền D, tổng quát hơn so với hình chữ nhật, như được minh họa ở hình dưới đây
126
Ta giả sử rằng D là một miền bị chặn, nghĩa là D nằm hoàn toàn trong một hình chữ nhật đóng R. Khi đó, từ § , ta xây dựng hàm , như sau
, ¾, nếu ,
0 nếu , \ ÄS Như vậy, , xác định trên R.
Từ đó, ta định nghĩa và ký hiệu tích phân hai lớp của f trên D như sau:
S, ´´
ú
S , ´´
T
, với được xác định bởiÄ.
Chú ý: Từ định nghĩa suy ra Vú ´´ diện tích của miền D.
3) Điều kiện khả tích
Tương tự như phần tích phân hàm một biến, người ta chứng minh được các định lý sau. Định lý 1 (Điều kiện cần)
Hàm , khả tích trên D, thì bị chặn trên D. Định lý 2 (Điều kiện đủ)
Hàm , liên tục trên miền đóng, bị chặn D, thì khả tích trên đó.
Nhận xét: Hàm đa thức khả tích trên mọi miền đóng và bị chặn.
II. TÍNH CHẤT