Phương trình thuần nhất

, Ò ÒÒ Ä 1) Dạng khuyết

a) Phương trình thuần nhất

Từ đặc điểm của phương trình thuần nhất

ÒÒ' /Ò' Z 0

người ta ước đoán được hàm số dạng ½œE là nghiệm, từ đó ta thử thay vào phương trình và được

d½œE' /d½œE' Z½œE 0 tương đương với

½œEd' /d ' Z 0 Như vậy ta thấy hàm ½œE , với số d thỏa mãn phương trình

d' /d ' Z 0 , là nghiệm của (4).

Phương trình d' /d ' Z 0 6 được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (4).

Cách giải

Bước 1: Giải phương trình đặc trưng

d' /d ' Z 0 trên tập số phức.

Bước 2: Viết nghiệm tổng quát

• Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt d=, d, thì nghiệm tổng quát của phương trình (4) là

2=½œ¨E' 2½œ:E

với 2=, 2 là hai hằng số bất kỳ (ở đây ½œ¨E, ½œ:E là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (4). • Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép d d= d, thì nghiệm tổng quát của (4) là

½œ¨E2=' 2

với 2=, 2 là hai hằng số bất kỳ (ở đây ½œ¨E, ½œ¨E là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (4). • Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức d=, ² ¸,Ï Ï ) 0, thì nghiệm tổng

quát của (4) là

½±E2=cos Ï ' 2sin Ï

với 2=, 2 là hai hằng số bất kỳ (ở đây ½±Ecos Ï , ½±Esin Ï là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (4).

VÍ DỤ 7 Giải các phương trình sau a) ÒÒ! 5Ò' 4 0

143 b) ÒÒ! 2Ò' 0 c) ÒÒ' 2Ò' 5 0 d) ÒÒ' 3Ò' 2 0, 0 1 Ò0 !1. Giải a) Phương trình đặc trưng là d! 5d ' 4 0 Phương trình này có hai nghiệm thực phân biệt là 1; 4. Nghiệm tổng quát là 2=½E' 2½‡E.

b) Phương trình đặc trưng là

d! 2d ' 1 0 Phương trình này có nghiệm kép x = 1.

Nghiệm tổng quát là 2=½E' 2½E. c) Phương trình đặc trưng là

d' 2d ' 5 0 Phương trình này có hai nghiệm phức phân biệt là

!1 ! 2,; !1 ' 2,. Nghiệm tổng quát là ½.E2=cos 2 ' 2sin 2 d) Phương trình đặc trưng là

d' 3d ' 2 0

Phương trình này có hai nghiệm thực phân biệt là !1; !2,. Nghiệm tổng quát là 2=½.E' 2½.E.

Từ điều kiện đầu, ta được hệ

T 2!22=' 2 1

=! 2 !1S Giải hệ, được 2= 0; 2 1.

Vậy nghiệm riêng cần tìm là ½.E.