LimE’f ‚s !‚ là một VCB.

II. Chứng minh

4. limE’f ‚s !‚ là một VCB.

Ta thấy rằng x2, x4 đều là hai vô cùng bé trong quá trình x → 0 nhưng ta thấy rằng khi x rất gần 0 thì: 0 < x4 < x2, tức là x4 tiến về 0 nhanh hơn so với x2. Khi đó ta nói x4 là VCB cấp cao hơn x2. Một cách chính xác, ta có định nghĩa sau đây.

ĐỊNH NGHĨA (về cấp của VCB)

Cho α(x) và β(x) là các VCB trong cùng một quá trình.

Nếu αE

βE→ 0, thì nói α(x) là VCB cấp cao hơn β(x) và ký hiệu α(x) = o(β(x)) (đọc: α(x) là “không nhỏ” của β(x));

Nếu αE

βE → L ≠ 0 (L hữu hạn), thì nói α(x) và β(x) là hai VCB cùng cấp

(với nghĩa là chúng dần đến 0 nhanh như nhau).

Đặc biệt, khi L = 1 ta nói α(x) và β(x) là hai VCB tương đương và ký hiệu α(x) ∼β(x).

MỘT SỐ CẶP VCB TƯƠNG ĐƯƠNG (cần ghi nhớ):

• Nếu λ > µ > 0, thì trong quá trình x → 0+ ta có xλ = o(xµ). • Trong quá trình x → 0:

sinx ∼ x, tanx ∼ x, arcsinx ∼ x, arctanx∼ x, 1 – cosx ∼E:

, loga(1 + x) ∼ E

 ˆ + , ax – 1 ∼ xlna, (1 + x)µ - 1 ∼µx.

LƯU Ý:α1(x) ∼β1(x) và α2(x) ∼β2(x) không thể suy ra được α1(x) + α2(x) ∼β1(x) + β2(x). Ta có định lý sau về VCB tương đương:

Định lý 7 Trong một quá trình

β(x) + o(β(x)) ∼β(x)

40

VÍ DỤ 17 Trong quá trình x → 0:

2x ∼ 2x + 3x2 – 5x3 + 7x4 vì 3x2 – 5x3 + 7x4 = o(2x),

3x ∼ 3x - 9x2 + x3 + 3x4 + 4x5 vì - 9x2 + x3 + 3x4 + 4x5 = o(3x).

Ứng dụng của khái niệm VCB trong việc khử dạng vô định 0/0 được thể hiện qua định lý sau: Định lý 8 Trong một quá trình, nếu ta có hai cặp VCB tương đương: α(x) ∼α*(x), β(x) ∼β*(x), và tồn tại limÃÅÄÄEºEE*E, thì

limαβD limαβÄÄD

LƯU Ý Nếu limE’?ÃEÅE thuộc dạng vô định ??, ta hay thay thế α(x) và β(x) bởi các VCB dạng axµ.

VÍ DỤ 18 Tìm các giới hạn sau:

a limE’?3 ! 92 ' 3 ' – 5r ' 3r ' 7‡ ' 4‡ 8 blimE’?ln 1 ! c limeE! 1 E’?ln 1 ' tan35 ' sinr d limE’=sinelnE.=! 1

Giải

a) Từ ví dụ trên ta có: trong quá trình x → 0 thì

2x ∼ 2x + 3x2 – 5x3 + 7x4 và 3x ∼ 3x - 9x2 + x3 + 3x4 + 4x5 nên lim

E’?

2 ' 3 – 5r ' 7‡

3 ! 9 ' r ' 3‡ ' 48 limE’?2 3 23 b) Theo kết quả nêu trên, ta có: trong quá trình x → 0 thì

eE! 1~ 2; ln1 ! ~ ! Nên: limE’? ˆ =.EÌ:Â.= limE’?.EE !2.

c) Ta có E’?lim ˆ =,ÍfˆrErE limE’? ˆ =,ÍfˆrEÍfˆrE ·ÍfˆrErE 1 nên: ln 1 ' tan 3~3 Mặt khác: E’?limÀˆ8EuE limE’?Àˆ:8·EE·Àˆ E 0 tức là sinr Î5

Vậy c limE’? ˆ =,ÍfˆrE8E,ÀˆuE limE’?rE8Er8

d) Trong quá trình ’ 1 tức là quá trình ! 1 ’ 0: eE.=! 1 ’ 0 nên sineE.=! 1 ~ eE.=! 1 ln ln ! 1 ' 1 ~ ! 1.

limE’=sineE.=ln! 1 limE’=eE.= ! 1 1.! 1

VÔ CÙNG LỚN

ĐỊNH NGHĨA Hàm số Ï được gọi là vô cùng lớn (VCL) trong quá trình ’ / (a là số thực hoặc vô cực) nếu ta có

lim

E’+|β| '∞

NHẬN XÉT: