, Ò ÒÒ Ä 1) Dạng khuyết
2 và nghiệm này vét hết các nghiệm của phương trình.
và nghiệm này vét hết các nghiệm của phương trình.
Nhận xét: Từ định lý này ta thấy, để tìm nghiệm của (4) ta chỉ cần tìm hai nghiệm độc lập của nó.
VÍ DỤ 5 Cho phương trình
ÒÒ! 5Ò' 4 0
i) Chứng minh rằng ½E, ½E là hai nghiệm độc lập của phương trình.
ii) Tìm nghiệm quát của phương trình.
Giải
i) Xét hàm ½E, ta có Ò çç ½E. Thay vào phương trình ta được ½E! 5½E' 4½E 0
Là đẳng thức đúng, vậy ½E là một nghiệm. Tương tự cho hàm ½E.
Do hàm thương là
½E
½E ½rE ) [ÎQò| Nên hai nghiệm là độc lập tuyến tính.
ii) Theo định lý trên, nghiệm tổng quát của phương trình là 2=½E' 2½E.
Định lý 2 (Về cấu trúc nghiệm của phương trình không thuần nhất) Nghiệm tổng quát của phương trình
ÒÒ' /Ò' Z 5 bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng
ÒÒ' /Ò' Z 0 cộng với một nghiệm riêng của nó.
Nhận xét: Nếu =, là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (4) và ? là nghiệm riêng nào đó của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) là:
2=· = ' 2· ' ?.
Như vậy, để tìm nghiệm tổng quát của (5) chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của (4) và một nghiệm riêng của (5).
VÍ DỤ 6 Chứng minh hàm ½E;!E'=< là một nghiệm riêng của phương trình ÒÒ! 5Ò' 4 ½E
Từ đó và Ví dụ 5, hãy viết tìm nghiệm tổng quát của phương trình.
Giải
+ ½E;!E'=< thì Ò 2½E;!E'=< !=½E !½E; ÒÒ !½E! 2½E. Thay vào vế trái của phương trình, ta được
142
Vậy ½E;!E'=< là nghiệm riêng của phương trình đã cho.
Theo định lý trên và kết quả Ví dụ 5, nghiệm tổng quát của phương trình là: 2=½E' 2½E' ½Ek!2 '14l.
Định lý 3(Nguyên lý chồng chất nghiệm) Nếu R là nghiệm của phương trình
ÒÒ' /Ò' Z D và Ù là nghiệm của phương trình
ÒÒ' /Ò' Z ( thì R ' Ù là nghiệm của
ÒÒ' /Ò' Z D ' (
3) Cách giải