q có kích thớc NM ì 1.
2.4.1. Phân tích phổ giá trị riêng
Phân tích phổ giá trị riêng là một công cụ rất mạnh trong xử lý tín hiệu. Thực chất việc phân tích phổ giá trị riêng là sự phân hoạch ma trận hiệp biến thành các thành phần theo giá trị riêng và vector riêng của nó.
Trong trờng hợp chung nhất, một ma trận Hermitian bất kỳ Q có kích th- ớc K Kì , có thể tìm đợc vector e, kích thớc K 1ì , thoả mãn điều kiện:
Qe= λe (2.61)
trong đó λ là một hằng số. Điều kiện này còn có ý nghĩa là một phép biến đổi tuyến tính do ma trận Q không làm thay đổi hớng của vector e, hay nói cách khác Qe là một ánh xạ không đổi hớng. Để xác định vector e, viết lại (2.61) thành:
(Q− λI)e 0= (2.62) trong đó I là ma trận đơn vị kích thớc K Kì và 0 là vector 0 kích thớc K 1ì . Vì e là bất kỳ, nên để thoả mãn (2.61) thì định thức của (Q− λI) bằng 0, nghĩa là:
det(Q− λ =I) 0 (2.63) Phơng trình này là một đa thức bậc K của λ và đợc gọi là phơng trình đặc trng của Q. Trong trờng hợp tổng quát nó có K nghiệm khác nhau, gọi là các giá trị riêng. Còn nếu các nghiệm của nó là nghiệm bội, thì ma trận Q có
các giá trị riêng không sinh. Đối với mỗi giá trị riêng λi (i 1,2,...,K)= tơng ứng có một vector ei thoả mãn (2.61) gọi là vector riêng. Và ma trận Q kích thớc
K Kì , có K vector riêng. Để vector ei xác định đơn trị, thì biểu thức (2.61) có điều kiện chuẩn là ei =1.
Ma trận hiệp biến nhiễu không gian- thời gian Q nh đã trình bày là Hermitian và xác định không âm, nên theo lý thuyết về phân tích phổ giá trị riêng có các tính chất rất đặc biệt cần quan tâm. Xét một vài tính chất điển hình và đợc áp dụng trong các phần sau. Giả sử ma trận hiệp biến không gian- thời gian Q là Hermitian, xác định không âm và có các giá trị riêng { }NM
i i 1=λ và tơng λ và tơng ứng là các vector riêng { }NM i i 1 e = . Tính chất 1: Ma trận Qk (k=1,2, ) có các giá trị riêng … { }NM i i 1= λ
Tính chất 2: Nếu các giá trị riêng { }NM i i 1= λ là khác nhau, thì các vector riêng tơng ứng { }NM i i 1 e = là độc lập tuyến tính. Tính chất 3: Các giá trị riêng { }NM i i 1= λ là thực và không âm. Tính chất 4: Nếu các giá trị riêng { }NM
i i 1=
λ là khác nhau, thì các vector riêng tơng ứng { }NM
i i 1
e = là trực giao với nhau từng đôi một, nghĩa là
*i j e ei j 0