Tuy nhiên, mô hình này cũng có một số hạn chế, cụ thể: các giả định của mô hình gần như là những giả định của một thị trường vốn hiệu quả. Điều này thường không thể xảy ra trên thực tế khi diễn ra các cuộc khủng hoảng tài chính. Lúc đó, lạm phát của đồng tiền quốc gia đang gặp khủng hoảng sẽ tăng cao và có thể trở thành phi mã, làm cho giả định về tính ổn định của lãi suất phi rủi ro không còn tồn tại. Thêm vào đó, nếu việc phá giá hoặc nâng giá tiền tệ xảy ra thì có thể dẫn đến một biến động đột ngột, điều này trái với giả thuyết tỷ giá biến động dần dần.
Dựa trên những kết quả đạt được của mô hình định giá Black-Scholes, năm 1983 hai nhà kinh tế Garman và Kohlhagen đã bổ sung vào công thức trên yếu tố lãi suất của hai đồng tiền :
rf: lãi suất ngoại tệ (%/năm tính cho kỳ hạn bằng kỳ hạn của quyền chọn) rd: lãi suất nội tệ (%/năm tính cho kỳ hạn bằng kỳ hạn của quyền chọn) C = e-rfTSN(d1) – EN(d2)e-rdT P = e-rdTEN(-d2) – SN(-d1)e-rfT 2 / 1 2 2/2) ( ) / ( 1 T T r r E S In d d f σ σ + − + = ; d2 = d1 - σ T
Trên thực tế, người ta đã tin học hóa các công thức trên để tiện sử dụng. Ngày nay chúng ta chỉ cần nhập số liệu vào, chương trình sẽ tự động chạy và cho kết quả giá quyền chọn.
Danh mục
Giá trị hiện tại ST ≤ X ST >X
B Ce(S0,T,X) + X(1+r)-T X (ST – X) +X = ST
Thu nhập từ danh mục B luôn ít nhất là bằng với thu nhập của danh mục A và đôi khi còn lớn hơn. Các nhà đầu tư sẽ nhận thấy điều này và định giá danh mục B tối thiểu cũng bằng với danh mục a, có nghĩa là:
Ce(S0,T,X) + X(1+r)-T ≥ S0 ⇒ Ce(S0,T,X) ≥ S0 - X(1+r)-T
Nếu S0 - X(1+r)-T là âm, chúng ta xem giá trị thấp nhất của quyền chọn mua là 0. Kết hợp các kết quả này cho ta một giới hạn dưới:
Ce(S0,T,X) ≥ Max(0, S0 - X(1+r)-T)
Nếu giá quyền chọn mua thấp hơn giá cổ phiếu cơ sở trừ đi hiện giá của giá thực hiện, chúng ta có thể xây dựng một danh mục kinh doanh chênh lệch giá. Chúng ta mua quyền chọn mua và trái phiếu phi rủi ro và bán khống tài sản cơ sở. Danh mục này có dòng tiền ban đầu dương vì giá quyền chọn cộng với giá trái phiếu thấp hơn giá cổ phiếu. Khi đáo hạn, thu nhập của danh mục là X – ST nếu C > ST và bằng 0 nếu ngược lại. Danh mục có dòng tiền dương ngay bây giờ và có dòng tiền hoặc bằng không hoặc dương khi đáo hạn.
Hình 1: Đường cong biểu diễn giá của quyền chọn mua kiểu Châu Âu
Hình 1.5 thể hiện kết quả của quyền mua kiểu Châu Âu. Đường cong là giá quyền chọn mua, nằm trên đường giới hạn dưới. Khi thời gian đáo hạn đến gần, thời gian đến khi đáo hạn giảm đến mức mà đường giới hạn dưới di chuyển sang bên phải. Giá trị thời gian cũng giảm xuống đối với quyền chọn và di chuyển theo đường giới hạn dưới, tất cả đều dần về giá trị nội tại, Max(0,S0 – X), khi đáo hạn.
Quyền chọn mua kiểu Mỹ so với kiểu Châu Âu
Ca(S0,T,X) ≥ Ce(S0,T,X)