III. ƯU NHƯỢC ĐIỂM VÀ PHẠM VI SỬ DỤNG CỦA CÁC THUYẾT BỀN
5- Mômen quán tính của một số hình đơn giản:
Để thuận tiện cho quá trình sử dụng ta sẽ đi tính mômen quán tính của một số hìnhđơn giản.
a) Hình chữnhật.
Xét mặt cắt ngang, hình chữ nhật chiều rộng b và chiều cao h. Hệ trục xoy là hệ trục quán tính chính trung tâm. Tính các mômen quán tính đối với các trục của hệ trục đó (hình 4-6).
Lấymột giải phân tố diện tích dF song song trục x và cách trục một khoảng y. Chiều dầy dải phân tố là dy. Ta tínhđược mômen quán tính của diện tích F hình chữ nhật với trục x là:
Tương tự ta có:
b) Hình tam giác:
Xét mặt cắt ngang hình tam giác chiều rộng b và chiều cao h. Ta tính trị số mômen quan tính của diện tích tam giác,đối với trục x đi qua đáy (hình 4-7). Lấy một giải phân tố diện tích dF song song đáy, có chiều dày dy cách trục x khoảng y. Giải phân tố rất nhỏ có thể coi là một hình chữ nhật đáy by. Từ điều kiện đồng dạng của các tam giác ta có:
Mômen quán tính diện tích tam giác đối với trục x là:
c) Hình tròn:
Do tính chất đối xứng ta có Jx =Jy do đó: Jp = Jx + Jy
= 2Jx = 2Jy.
Để tính Jx, Jy ta đi tính Jp, lấy phân tố diện tích dF bằng cách dùng hai mặt cắt tròn đồng tâm bán kính và
+ d và hai mặt cắt tạo với trục x góc và + d trongđó và + d là số vô cùng bé. Ta được phân tố dF được gạch chéo (hình 4-8) giá trị dF = ddp mômen quán tính độc cực của diện tích hình tròn với tâm là:
Gọi đường kính của vòng tròn là D ta có thể đưa các công thức (4-8) và (4-9) về dạng:
Đối với hình vành khăn, đường kính ngoài là D và đường kính trong d (hình 4-9). Ta có mômen quán tính độc cực với trong tâm 0 và mômen quán tính với các trục x, y.
§4 - CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG CỦA MÔMEN QUÁN TÍNH
Trong thực tếta thường gặp các chi tiết, bộ phận công trình mà tiết diện mặt cắt ngang được ghép bởi nhiều tiết diện đơn giản, tạo khả năng chịu lực tốt nhất. Tiết kiệm nhất. Điều này yêu cầuchúng ta phảibiệt cách tính các loạimômen quán tính khi biết mômen quán tính củanhữnghìnhđơn giản.
Giả sửta biết mômen tĩnh và mômen quán tính của diện tích F đốivới hệ trục xoy. Bây giờ phải tính các mômen quán tính của diện tích ấy với hệ trục OYX song song hệ oxy qua các giá trị mômen tĩnh và các mômen quán tính đã biết
DXY// oxy là X, Y và toạ độ của gốc 0(oxy) trong hệ OXY là a, b. Ta có mối tương quan hình học
Theođịnhnghĩa ta có:
Đem (a) thay lần lượtvào các biểu thức của (b) ta có:
Đặc biệt nếuhệtrục xoy là hệtrục trung tâm ta có: Sx = Sy = 0 Dođóhệcông thức (4- 13) có dạng:
Điều này cho thấy các mômen quán tính với hệ trục trung tâm là nhỏ nhất.
Ví dụ: Hãy xác định trọng tâm thép mặt cắt 1 (hình 4- 11) và tính mômen quán tính lấy với trục x đi qua trọng tâm của hình ghép vuông góc trục y. Kích thước chotheo hình vẽ.
Để xác địnhtrọng tâm hình ghép ta có nhận xét hình ghép nhận trục y là trục đối xứng do vậy trọng tâm chắc chắn phải nằm trên y. Ta chia hình thành
hai hình nhỏcó trọng tâm là C1 và C2. Chọn và dựng một trục x bất kỳ vuông góc với trục y để đơn giản ta chọn trục x trùng cạnh đáy của hình 11. Áp dụng công thức xác định trọng tâm (4-3).
Trọng tâm toàn hình cách trục x’ đoạn 2 qua C vẽ trục x vuông góc với trục y. Ta tính Jx của toàn hình.
Áp dụng công thức chuyển trục song song cho trục x, từ các kết quả đã tính cho hìnhđơn giảnở phần trên ta được:
§5- CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MÔMEN QUÁN TÍNH HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH
Giả sử ta đã biết mômen quán tính của diện tích F đối với hệ trục xoy. Ta phải tính mômen quán tính của diện tích F với hệ trục ou là vị trí xoay đi của xoy ngược chiều kim đồng hồ góc α.
Gọi u, là toạ độ điểm A trong hệ trục ou
Dùng các công thức lượng giác:
Thay vào hệ trên và rút gọn ta có:
Ta đem cộng hai phương trìnhđầu 4- 15 ta được:
Cho thấy tổng các mômen quán tính với hai trụcvuông góc là một hằng số, gọi là bất biến thứ nhất của mômen quán tính.
Để tìm vị trí của hệ trụcquán tính chính ta cho phương trình ba của hệ4-15 bằng không.
Thay giá trị tg2α từ (4- l6) vào hai phương trình đầu của 4-15 bằng biên đổì lượng giác.
Tađược các giá trịmômen với trụcquán tính chính là:
Các giá trị (4-l7) đạt cực trị vì ta cóđạo hàm a u d dJ = 0.
Xét vì phương diện toán học mối quan hệ Ju, Juv, Jxy, Jx, Jy giống hệt mối quan hệα,α,α, α,αytrong chương 3 ta cũng lậpđượcmộtvòng tròn Mo quán tính cho chúng.
Chương 5 UỐN PHẲNG
PHẦN I - BIỂU ĐỒ NỘI LỰC
§1- CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN: