Phƣơng pháp mở rộng sóng bề mặt (Plane-Wave Expansion Method - PWEM) đƣợc áp dụng đối với các PCF có cấu trúc hoàn toàn mang tính lặp lại. Nghĩa là không có vùng khuyết thiếu, tức là các PCF hoạt động theo nguyên lý dải cấm quang.
Phƣơng pháp sóng bề mặt là phƣơng pháp lý thuyết đầu tiên cho phép phân tích chính xác tinh thể quang tử, và có thể áp dụng trong tất cả các phƣơng pháp khác. Ở dạng cơ bản, phƣơng pháp này tƣơng đối đơn giản. Nó cung cấp một công cụ phân tích nhanh trong miền tần số đối với các tinh thể quang tử có cấu trúc lặp lại hoàn toàn (không có vùng khuyết thiếu). Sử dụng một vài cải tiến nâng cao, ngƣời ta có thể sử dụng nó để làm việc mọi sợi quang có cấu trúc bất kỳ.
Từ hệ phƣơng trình Maxwell, trong môi trƣờng điện môi của sợi quang, ta viết lại dạng phƣơng trình sóng theo cƣờng độ điện trƣờng và từ trƣờng nhƣ sau
(2.4.1)
*
+ (2.4.2)
Do cấu trúc lặp lại của tinh thể quang tử, nghiệm của các phƣơng trình sóng trên có thể đƣợc biểu diễn nhƣ là một sóng bề mặt điều chế bởi một hàm có chu kỳ tƣơng ứng với cấu trúc tinh thể quang.
29
(2.4.4)
Với , là các hàm tuần hoàn. Viết lại trong miền Fourier, xem ,
nhƣ một phần của khai triển chuỗi Fourier viết theo vec-tơ Fourier. Ta có
∑ (2.4.5)
∑ (2.4.6)
Phƣơng trình sóng đƣợc viết lại nhƣ sau
] ∑ (2.4.7)
∑ ] (2.4.8) Với là biến đổi Fourier của , là biến đổi Fourier của . Ta có thể viết lại hai phƣơng trình (2.4.7), (2.4.8) dƣới dạng ma trận để giải số học thông thƣờng. Do, , có thể viết dƣới dạng tổng của hai vec-tơ trực giao:
̂ ̂ (2.4.9)
Với ̂ ̂ là các vec-tơ đơn vị của k + G. Phƣơng trình (2.4.6) trở thành
∑ ∑ ̂ (2.4.10) Phƣơng trình ma trận của H sẽ là ∑ (2.4.11) Với | || | [ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ] (2.4.12)
Sau khi giải đƣợc trƣờng từ, ta có thể xác định trƣờng điện thông qua mối quan hệ đƣợc rút ra từ hệ phƣơng trình Maxwell ban đầu
30
(2.4.13)
Phƣơng pháp sóng bề mặt hoạt động trong không gian Fourier, để phân tích một cấu trúc tinh thể cho trƣớc, cần phải tính toán tất các tần số của các mode hoạt động với các giá trị vec-tơ k. Tuy nhiên, do kết cấu đối xứng, lặp lại của tinh thể, ta có thể xác định tất cả các nghiệm bằng cách chỉ xem xét duy nhất một vec-tơ k giới hạn trong một vùng Brillounin. Vùng Brilounin đƣợc định nghĩa là vùng nhỏ nhất có thể sử dụng phép tịnh tiền với nó để tái tạo lại toàn bộ cấu trúc, đƣợc mô tả trên hình 2-3. Vì vậy mà có tên gọi phƣơng pháp mở rộng sóng bề mặt.
Hình 2-3 Minh họa khái niệm vùng Brilounin