Câu hỏi gà thỏ cùng lồng là một câu hỏi toán học nổi tiếng trong "Tôn tử toán kinh" sách toán cổ đại của Trung Quốc. Nội dung của nó như thế này:
Cùng trong một lồng, nhốt gà và thỏ. Đếm một lát, tổng cộng có 35 con, 94 cái chân. Xin hỏi, trong lồng có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con thỏ?
Dùng phương pháp giải hệ phương trình, giải ra câu hỏi này rất dễ. Giả thiết trong đó gà có x con, thỏ có y con, thế thì căn cứ đề bài ta có:
X + y = 35 2x + 4y = 94
Giải ra được x = 23, y = 12. Tức là trong lồng có 23 con gà và 12 con thỏ.
Nếu chưa học cách giải hệ phương trình, có thể dùng phương pháp thuật toán trong đại số không? Có thể, "Tôn tử toán kinh" chính là dùng phương pháp thuật toán để giải:
Trước tiên giả thiết số thỏ trong lồng đều bị chặt đi hai chân, như vậy thì, số động vật trong lồng bất kể là gà hay thỏ đều chỉ có hai chân. Vì có tất cả 35 con, cho nên nên có 70 cái chân. Bởi vì mỗi con thỏ giả thiết bị chặt đi hai chân, 24 chân tương đương với 12 con thỏ. Từ đó có thể tìm ra số gà là 35 -12 = 23 con.
Câu hỏi gà thỏ cùng lồng sau đó có rất nhiều thay đổi, như đầu tiên hãy giả thiết tất cả số đó là thỏ, thì tổng số chân sẽ là 35 x 4=140 chiếc, trừ đi số chân 94 chiếc, 140-94=46, xem ra nhầm tính gà thành thỏ tính thừa ra 46 chiếc chân. Mỗi con gà đều tính thừa ra hai chiếc chân, 46 cái chân là số chân của 23 con gà. Cho nên, số gà trong lồng là 23 con, số thỏ sẽ là 35-23=12 con.
"Tôn tử toán kinh" là sách thuật toán thời Tấn ở Trung Quốc, từ phép giải câu hỏi gà thỏ cùng lồng, đã phản ánh được tài trí toán học của nhân dân lao động cổ đại.
"Nguyên tắc ngăn kéo" là gì?
Bây giờ có 6 quyển sách, cần đặt vào trong 5 ngăn kéo, đặt thế nào? Cách đặt rất nhiều, có ngăn kéo có thể đặt,
có ngăn kéo cũng có thể không đặt sách; ngăn kéo đặt sách có thể đặt 1 quyển, 2 quyển… cho đến 6 quyển tất cả đều đặt vào. Nhưng tuỳ ý bạn thế nào, ít nhất có thể tìm thấy một ngăn kéo bên trong đặt ít nhất 2 quyển sách.
Nếu lấy một ngăn kéo biểu thị cho một tập hợp, mỗi một quyển sách biểu thị cho một phần tử. Giả dụ có n+1, hoặc nhiều hơn n+1 phần tử đặt vào n tập hợp, vậy thì không còn nghi ngờ gì nữa, trong đó nhất định ít nhất có một tập hợp đặt ít nhất hai phần tử. Đó chính là hàm nghĩa trừu tượng của toán học trong "nguyên tắc ngăn kéo".
Lại lấy ví dụ, một lớp có 54 học sinh, nếu 54 học sinh này đều sinh cùng một năm, thế thì ít nhất có 2 người sinh cùng một tuần. Vì sao lại như vậy? Vận dụng nguyên tắc ngăn kéo, chúng ta thật dễ dàng giải thích. Do trong một năm chỉ có 53 tuần, thế thì coi tuần như ngăn kéo, coi học sinh như sách, vậy thì trong 53 ngăn kéo, ít nhất có một ngăn kéo đặt ít nhất hai quyển sách, cũng chính là, ít nhất có 2 học sinh là sinh cùng một tuần. Số lượng quyển sách nhất định nhiều hơn 1 so với ngăn kéo phải không? nhưng không nhất định thế, số lượng quyển sách có thể nhiều hơn. Ví dụ, khi 31 quyển sách đặt vào 5 ngăn kéo, bất luận là phương pháp gì, ít nhất có thể tìm thấy một ngăn kéo, bên trong ít nhất dặt 7 quyển sách. Cũng tức là, nếu lấy (m x n + 1) hoặc nhiều hơn (m x n + 1) phần tử đặt vào n tập hợp, bất luận là phương pháp như thế nào, trong đó nhất định ít nhất có 1 tập hợp đặt ít nhất m+1 phần tử. Bởi vì trong n ngăn kéo đặt m x n quyển sách, thế thì bình quân mỗi ngăn kéo đặt m quyển, mà (m x n +1) quyển sách nhiều hơn 1 quyển so với m x n quyển, cho nên quyển này phải đặt vào trong một ngăn kéo, thế là nhất định ít nhất có một ngăn kéo đặt ít nhất m + 1 quyển sách.
Bạn có biết quá trình chứng minh"Định lý Féc-ma" không? "Định lý Féc-ma" không?
Định lí Féc-ma là định lí nổi tiếng trong giới toán học, vậy nội dung của nó là gì?
Nhà toán học nước Pháp thế kỷ 17 Féc-ma cho rằng: khi n lớn hơn hoặc bằng 3, phương trình xn+yn =zn không có nghiệm nguyên khác 0.
"Khác 0" ở đây tức là bất kỳ nghiệm nào trong các nghiệm x, y, z đều không thể là 0. Nếu không, giả sử x = 0,
y = z, như vậy là lập được phương trình. Định lí Pitago mà chúng ta đã học, x2+y2 = z2, khi x, y, z lần lượt là
3, 4, 5, như vậy là lập được phương trình, lúc này phương trình có nghiệm khác không. Vậy thì, khi n>2, phương trình sẽ không thể có nghiệm nguyên khác 0 phải không?
Quá trình Féc-ma đưa ra định lí này là vô cùng thú vị. Ông có thói quen khi đọc thường viết tóm tắt những điều tâm đắc và điều cần chú ý vào phần trắng bên lề của cuốn sách. Sau khi Féc-ma qua đời 5 năm, con trai ông khi sắp xếp lại bút ký và thư từ của cha đã phát hiện ra chú thích của Féc-ma trên phần lề của quyển 2 "toán thuật"; trên đó viết định lí của Féc-ma: tôi đã tìm ra được cách chứng minh hết sức kỳ diệu định lí này, đáng tiếc lề nhỏ quá không thể viết ra được.
Định lí của Féc-ma để lại cho hậu thế một vấn đề về toán học, hơn 300 năm nay, đề toán tưởng đơn giản rõ ràng này đã thu hút rất nhiều nhà toán học ưu tú nghiên cứu, nhưng vẫn chưa chứng minh được, viện khoa học nước Pháp đã từng hai lần treo giải thưởng vào năm 1816 và năm 1850 cho ai tìm ra cách giải; nước Đức cũng treo giải thưởng 100 ngàn Mác tìm lời giải năm 1908. Người ứng giải tấp nập không ngớt, nhưng giải pháp đưa ra đều sai. Một số nhà toán học kiệt xuất cũng suy ngẫm khổ sở vấn đề này.
Một thời kỳ dài trở lại đây, mọi người đã không thể chứng minh nó, cũng không thể phủ định nó, chỉ có thể chứng minh với một số số n cụ thể. Năm 1770, Ơ-le đã chứng minh khi n bằng 3, 4, định lí Féc-ma là đúng, năm 1825 Dirichlet chứng minh khi n = 5 kết luận chính xác; năm 1839 Lame chứng minh khi n= 7 kết luận chính xác; ... đến năm 1976, có người dùng máy tính điện tử chứng minh khi n < 125000, định lí Féc-ma là đúng. Nhưng, do n không thể lấy tất cả những số tự nhiên, kiểu chứng minh này của mọi người là vô cùng vô tận, định lí Féc-ma có lẽ mãi mãi không thể trở thành định lí chân chính được.
Đến năm 1994 nhà toán học Anh Wairs cuối cùng qua phương pháp gíán tiếp đã chứng minh trọn vẹn định lí Féc-ma, khiến nó trở thành định lí chân chính trước thế kỷ 21.
Câu chuyện định lí Féc-ma đã tạo nên những trào lưu nghiên cứu toán học, trong quá trình chứng minh nó, đã nảy sinh rất nhiều tư tưởng toán học và thành quả toán học mới, góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học.