Kỳ Vương và đại tướng quân Điền Kỷ tổ chức một trận đua ngựa. Họ thoả thuận: hai bên mỗi bên đưa ra ba
loại ngựa "thượng, trung, hạ" mỗi loại một con. Mỗi lần tổ chức ba trận đua, bên thua sau mỗi trận phải đưa cho đối phương 1000 lạng tiền vàng. Do ngựa của Kỳ Vương so với ngựa cùng đẳng cấp của Điền Kỷ đều tốt hơn một bậc, mà trong mỗi một trận đua, hai bên đều dùng ngựa cùng đẳng cấp tham gia, kết quả Kỳ Vương thắng liền ba trận, nhận được 3000 lạng tiền vàng.
Không bao lâu sau, Kỳ Vương lại mời Điền Kỷ tham gia đua ngựa. Điền Kỷ cảm thấy khó xử, một mặt ý chỉ của Kỳ Vương không dễ từ chối, mặt khác lại tham gia lần nữa tất lại thua chứ không thắng.
Quân sư dưới trướng của Điền Kỷ là Tôn Tẫn là một nhà quân sự tài hoa. Ông đã nghĩ ra cho Điền Kỷ một kế: dùng ngựa hạ đẳng của mình để đua với ngựa thượng đẳng của Kỳ Vương; dùng ngựa thượng đẳng của mình đua với ngựa trung đẳng của Kỳ Vương, dùng ngựa trung đẳng của mình đua với ngựa hạ đẳng của Kỳ Vương. Trận đua bắt đầu, con ngựa đầu tiên của Kỳ Vương vượt lên rất xa, Kỳ vương thấy con ngựa của đối phương hết sức thảm hại thì vui mừng vô kể. Nhưng chẳng ngờ không lâu, trong trận đua thứ hai, ba, ngựa đua của Điền Kỷ đều thắng cả. Kỳ Vương thua phải đưa cho điền kỷ 1000 lạng tiền vàng. Đáng cười là, Kỳ Vương thua tiền nhưng vẫn không hiểu được vì sao lại thua.
Thế thì, Điền Kỷ đã thắng thế nào? Hoá ra Tôn Tẫn đã nắm rõ được đối sách của Kỳ Vương, ông nhận định Kỳ Vương sau khi thắng trận đua thứ nhất, sẽ không dại thay đổi tuần tự ngựa, vẫn xuất ngựa theo thứ tự (thượng, trung, hạ) tham gia đua. Thế là, Tôn Tẫn bèn áp dụng đối sách tương ứng, dựa vào ưu thế ngựa của Điền Kỷ nhanh hơn một chút so với ngựa đẳng cấp kém hơn của Kỳ Vương, bỏ đi một trận nhưng lại nắm được cơ hội ở hai trận còn lại, nhận được chiến thắng cuối cùng. Sách lược của Tôn Tẫn có thể thành công được chính là ở chỗ ông dự tính chính xác đối sách của đối phương.
"Búa một thước, mỗi ngày lấy đi một nửa, muôn đời không hết" câu nói này có ý nghĩa gì? có ý nghĩa gì?
Trong cuốn "Thiên hạ biên" của "Trang Tử" người Trung Quốc có cách nói như sau: "chiếc búa một thước, mỗi ngày lấy đi một nửa, muôn đời không lấy hết."
Ý nghĩa của câu này như sau:
Một gậy gỗ dài một thước, ngày thứ nhất lấy đi một nửa, còn lại 1/4 thước; ngày thứ hai lại lấy đi một nửa của 1/2 còn lại, còn lại 1/4; ngày thứ ba lấy đi một nửa của 1/4 còn lại, vẫn còn 1/8 thước, .., cứ tiếp tục lấy đi như vậy, mãi mãi không thể lấy đi hết chiếc gậy gỗ. Bởi vì bất luận số còn lại của gậy gỗ nhỏ như thế nào, nhưng luôn còn lại một nửa, cho nên sẽ "muôn đời không hết".
cho đến một ngày gậy gỗ nhỏ đến mức độ nào đó, người ta cũng không thể tiếp tục chia một nửa được. Đã không thể lấy được nữa, thì tất nhiên đành phải dừng lại. Vậy thì lí luận phân tích như thế nào?
Chúng ta liệt kê ra độ dài còn lại mỗi ngày của gậy gỗ ra, có thể viết thành các dãy số như sau: 1; 1/2 ; 1/22; 1/ 23 ;….; 1/2n
Ngày thứ nhất, gậy gỗ là một thước; ngày thứ hai chỉ còn lại một nửa thước, là 1/2 ; ngày thứ ba là 1/2 x 1/2
=1/22 ; ngày thứ tư lại là 1/22 x 1/2 = 1/23 ; …… cứ lấy đi như vậy cho đến ngày thứ n, gậy gỗ chỉ là 1/2n. Rất
rõ ràng, khi n tăng lên, 2n cũng tăng theo, thế thì
1/ 2n sẽ nhỏ đi, nhưng bất kể n lớn đến thế nào, 1/2n sẽ mãi mãi không bằng 0, cho nên cho dù lấy gậy gỗ đi
như thế nào vẫn không thể lấy hết đi được.
Trước kia, kiến thức mà chúng ta học được trong giáo trình toán học đại bộ phận hạn chế trong vấn đề định lượng, phần tính toán đề cập đến đại đa số là vận toán bốn nguyên tắc của đẳng thức. Vậy thì, gặp phải vấn đề vô hạn không định lượng, chúng ta nên giải quyết vấn đề như thế nào?
Trong toán học, chúng ta dùng khái niệm "giới hạn" để biểu đạt vấn đề không định lượng vô hạn này. Lấy ví dụ
câu nói của "Trang Tử", chúng ta thấy rằng khi n lớn đến vô cùng, 1/2n giới hạn tại 0. Chú ý: không phải
1/2n = 0, mà là giới hạn của 1/2n = 0. điều này để chỉ một kiểu xu hướng, mãi mãi không thể có 1/2n = 0,
nhưng khi n tăng lên, 1/2n thể hiện trạng thái vô hạn gần đến 0. Như vậy chúng ta đã nắm bắt được quy luật
biến hoá của sự vật dạng này.
Giới hạn là khái niệm quan trọng trong toán học, trên nền tảng cơ sở của nó sau này đã nảy ra các phạm trù tích phân, vi phân...
Sao gọi là "điều luật cắt tóc" sai?
Ở một quốc gia châu Âu cổ đại có một thị trấn nhỏ, cư dân của thị trấn không nhiều, nên thợ cắt tóc cũng chỉ
có một người. Trong thị trấn có một điều luật bất thành văn: Bất kể người nào mà không tự cắt tóc được thì thợ cắt tóc sẽ cắt; đồng thời cũng quy định: thợ cắt tóc chỉ có thể cắt tóc cho những người không tự cắt được tóc. Quy định đã rõ ràng như vậy, tuyệt đối không thể sai sót được. Nhưng rồi đã nảy sinh vấn đề, tóc của thợ cắt tóc do ai cắt? Nếu ông ta không tự cắt cho mình, thì theo luật, ông ta sẽ được thợ cắt tóc cắt cho (chính là ông ta). Kết quả cắt cũng không phải, mà không cắt cũng không phải. Điều này thật khó xử cho ông thợ cắt tóc. Vấn đề nảy sinh bởi vì bản thân luật không hợp lí. Điều luật này đã chia toàn thể số cư dân trong thị trấn nhỏ thành hai lớp, một lớp là những người tự cắt tóc, một lớp là những người không tự cắt tóc được. Kết quả khiến cho bản thân ông thợ cắt tóc không biết quy về lớp nào.
Việc này đã gây ra chấn động rất lớn cho giới toán học đương thời. Bởi vì nền móng cơ bản cho toán học là luận tập hợp, nếu luận tập hợp có vấn đề, thì cơ sở của toán học sẽ nảy sinh dao động, điều này trên lịch sử gọi là "nguy cơ toán học lần thứ ba".
Để giải quyết mâu thuẫn, xây dựng lại cơ sở toán học, các nhà toán học đã nỗ lực gian khổ, khiến cho định nghĩa tập hợp mà người ta biết đến buộc phải có hạn chế.