Năm 1858, nhà toán học người Đức Macbius phát hiện ra rằng một dải giấy sau khi xoay chuyển 1800 cho hai
đầu nối tiếp nhau sẽ có một tính chất khác lạ. Sau này dải giấy này được mọi người gọi là "vòng Macbius". Chúng ta hãy cùng làm một thí nghiệm thực tế để cùng cảm nhận sự thần kỳ của vòng giấy Macbius.
Bạn hãy lấy ra một tờ giấy có hai mặt trái phải, cắt thành một dải giấy dài, ở mặt phải chúng ta dán thành màu trắng, mặt trái dán thành màu đen. Sau đó dùng keo dán hai đầu của dải giấy lại, khi dán nhớ để cho mặt trắng quay ra ngoài, như vậy là ta đã có một vòng giấy, bên ngoài là màu trắng, bên trong là màu đen. Nếu như bạn bắt một con kiến (hoặc dùng một chiếc bút giả như con kiến) đặt vào chỗ mặt trắng để cho nó đi lại, không cho phép con kiến bò đến phần màu đen mà chỉ có thể bò về phía trước; bạn sẽ thấy con kiến này cứ bò đi bò lại ở phần màu trắng mà vĩnh viễn không bò sang phần màu đen. Ngược lại nếu đặt nó vào phần màu đen nó cũng chỉ có thể bò ở phần màu đen mà thôi chứ không bò sang phần màu trắng.
Có lẽ bạn cho rằng đương nhiên là như vậy rồi có gì thần kỳ đâu? Nhưng nếu chúng ta bỏ chỗ dán trước và dán lại sao cho phần màu đen hướng ra ngoài cùng với một phần màu trắng vậy thì vòng tròn dấy không còn phân biệt mặt trái phải hay trong ngoài nữa. Chúng ta lại đặt con kiến vào bất kỳ chỗ nào trong vòng giấy để cho nó đi lại tự do, bạn sẽ thấy con kiến tự do chạy đi chạy lại tới tất cả mọi chỗ trên cả hai mặt đen trắng của vòng giấy. Điều này cũng có nghĩa là dường như vòng giấy đã biến thành chỉ có một mặt thôi.
Không chỉ như vậy, nếu chúng ta dùng kéo cắt vòng giấy này theo đường chính giữa trong vòng, vòng giấy không thể bị chia làm đôi mà lại thành một vòng giấy dài hơn. Nếu tiếp tục cắt theo đường chính giữa như vậy thì sẽ tạo thành hai vòng giấy lồng vào nhau. Điều này quả là kỳ diệu, bạn cứ thử mà xem.
Hiện tượng toán học kiểu này được gọi là "thác phốc học". Thác phốc học là ngành toán học nghiên cứu tính chất hình học của hình không vì kéo dài hay gập cong mà thay đổi. Giống như vòng Macbius chính là một ví dụ
điển hình, điều này quả là khó lý giải trong cuộc sống thường nhật.