II. Thu nhập thuần tuý sau khi có dự án
b. Ràng buộc của hệ thống
4.6. Bài toán tối −u đa mục tiêu
4.6.1. Khái niệm
Khi lập các dự án quy hoạch và điều khiển hệ thống nguồn n−ớc, có thể phải giải bài toán đa mục tiêu. Bài toán đ−ợc đặt ra nh− sau:
Giả sử một hệ thống nào đó đ−ợc đặc tr−ng bởi véc tơ X:
X = ( x1, x2,..., xn) (4-45) Giả sử có m mục tiêu khai thác. Cần thoả mãn điều kiện:
gj(X) ≤ bj với j =1, 2,..., m (4-46) Với các điều kiện tối −u riêng:
f1(X)→ min (max) f2(X)→ min (max) ... (4-47) fi(X)→ min (max) ... fm(X)→ min (max)
Nh− vậy, mỗi một mục tiêu khai thác đều cần khai thác hệ thống sao cho tối −u mục tiêu của mình. Các mục tiêu mô tả trong biểu thức (4-47) có thể có quyền lợi mâu thuẫn nhau. Tập hợp các điểm mà ở đó quyền lợi của mục tiêu này mâu thuẫn với quyền lợi của mục tiêu khác gọi là vùng tranh chấp.
Bài toán mô tả theo biểu thức (4-47) gọi là bài toán đa mục tiêu. Ta xét một ví dụ về thiết kế hệ thống kho n−ớc.
Một hệ thống hồ chứa n−ớc đ−ợc thiết kế với nhiệm vụ phát điện và phòng lũ. Giả sử các mực n−ớc dâng bình th−ờng đã đ−ợc ấn định. Cần xác định dung tích phòng lũ trên hệ thống sao cho hiệu ích phát điện mang lại là lớn nhất đồng thời hiệu ích phòng lũ cũng lớn nhất. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1 2 3 4 5 6 7 V B1 hoặc B2 Hình 4-4: Quan hệ B1 = f1(V) và B2 = f2(V)
Gọi B1 là hiệu ích tổng cộng do hiệu ích phát điện mang lại, B2 là sự giảm thiệt hại (đ−ợc coi là hiệu ích mang lại về mặt phòng lũ) do có sự điều tiết lũ ở các kho n−ớc th−ợng l−u. Ta có bài toán tối −u hai hàm mục tiêu:
B1(V) → max (4-48)
và B2(V) → max (4-49)
Trong đó V là véc tơ các dung tích phòng lũ:
V = ( V1, V2, V3,..., Vj, ... Vn) (4-50)
Khi tổng dung tích phòng lũ của các kho n−ớc trên hệ thống càng lớn thì hiệu quả phòng lũ B2 càng lớn. Nh−ng vì mực n−ớc dâng bình th−ờng đã ấn định nên hiệu quả phát điện B1 càng giảm. Nh− vậy, hai mục tiêu khai thác mâu thuẫn nhau. Sự mâu thuẫn giữa hai mục tiêu phòng lũ và phát điện đối với một kho n−ớc độc lập có thể minh họa trên hình 4-4.
4.6.2. Ph−ơng pháp giải bài toán tối −u đa mục tiêu
Hiện nay tồn tại nhiều ph−ơng pháp giải bài toán tối −u đa mục tiêu, những nguyên tắc chung là đ−a bài toán nhiều hàm mục tiêu về bài toán một hàm mục tiêu (N. N. Moi xeep:Các vấn đề toán học trong phân tích hệ thống, Nayka - Mascova, 1981).
Nói chung, đối với bài toán đa mục tiêu, việc tìm nghiệm của bài toán thực chất là bài toán tối −u có điều kiện. Một nghiệm đ−ợc gọi là tối −u sẽ mang lại quyền lợi tốt hơn cho mục tiêu này và sẽ làm thiệt hại đến quyền lợi của mục tiêu khác. Bởi vậy có thể nói, lời giải tối −u bài toán đa mục tiêu là tìm đ−ợc một thoả hiệp tốt nhất giữa các mục tiêu.
Ph−ơng pháp trọng số
Với ph−ơng pháp trọng số ng−ời ta đ−a hàm mục tiêu dạng (4-47) về dạng một hàm mục tiêu có dạng: F(X) = c1 f1(X)+ c2 f2(X) + ... + ci fi(X) +... + cn fn(X) (4-51) Hay là: F(X) = (4-52) n i i i 1 c f (X) = ∑ Với 0 ≤ ci≤ 1 và = 1 (4-53) n i i 1 c = ∑ Ràng buộc: gj(X) ≤ bj với j =1, 2,..., m (4-54) Các hệ số ci đ−ợc chọn tùy thuộc vào mức độ −u tiên của từng mục tiêu. Quyền lợi của mỗi mục tiêu bị xâm hại tùy thuộc vào mức độ −u tiên của các mục tiêu khác.
Khi giải bài toán tối −u dạng (4-52), ng−ời ta phải tính toán theo các ph−ơng án khác nhau của sự lựa chọn các hệ số ci. Trên cơ sở phân tích kết quả các ph−ơng án và ảnh h−ởng của việc chọn các ci đến giá trị tối −u của từng mục tiêu sẽ chọn đ−ợc một nghiệm hợp lý, tức là chọn đ−ợc thoả hiệp chấp nhận đ−ợc giữa các mục tiêu.
Mô tả các hàm mục tiêu của các mục tiêu riêng fi(X)
Thiết lập hàm mục tiêu chung
n i i i 1 F(X) c f (X) = =∑ Với các ràng buộc gj(X) ≤ bj; j =1, 2,..., m
Chọn các ph−ơng án hệ số ci với điều kiện 0 ≤ ci≤ 1 và n i i 1 c 1 = = ∑
Giải bài toán tối −u tìm nghiệm tối −u:
- Tham số tối −u của hệ thống: X* = (x , x ,...., x ,..., x1∗ ∗2 k∗ mk∗ )
- Các giá trị tối −u các hàm mục tiêu F(X*), fi(X*), với i=1, 2,...,n
Phân tích ảnh h−ởng của các ph−ơng án lựa chọn ci đến hàm mục tiêu riêng của các đối t−ợng khai thác hệ thống.
Từ đó ra quyết định ph−ơng án chọn
Hình 4-5: Sơ đồ xác định ph−ơng án tối −u theo ph−ơng pháp trọng số
Ph−ơng pháp sử dụng các chỉ số tiêu chuẩn
Ph−ơng pháp này cũng đ−a bài toán nhiều hàm mục tiêu về dạng bài toán một hàm mục tiêu bằng cách giải bài toán tối −u với một hàm mục tiêu riêng trong khi không cho phép giá trị của các hàm mục tiêu còn lại v−ợt quá một giới hạn nào đó. Giả sử có bài toán nhiều hàm mục tiêu có dạng:
f1(X)→ min f2(X)→ min ... (4-55) fi(X)→ min ... fm(X)→ min Với ràng buộc:
gj(X) ≤ bj với j =1, 2,..., m (4-56) Trong đó: X = (x1, x2,..., xk,..., xmk) là véc tơ mk tham số của hệ thống.
Giả sử chọn một hàm mục tiêu riêng, chẳng hạn f1(X), mà nó cần đ−ợc cực tiểu, ta có:
f1(X) → min (4-57)
Các mục tiêu còn lại cần thoả mãn điều kiện: f2(X) ≤ f (2* X)= ε1 f3(X) ≤ f (3* X)= ε2 ... (4-58) fi(X) ≤ fi*(X) = εi ... fn(X) ≤ fn*(X) = εn
Các giá trị εi = với i =1, 2,..., n là các giá trị ấn định tr−ớc đối với hàm mục tiêu thứ i. Việc ấn định các giá trị ε
(X) fi*
i = trong biểu thức (4-58) sẽ ảnh h−ởng đến giá trị tối −u của các hàm mục tiêu còn lại. Bởi vậy, trong thực tế cần xem xét việc thay đổi các giá trị sao cho thoả đáng. Vấn đề này đ−ợc giải quyết bằng cách xem xét lợi ích và thiệt hại đối với các đối t−ợng mà yêu cầu của họ đ−ợc ấn định tr−ớc theo biểu thức (4-58). Cách làm t−ơng tự có thể thực hiện đối với bất kỳ hàm mục tiêu nào trong số nhàm mục tiêu của bài toán.
(X) fi*
(X) fi*
Với cách thay εi =fi*(X) ta có thể viết:
fi (X) → min (4-59)
Mô tả các hàm mục tiêu của các mục tiêu riêng fi(X)
Chọn hàm mục tiêu riêng để tìm nghiệm tối −u fi(X) Vớ i các ràng buộc gj(X) ≤ bj; j =1, 2,..., m
Chọn các ph−ơng án hệ số εl với l=1, 2, 3...n-1 và l≠i
Giải bài toán tối −u tìm nghiệm tối −u: