vdi noi u; t D.Vl p-lin ạz (txj) = Ax(cu ) nen ta suy ra
*^ n Ax(cu) =r Ăcu)x h.c.c.
Djnh ly 2.0 Giõ su X lõ nhong gian Banaeh eo ed sé Sauder Ce J va
(e * ) lõ cd sụ doi ngõu týdng ýng trong XÍ .Khi do A cụ ị(X,l)-ban sao
ne-'u va chi neu eo tón t ^ t^p D vdi P(D)=.l sao eho vdi npi cý ^ D
- 1 0 5 -
Ch-ỷng n i n h Dieu l i i e n c a n : Tu bo de 2 . 6 t a ce t o n tÒ^i n p t õnh x^ • A : -1 i^ — ^ L ( X , Y ) v õ n o t taD hc'v J v c i ?CD) r : 1 s a o eho Ae C-<AJ ) =
n
A{u))e v o i n p i n v õ n p i ị ị ^ D . . Khi do v d i n p i ẻJO (^ D , v d i .âipi x ờ -^ X . U , e * )Ae Cu;) = ACuu) ( T C x , c * ) e ) ^ A{uo)x
D i e u k i f n d u : G i õ sỷ r a n g ec t o n t ^ i t ^ p D v ờ i xõc s u a t 1 s a o cho
^ oo ^
c h u o i ^ I f ^ ^ i Ẽ * ^-^^ (*-^) ^^ "^V t r o n g Y v d i n p i x ^ X.Vểi n o i uj ê D
t a d j n h n g h i a anh x a ĂCị ) : X —%> Y b ờ i A ( U J ) X = Y ( x , e * )Ae ( t o )
Tu d j n h l y i ^ a n a e h - o t e i n h a u s t a co AC^-U) ờ:LCX,Y) . V d i o o ờ D t a d ^ t oo
A C * - ^ ) "=- b ê L C X Í l ) . Vl r a n g Ax = ^ 1 ( ^ - r e * )Ae t r o n g L ' C - f l )
oo _
trong khi do T (^i^- *^ )Ae (cu) = A C L - O ) X h..c.ẹ ta rut ra
^^, n n
Ax(tju) =:. ACt^)x h.c.c. hay A ec LCX,i)-bõn sam.
Djnh l y 2 . 9 G i õ s ỷ A ^L(Sl , 1 ^ , Y ) (1 < r < : o ^ ) . Khi dụ A ec S C l . , , 1 ) -
/ ' "^ "C ' ^
b õ n s a o n e u v a c h i néu c n u c i T 1| Ae ||" h p i t y h . c . c . x_/ n
Chỷn/; n i n h j j i ờ u n i p n c a n : Tu bụ' dờ 2 . 6 t a cụ t o n t ^ i n p t anh xưt
^ : J \ - ^ SCl ,Y) v a n Ò t t ^ p D v ụ i x õ c s u õ t 1 s a o eho Ae - ACco)e
p n n
v ụ i mpi n v õ v d i n p i oO Ò- D.Khi do v d i n p i uj^ D t a eo ^ II Ae C c ^ ) | | - ^ ' ^ ^ l | A C u u ) e ^ | | ^ ' <^ oo
rv
Dieu k i p n d u : D^t ợ) -= ^Uị: T ||Ae C u ; ) | | ' -C ooj .Ta eụ PCD) - 1 .
4"^
vụi nụi n ta djnh nghia õnh x^ B : Si -> SCl ,Y) nhý sau n P
B (uu)x = T (x,ẹ^ )Aê (uu) .Ta eụ ||B {^) - b (co)j|-^ -
n t — i "^ "^^ n-tn n —
2 11 Aẹ (cu)ll'^ .Do dụ neu cu ê D thi { B (uu)*^ lõ dõy Cauchy trõng
fc-r h*.i
>—
3 ( 1 ,1) do do t o n tưii l i n B ( c u ) - BC^-o) .Xểz õnh x a A : Si —5> SCl ,Y)
P n ' y
x õ e d j n h nhý s a u Avcu) - BCt-u) néu c o t D võ AC*-^) = b ^ 3 ( 1 ,Y)
^ n nờu uuờ-D.Ta eụ Ăuu)x r Y Cx,e* )Ae C<-Ậ->) h..c.ẹ Lai cụ
Oto- y,
chuoi 2 1 ^^'^-^ )Ae C*-o) hpi ty tụi AxCtxợ) theo xõc súat .V^y
AxCuJ) •=: ACuj)x h.c.c.
Djnh ly 2.10 Gia su X la iihong gian Eanach vời ed sụ Sauder (h ) võ
(h* ) lõ cd sờ Shauder týdng ỷng trong X', (e ) lõ ed se tý nhiờn trong 1 ( 1 ^ r <1 oo). Wpt toan tỷ ngõu nhiờn A ^ L( J1,X,1 ) cụ
1 Z X 7 ^^ ờ Z^ 4Z^ ^
U(X,1 )—fean sao neu võ chi nêu vời noi k chuoi T" (Ah ,e )h lõ r -^ , i k k
hpi ty h.c.c. trong X' võ chuoi ^ [j \ (Ah. ,ê )^vlr --?^ "^^ t ụ
h.c.c.
Chỷng .'ninh i^ieu . l i e n c a n : Theo bo de 2 . 6 eụ t o n tưii õnh x^ A t ỷ - u . võo U ( X . l ) v õ n o t t a n D v d i ? ( D ) - 1 s a o eho Ah ( c u ) •=-Ăou)h v ờ i
r i i
f ^ ợ
npi i võ .npi UJ Ò D.Khi do vụi nụi k võ nụi u^ iz ^ ta co
T C A h ( o u ) , e J h " ^ - Z (ạ(cx/)h. , e , ) h ' ' = T ( h . , I * ( c o ) e , ) h * -
*;^ 1 1: 1 ~ ^ 1 ii 1 -7^ 1 X I
z ^ J
A ( u j ) e h a y c h u o i (Ah. , e , ) h . h o i t u h . e . C . T i e p t h e c v i
k 1 ợê i
XCýu) ê_ UCX,1 ) n'en t a cụ Y || A*"Cuo)e | r < 00 v ụ i n p i cu 6 ^ .
r ^ k
Dieu n õ y c h ỷ n g minh J ^ j| V (Ah. , e,Jh*^!! <1 00 h . c . c .
^ ỷ ;t X ' ? ^
Diờu k i e n d u : Dat g = Y ( A h . , e , )h C L ( ẻ L ) . T h e o g i õ t h i e t
^ "^ ^ i V ' 1 K k ^ o
i
-^ ^y p .
eụ ton tf.i ::;pt t^-p D vụi xõe suõt 1 sao cho ^ |/g.^^(u^)ll < c*c vời
mpi co ẫ; D.T-u dụ chuoi Ò^ (x,ẹ )g. (CXẻ ) hpi tu trjng XÍ vdi noi
ten iợ k
X ^ 1Í võ noi t^ t -1^- Gọ. djnh uJ ^ D võ dat Ò(uu):: x: y (;:,e )g^^Lo)
ẻD(ẻXÍ) Ò L C I ^ X ' ) bpi Ă<-U) lõ thu he- eỷa Ò^{^) len X .Ta eụ
^ r
J?'
L^A\^):e f= ^ẻB^\uj)ej'' ^ V | | 3 ( c u ) e . f . Y i| g C . ^ ) l l ' ' < oc
V^y A ( w ) ê ị ( X , 1 ) ^Vểi cu ê D t a d ^ t ạCLị ) =^ b ê U(X,1 ) . B õ y g i o r ^ r
t a con p h õ i c h ỷ n g minh v ụ i moi x ^ X A X ( L ^ ) = A ( c o ) x h . c . c . Ta cụ v d i co ê D v a mpi i ^ k
(ACto)ih ,.e ) = ( B ^ c ý ) h e / ) = ( h . , B ( u u ) e ) - ( h . , g, ( c u ) ) ^ (Ah. Cụ^) , e )
—• *^ J - •** 1 X t 1 i ^ 1 1^
^õy- Ah. ( L U ) = Ăuj);h a ) o dụ
X 1
A ( M J ) X a X ( x Í ^ * )Ă<jý)h, - y (x,h'* )Ah ( o u ) v ụ i n ụ i u u e D . M^t k h õ c c h u o i J \ ( x , h ' ' )Ah. (u-i) h p i t u t r o n g L ~ ' * ( i l ) t ụ i AxC uj)
L' 3. 1 • O
Vfiy Ax(ccÍ) -z A{uý)x h.c.c. nhý nong nuon.
Ta ket thuc tiet nay bang vi dy minh hô sau day
Thi du Cho X = Y = - 1 ( p ; ; ? l ) ^ 6 l õ bien ngõu nhiờn thýc cụ phõn
ho Gauss N ( O ^ ) võ (Ẫ ) lõ dõy ban sao dpc l^p cỷa 9 . ::eu (c ) l i dõy sụ" thyc bJ ch|n thi I ^ E |(x,e ) I ^Ic 1^16 I" =
'TT n n n E | 6 p Ò J ( x , e )| ^ j e 1^ 4 S u p l c f E | 6 p l l x f .V^y t h i c h u S i ^ n n n Z ( x , e Xc Ẫ e h p i t y h . c - c . t r o n g 1 . D a t n n n n ' * ^ p ^ Ax = " Y ( x , e ) e 6 e n n n n Ạ Ta x õ c d i n h mpt t o a n t ỷ n g õ u n h i ờ n tợợ 1 võo 1 .Ta ec Ae - c 6 e V V n n n n
Theo d i n h l y 2 . 9 A cụ S ( l , 1 ) - b õ n s a o neu v õ c h i neu c h u ụ i Y 1 e 6 ^
^^ ^ p p Z . ' n n
l ^ Q i h | A . h ^ c ^ c . D i ờ u n õ y t ý d n g dýdng v ụ i ^ ' ^ I ^ ^ ^ "
Theo d i n h l y 2-.10 A eụ U ( l , 1 ) - b õ n s a o n ờ u v õ c h i neu c h u o i P P
ditdBg v:ời V | c | ^ < oo .
-10^.
Cuoi cỷng ta chýng .^inl': rang A cụ L(::. ,1 ) _ "DÒ-_ sao neu võ chợ n?u
!'• P
2 ^ e x p U t / c V <; oo v c i .,iot t '^ O nao dụ . ( 2 - 2 )
Thft vjiy theo djnh l y Valihania [ 6 0 ] diờu k i e n (2-2) týdng dýdng v ờ i P^ sup I e e I < oo] r F ợ sup II Ae j k oo] = 1 . {2-3) Neu A cụ L ( l , 1 ) - b a n sao t h i t a eụ {2-3) do djnl: I v 2 . 7 .Dao l a i
P P T ^ Í
g i õ sỷ eụ ( 2 - 3 ) .-D^t D c ợ c ý : sup (| ýe ( o o ) | j < o c [ . Khi dụ v ờ i / l o ê '^
t h i chuợợi ' " , ' . - ' ' ' : ' ' . •
X ( x , e )Ae (cu) Z ) ( x , e )e 0 (Cý)e h ^ i tu t r o n g 1 .VÒy
^ n n ^—^ n n n n D *
theo djnh l y 2 . 8 A e ể L ( l , 1 )-ban sao . ? ^
/ 2 '^ ^ '-
I I I . T ẻ n h e h õ t (V,-D)-biờu d i ờ n dýpc cỷa toan t ỷ n;--õu nhien
Ciõ sỷ A ê L(J1 ,X,y) l õ toan t ỷ ngõu nhíen cụ V-ban sao .Thec bo
dờ 2 . 6 dieu dụ ec n g h i a rang eo ton t p i :i^t õnh x^ A : SL - ^ V
sao cho Vểi n p i x ê X P / u o : AX(<Jị ) = A ( o o ) x ợ — 1 .
Òrrh Xf A n ụ i chung khong l õ npt b i e n ngau n h i e n V—giõ t r J C t r ý phi
a iUia l y nný ^let l u ^ n cua bợ" de 2.D).Ta co phan thị du sau
x h ợ d u : Giõ sỷ h l õ khong g i a n n i l b e r t --ha l y v ờ i cd se (e ) võ
*• n
\ l õ dõy b i e n ngõu n h i ờ n thýc doc i j ? Gauss v ụ i f ^ N ( 0 ^ 1 / l n n )
Gpi JUL l õ phõn bo cua dõy ( f ) .Su dyng d i e u Id.en Vakhania âgợT] t a
$
cụ ợu t ^ p t r u n g t r e n 1 võ A/L khong p h a i l a õp do Radon theo 7 V(xem[4n )^
topo chuan na chi lõ do do Eadon theo to-oo 5'(1 ,1. )/.Hdn nỷa 1
^ oo 1 / o
tronfe 1^^ dýp'c^dong nhat vdi toan tu T ê LCE,H) xõc djnh bụi
Tx Z X C x , e )c e ..-.õc djnh toan ti A f- L(J1,H,H) bụi - _ _ OO
Ax r Z / ^^'^1-) T-. ^, ^^ Ăou)r 1 5 (cý)] f. 1
^ K .•. .^ L j^ J ^ Ítọ ^ ^
Ta cụ A lõ eo 1 -bõn sao nhýng A ( O ị ) cụ lu^t phan bo khong la
Hadon do do no khong phai lõ npt bien ngõU nhiờn 1 -gia trJ . -
oo
V y J
Tý do t a di den djnh nghia sau
Dinh nghia 3 ^ Toan tỷ ng2u nhien A ê L(J1,X,Y) dýpc gpi l õ V-
^ S" / '-' _ V
hieu diờn dýpc nờu eụ ton t f i -:pt bien ngõu nhién V-gi^ t r J A ê L {Sị) sao cho Vểi npi x ê X ạx(oo) =. Ăuj)x h . c . c .
'~^ — V
Trong trýcợng hdp A l õ V-biờu diờn dýp^c võ A ê L ( J l ) ij > C t h i
p ta bao A la (V,p)-bieu aiờn dýdc
Nhý Vfy de cho gpn viec phõt bíeu (V,0)-bieu diờn dýpc co nghia
la V—bieu dien dýp'e ,
Djnh ly 3^2 i) Toan tu ng'au nhien A ^ L(fljX^Y} lõ V-biờu diờn dýpc neu va chi neu co ton tfi npt do do jxadon ÂX tren V sao cho -. vdi npi
x^ , . . . . , X f^ X, ỵ , . . . , y ê ^' ( ^^ = 1,2,- • ) võ :pi tfp Borel B c E
1 n ^^ 1 n ^
7 ^ ^
Trong trỷdng hdp nõy ta nụi JVA l a dp do bieu dien cho Ạ
/ - / - '
X) A lõ ("V^p) -bieu diờn dýp'c n?u võ chi neu tón tfi dp' do Eadon cap 7 <- 7 <-