Trong quá trình làm mịn phân hoạch miền của diễn dịch, các bộ chọn được sinh ra ngày càng nhiều. Trong số các khái niệm đó, có những khái niệm có cùng tập thể hiện.3 Do đó, chúng ta cần chọn khái niệm đơn giản nhất để phân chia khối. Trong luận án này, tính đơn giản của khái niệm được xác định thông qua độ dài và độ sâu khả năng của khái niệm.
Định nghĩa 3.7 (Độ sâu khả năng). Cho C là một khái niệm ở dạng chuẩn trong ngôn ngữ LΣ,Φ. Độ sâu khả năng của khái niệm C, ký hiệu là mdepth(C), được xác định như sau:
• 0 nếu C có dạng >, ⊥,A,A=d, A6=d, A > d, A≥d, A < d hoặc A≤d, • mdepth(D) nếu C là dạng chuẩn của ¬D,
• 1 nếu C có dạng ∃σ.{d},∃r.Self, ≥n Rhoặc ≤n R,
• 1 +mdepth(D)nếu C có dạng ∃R.D, ∀R.D, ≥n R.D hoặc ≤n R.D,
• max{mdepth(D1),mdepth(D2), . . . ,mdepth(Dn)}nếuCcó dạngu{D1, D2, . . . , Dn}
hoặc t{D1, D2, . . . , Dn}.
Định nghĩa 3.8 (Độ dài). Cho C là một khái niệm ở dạng chuẩn trong ngôn ngữ LΣ,Φ. Độ dài của khái niệmC, ký hiệu bởi length(C), được xác định như sau:
• 0 nếu C có dạng > hoặc ⊥,
• 1 nếu C có dạng A, A=d, A6=d, A > d, A≥d, A < d hoặcA ≤d, • length(D) nếu C ≡D và D là dạng chuẩn của ¬D,
• 3 nếu C có dạng ∃σ.{d},∃r.Self, ≥n Rhoặc ≤n R, • 2 +length(D)nếu C có dạng ∃R.D hoặc ∀R.D, • 3 +length(D)nếu C có dạng ≥n R.D hoặc ≤n R.D,
• 1 +length(D1) +length(D2) +· · ·+length(Dn)nếu C có dạngu{D1, D2, . . . , Dn}
hoặc t{D1, D2, . . . , Dn}.
Chúng ta sử dụng các khái niệm được biểu diễn ở dạng chuẩn (nghĩa là, tạo tử phủ định chỉ xuất hiện trước các tên khái niệm). Vì lý do này, length(D) được định nghĩa bằng với length(D), trong đó D là dạng chuẩn của ¬D.
Ví dụ 3.4. Cho A,B là các tên khái niệm và r,s là các tên vai trò đối tượng. Ta có: • mdepth(u{¬A,≥2r.(∃r.>),∃s.B}) = 2,
• length(u{¬A,≥2r.(∃r.>),∃r.B}) = 10.
Cho hai khái niệm C và D trong ngôn ngữ LΣ,Φ. Chúng ta nói rằng khái niệmC
đơn giản hơn khái niệmD nếu:
• length(C)<length(D), hoặc
Trong thực tế, độ sâu khả năng của một khái niệm thường là một giá trị rất nhỏ, trong lúc đó độ dài của khái niệm thường là một giá trị rất lớn. Điều này dẫn đến sự khác nhau về độ sâu của hai khái niệm không nhiều. Ngược lại, sự khác nhau về độ dài giữa hai khái niệm lại khá lớn. Đây chính là lý do chúng tôi chọn độ dài của khái niệm làm yếu tố chính để xem xét tính đơn giản của khái niệm.
Cho C={C1, C2, . . . , Cn} là tập các khái niệm của LΣ,Φ. Khái niệmCi ∈C được gọi là đơn giản nhất nếu nó đơn giản hơn bất kỳ khái niệm nào khác trong C.