Trong logic mô tả, một diễn dịch trong ngôn ngữ LΣ,Φ có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. Một diễn dịch I trong LΣ,Φ có thể là vô hạn, nhưng khi hạn chế nó trên ngôn ngữ con LΣ†,Φ†, với Σ† ⊆ Σ và Φ† ⊆ Φ thì I có thể là một diễn dịch hữu hạn. Tính hữu hạn của một diễn dịch trong ngôn ngữ con được định nghĩa như sau [14]:
Định nghĩa 2.7. Một diễn dịch I trong LΣ,Φ được gọi là phân nhánh hữu hạn (hay hữu hạn ảnh) đối với LΣ†,Φ† nếu với mọi x∈∆I và với mọi vai tròr∈Σ†oR thì:
• tập {y ∈∆I |rI(x, y)} là hữu hạn,
Tính chất Hennessy-Milner đối với mô phỏng hai chiều trong Định lý 2.4 và Hệ quả 2.3 sau đây được phát triển và chứng minh dựa trên các kết quả của nghiên cứu [14] cho một lớp lớn hơn các logic mô tả đã đề cập trong Mục 1.2.2 của Chương 1. Ở đây, tính chất Hennessy-Milner được phát biểu trên các diễn dịch phân nhánh hữu hạn. Định lý 2.4 trình bày điều kiện cần và đủ để xây dựng tính bất biến dựa trên các diễn dịch phân nhánh hữu hạn.
Định lý 2.4 (Tính chất Hennessy-Milner). Cho Σ và Σ† là các bộ ký tự logic mô tả sao cho Σ† ⊆ Σ, Φ và Φ† là tập các đặc trưng của logic mô tả sao cho Φ† ⊆ Φ, I và I0 là các diễn dịch trong LΣ,Φ thỏa mãn điều kiện phân nhánh hữu hạn đối với LΣ†,Φ†, sao cho với mọi a ∈ Σ†I, aI LΣ†,Φ†-tương đương với aI0. Giả thiết rằng U 6∈ Φ† hoặc Σ†I 6= ∅. Lúc đó, x ∈ ∆I LΣ†,Φ†-tương đương với x0 ∈ ∆I0 khi và chỉ khi tồn tại một LΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều Z giữa I và I0
sao cho Z(x, x0) thỏa mãn.
Chứng minh. Giả sử Σ và Σ† là các bộ ký tự logic mô tả sao cho Σ† ⊆ Σ, Φ và Φ† là tập các đặc trưng của logic mô tả sao cho Φ† ⊆ Φ, I và I0 là các diễn dịch trong LΣ,Φ thỏa mãn điều kiện phân nhánh hữu hạn đối với LΣ†,Φ†, sao cho với mọia∈Σ†I,
aI LΣ†,Φ†-tương đương với aI0. Giả thiết rằng U 6∈ Φ† hoặc Σ†I 6= ∅. Ta cần phải chứng minh: (*) Với x∈∆I và x0 ∈ ∆I0, nếu x LΣ†,Φ†-tương đương với x0 thì tồn tại một LΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều Z giữa I và I0 sao cho Z(x, x0) thỏa mãn. (**) Nếu tồn tại một LΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều Z giữa I và I0 sao cho Z(x, x0) thỏa mãn thì
x LΣ†,Φ†-tương đương vớix0, trong đó x∈∆I và x0 ∈∆I0.
Đầu tiên, ta chứng minh khẳng định (*). Giả sử có x∈∆I,x0 ∈∆I0 thỏa mãn x
LΣ†,Φ†-tương đương với x0. Ta định nghĩa quan hệ Z như sau:
Z ={hx, x0i ∈∆I×∆I0 |x LΣ†,Φ†-tương đương vớix0},
và chỉ ra rằng Z là một mô phỏng hai chiều giữa I và I0.
- Xét điều kiện (2.1), vì theo giả thiếtaI LΣ†,Φ†-tương đương vớiaI0 nênZ(aI, aI0) thỏa mãn.
- Xét điều kiện (2.2) và giả sử Z(x, x0) thỏa mãn. Theo định nghĩa của quan hệ
Z và quan hệ LΣ†,Φ†-tương đương, ta có AI(x) thỏa mãn khi và chỉ khi AI0(x0) thỏa mãn với mọi tên khái niệm A ∈Σ†C.
- Xét điều kiện (2.3) và giả sửZ(x, x0)thỏa mãn. NếuBI(x)xác định vàBI(x) =d. Lúc đó ta có x ∈ (B = d)I. Vì x ∈ (B = d)I và theo định nghĩa của quan hệ Z và quan hệ LΣ†,Φ†-tương đương nên x0 ∈(B =d)I0. Nói cách khác BI0(x0) =d và do đó
BI(x)không xác định khi và chỉ khiBI0(x0)không xác định. Vậy ta cóBI(x) =BI0(x0) hoặc cả hai không xác định.
- Xét điều kiện (2.4) và giả sử Z(x, x0), rI(x, y) thỏa mãn. Đặt S = {y0 ∈ ∆I0 |
rI0(x0, y0)}, ta cần chỉ ra rằng tồn tại y0 ∈ S sao cho Z(y, y0) thỏa mãn. Vì rI(x, y) thỏa mãn nên x ∈ (∃r.>)I. Vì x LΣ†,Φ†-tương đương với x0 nên x0 ∈ (∃r.>)I0
. Từ
x0 ∈(∃r.>)I0
ta suy ra S 6=∅. Mặt khác, I0 là một diễn dịch phân nhánh hữu hạn đối với LΣ†,Φ† nên S là một tập hữu hạn. Gọi y10, y02, . . . , y0n là các phần tử của S, ta có
n ≥ 1. Giả sử Z(y, y0i) không thỏa mãn với mọi 1 ≤ i ≤ n. Điều này suy ra y không LΣ†,Φ†-tương đương vớiyi0 với mọi 1≤i≤n. Nghĩa là, với mỗi1≤i≤n, tồn tại khái niệm Ci sao choy∈CiI và yi0 6∈CiI0. ĐặtC ≡ ∃r.(C1uC2u · · · uCn), ta cóx∈CI và
x0 6∈ CI0. Điều này mâu thuẩn với giả thiết x LΣ†,Φ†-tương đương với x0. Do vậy, tồn tại yi0 ∈S sao cho Z(y, y0i)thỏa mãn.
- Điều kiện (2.5) được chứng minh tương tự như điều kiện (2.4).
- Xét điều kiện (2.6) và giả sử Z(x, x0) thỏa mãn. Bằng cách thay khái niệm A
trong điều kiện (2.2) bởi khái niệm ∃σ.{d}, ta suy ra được x ∈ (∃σ.{d})I khi và chỉ khi x0 ∈(∃σ.{d})I0
. Vì vậy, σI(x, d)⇔σI0(x0, d).
- Điều kiện (2.7) và (2.8) trong trường hợp I ∈Φ† được chứng minh tương tự như điều kiện (2.4) và (2.5) bằng cách thay vai trò r bởi vai trò r−.
- Xét điều kiện (2.9) trong trường hợp O ∈ Φ† và giả sử Z(x, x0) thỏa mãn. Đặt
C ≡ {a}. Vì x LΣ†,Φ†-tương đương với x0 nên x∈ CI khi và chỉ khi x0 ∈ CI0. Do đó, ta có x=aI khi và chỉ khi x0 =aI0.
- Xét điều kiện (2.10) trong trường hợp N ∈ Φ† và giả sử Z(x, x0) thỏa mãn. Đặt S = {y ∈ ∆I | rI(x, y)} và S0 = {y0 ∈ ∆I0 | rI0(x0, y0)}. Vì I và I0 là các diễn dịch phân nhánh hữu hạn đối với LΣ†,Φ† nên S và S0 là hữu hạn. Nếu S = ∅, ta có
x /∈(∃r.>)I và doxLΣ†,Φ†-tương đương vớix0 nên ta cóx0 ∈/ (∃r.>)I0
. Vìx0 ∈/ (∃r.>)I0 nên ta có S0 = ∅. Từ đó suy ra #S = 0 = #S0. Nếu S 6= ∅, gọi y1, y2, . . . , yn là các phần tử củaSvớin ≥1. Rõ ràngx∈(≥n r.>)I vàx∈(≤n r.>)I. DoxLΣ†,Φ†-tương đương với x0 nên ta có x0 ∈ (≥ n r.>)I0
và x0 ∈ (≤ n r.>)I0
. Vì x0 ∈ (≥ n r.>)I0 nên #S0 ≥ n và vì x0 ∈ (≤ n r.>)I0
nên #S0 ≤ n. Từ đó suy ra #S =n = #S0. Nói cách khác #{y ∈∆I |rI(x, y)}= #{y0 ∈∆I0 |rI0(x0, y0)}.
- Điều kiện (2.11) trong trường hợp {N,I} ⊆Φ† được chứng minh tương tự như điều kiện (2.10) bằng cách thay vai trò r bởi vai trò r−.
C ≡ (≤1r). Nếu x ∈ CI thì #{y ∈ ∆I | rI(x, y)} ≤ 1. Vì x ∈ CI và x LΣ,Φ-tương đương vớix0 nênx0 ∈CI0 và do đó#{y0 ∈∆I0 |rI0(x0, y0)} ≤1. Tương tự, nếux /∈CI
thì x0 ∈/ CI0, do đó #{y ∈∆I |rI(x, y)} >1 và #{y0 ∈∆I0 |rI0(x0, y0)} >1. Vậy ta có [#{y∈∆I |rI(x, y)} ≤1]⇔[#{y0 ∈∆I0 |rI0(x0, y0)} ≤1].
- Điều kiện (2.13) trong trường hợp {F,I} ⊆Φ† được chứng minh tương tự như điều kiện (2.12) bằng cách thay vai trò r bởi vai trò r−.
- Xét điều kiện (2.14) trong trường hợp Q ∈ Φ† và giả sử Z(x, x0) thỏa mãn. Đặt
S = {y ∈ ∆I | rI(x, y)} và S0 = {y0 ∈ ∆I0 | rI0(x0, y0)}. Vì I và I0 là các diễn dịch phân nhánh hữu hạn đối với LΣ†,Φ† nên S và S0 là hữu hạn. Giả sử không tồn tại một song ánh h :S →S0 nào sao cho h⊆ Z. Từ giả thiết này ta suy ra tồn tại một
y00∈S∪S0 sao cho vớiy1, y2, . . . , yk∈S vày01, y20, . . . , yk00 ∈S0 khác nhau từng đôi một LΣ†,Φ†-tương đương vớiy00, ta cók 6=k0. ĐặtI00 =I nếuy00∈SvàI00 =I0 nếuy00∈S0. Đặt {z1, z2, . . . , zh}=S\ {y1, y2, . . . , yk} và{z10, z20, . . . , zh00}=S\ {y10, y20, . . . , yk00}. Với mỗi1≤i≤htồn tạiCisao choy00 ∈CiI00 vàzi ∈/ CiI. Tương tự, với mỗi1≤i≤h0 tồn tại Di sao cho y00∈DIi00 vàzi0 ∈/ DIi0. ĐặtC ≡(C1uC2u · · · uChuD1uD2u · · · uDh0). Chúng ta có {y1, y2, . . . , yk} ⊆ CI và {z1, z2, . . . , zh} ∩CI = ∅. Tương tự như thế, {y01, y20, . . . , yk00} ⊆ CI0 và {z10, z20, . . . , zh00} ∩CI0 =∅. Nếu k > k0 thì x∈ (≥k r.C)I và
x0 ∈/ (≥k r.C)I0. Nếu k < k0 thì x /∈(≥k0r.C)I và x0 ∈ (≥k0r.C)I0. Điều này trái với giả thiết xLΣ†,Φ†-tương đương với x0. Do vậy, điều kiện (2.14) thỏa mãn.
- Điều kiện (2.15) trong trường hợp {Q,I} ⊆Φ† được chứng minh tương tự như điều kiện (2.14) bằng cách thay vai trò r bởi vai trò r−.
- Xét điều kiện (2.16) trong trường hợp U ∈ Φ†. Vì I và I0 là các diễn dịch phân nhánh hữu hạn đối với LΣ†,Φ† và U ∈ Σ†oR nên I và I0 là hữu hạn. Giả sử ∆I0 = {x01, x02, . . . , x0n} với n ≥ 1. Lấy một đối tượng bất kỳ x ∈ ∆I, giả sử rằng x
không LΣ†,Φ†-tương đương với x0i với mọi 1≤i≤n. Lúc đó, với mỗi1≤i≤n tồn tại một khái niệmCi sao chox0i ∈CiI0 vàx /∈CiI. ĐặtC ≡(C1tC2t · · · tCn)vàa∈Σ†I là một tên cá thể, ta có aI0 ∈ (∀U.C)I0 và aI ∈/ (∀U.C)I. Điều này trái với giả thiết
aI LΣ†,Φ†-tương đương vớiaI0. Do đó, tồn tại x0i ∈∆I0 sao cho Z(x, x0i)thỏa mãn. - Điều kiện (2.17) trong trường hợp U ∈ Φ† được chứng minh tương tự như điều kiện (2.16).
- Xét điều kiện (2.18) trong trường hợp Self ∈Φ† và giả sửZ(x, x0) thỏa mãn. Vì
x LΣ†,Φ†-tương đương với x0 nên x∈(∃r.Self)I khi và chỉ khi x0 ∈(∃r.Self)I0. Do vậy,
rI(x, x) thỏa mãn khi và chỉ khi rI0(x0, x0) thỏa mãn.
kiện phân nhánh hữu hạn đối với LΣ†,Φ†, Z là một LΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều giữa I và I0 sao cho Z(x, x0) thỏa mãn. Theo khẳng định (2.19), với mọi khái niệm C của LΣ†,Φ†,CI(x)thỏa mãn khi và chỉ khi CI0(x0)thỏa mãn. Do đó,x LΣ†,Φ†-tương đương
với x0.
Hệ quả 2.3. Cho Σ và Σ† là các bộ ký tự logic mô tả sao cho Σ† ⊆ Σ, Φ và Φ† là tập các đặc trưng của logic mô tả sao cho Φ† ⊆ Φ, I và I0 là các diễn dịch trong LΣ,Φ thỏa điều kiện phân nhánh hữu hạn đối với LΣ†,Φ†. Giả thiết rằng Σ†I 6=∅ và với mọi a ∈ Σ†I, aI LΣ†,Φ†-tương đương với aI0. Lúc đó, quan hệ {hx, x0i ∈ ∆I ×∆I0 | x
LΣ†,Φ†-tương đương với x0} là một LΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều giữa I và I0
.