hai chiều giữa diễn dịch I và I0 thì các điều kiện này thỏa mãn đối với các tên khái niệm và tên vai trò trong tập ký tự logic mô tả Σ†. Bổ đề 2.2 sau đây khẳng định các điều kiện trên cũng đúng với các khái niệm phức và vai trò phức của ngôn ngữLΣ†,Φ†. Bổ đề này được được phát triển dựa trên Bổ đề 3.3 của công trình [14] với lớp các logic mô tả lớn hơn như đã đề cập trong Mục 1.2.2 của Chương 1. Phần chứng minh
của bổ đề, chúng tôi đã bổ sung cho những trường hợp phát sinh thêm trên lớp các ngôn ngữ đang nghiên cứu.
Bổ đề 2.2. Cho I và I0 là các diễn dịch trong ngôn ngữ LΣ,Φ, Z là một LΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều giữa I và I0
. Lúc đó, với mọi khái niệm C của LΣ†,Φ†, mọi vai trò đối tượng R của LΣ†,Φ†, mọi đối tượng x, y ∈ ∆I, x0, y0 ∈ ∆I0 và mọi cá thể a ∈ Σ†I, các điều kiện sau sẽ được thỏa mãn:
Z(x, x0)⇒[CI(x)⇔CI0(x0)] (2.19) [Z(x, x0)∧RI(x, y)]⇒ ∃y0 ∈∆I0 |[Z(y, y0)∧RI0(x0, y0)] (2.20) [Z(x, x0)∧RI0(x0, y0)]⇒ ∃y ∈∆I |[Z(y, y0)∧RI(x, y)], (2.21) nếu O ∈Φ† thì:
Z(x, x0)⇒[RI(x, aI)⇔RI0(x0, aI0)]. (2.22)
Chứng minh. Giả sử I và I0 là các diễn dịch trongLΣ,Φ vàZ là mộtLΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều giữa I và I0. Chúng ta sẽ chứng minh bổ đề này bằng phương pháp đệ quy theo cấu trúc của khái niệm C và vai trò R.
- Xét khẳng định (2.19). Giả sử Z(x, x0) thỏa mãn với x ∈ ∆I, x0 ∈ ∆I0 và C là một khái niệm bất kỳ của LΣ†,Φ†. Chúng ta cần chứng minh nếu CI(x) thỏa mãn thì
CI0(x0)thỏa mãn và ngược lại. Giả sử CI(x)thỏa mãn, chúng ta chứng minh CI0(x0) thỏa mãn. Việc chứng minh chiều ngược lại được thực hiện tương tự.
• Trường hợp C có dạng >,⊥ hoặc A là những trường hợp tầm thường được suy ra trực tiếp từ điều kiện (2.2).
• Trường hợp C có dạng A=d, A6=d, A ≤d, A < d, A≥d hoặc A > d là những trường hợp tầm thường được suy ra trực tiếp từ điều kiện (2.3).
• Trường hợp C ≡ ¬D, vì CI(x) thỏa mãn nên ta có DI(x) không thỏa mãn. Vì
Z(x, x0) thỏa mãn và DI(x) không thỏa mãn nên ta suy ra DI0(x0)không thỏa mãn (thông qua giả thiết đệ quy của khẳng định (2.19)). Do đó, ¬DI0(x0) thỏa mãn. Nói cách khác CI0(x0) thỏa mãn.
• Trường hợp C ≡ DuD0, vì CI(x) thỏa mãn nên DI(x) và D0I(x) thỏa mãn. Vì Z(x, x0), DI(x) và D0I(x) thỏa mãn nên ta có DI0(x0) và D0I0(x0) thỏa mãn (thông qua giả thiết đệ quy của khẳng định (2.19)). Do đó, CI0(x0)thỏa mãn. • Trường hợp C ≡DtD0, vì CI(x) thỏa mãn nên DI(x) hoặcD0I(x) thỏa mãn.
thỏa mãn nên ta có DI0(x0) thỏa mãn (thông qua giả thiết đệ quy của khẳng định (2.19)). Do đó, CI0(x0) thỏa mãn.
• Trường hợp C ≡ ∃R.D, vìCI(x)thỏa mãn nên tồn tại y∈∆I sao choRI(x, y) và DI(y) thỏa mãn. Do Z(x, x0) và RI(x, y) thỏa mãn nên tồn tại y0 ∈ ∆I0 sao cho Z(y, y0) và RI0(x0, y0) thỏa mãn (thông qua giả thiết đệ quy của khẳng định (2.20)). Vì Z(y, y0) và DI(y) thỏa mãn nên DI0(y0) thỏa mãn (thông qua giả thiết đệ quy của khẳng định (2.19)). Vì RI0(x0, y0) và DI0(y0) thỏa mãn nên ta có CI0(x0)thỏa mãn.
• Trường hợp C ≡ ∀R.D, khái niệm C được biến đổi thành ¬∃R.¬D và được chứng minh bằng cách vận dụng C có dạng là một khái niệm phủ định.
• Trường hợp C ≡ ∃σ.{d}, vì CI(x) thỏa mãn nên ta có σI(x, d) thỏa mãn. Vì
Z(x, x0) thỏa mãn nên theo điều kiện (2.6) ta có σI0(x0, d) thỏa mãn. Do đó,
CI0(x0)thỏa mãn.
• Trường hợp O ∈ Φ† và C ≡ {a}, vì CI(x) thỏa mãn nên ta có x = aI. Do
Z(x, x0)thỏa mãn nên theo điều kiện (2.9) ta cóx0 =aI0. VậyCI0(x0)thỏa mãn. • Trường hợp F ∈Φ†và C≡(≤1R), trong đóRlà một vai trò đối tượng cơ bản. Vì Z(x, x0) thỏa mãn nên ta có [#{y ∈ ∆I | RI(x, y)} ≤ 1] ⇔ [#{y0 ∈ ∆I0 |
RI0(x0, y0)} ≤ 1]. Vì CI(x) thỏa mãn nên #{y ∈ ∆I | RI(x, y)} ≤ 1 và do đó #{y0 ∈∆I0 |RI0(x0, y0)} ≤1. Từ đó suy ra CI0(x0) thỏa mãn.
• Trường hợpN ∈Φ†vàC ≡(≥n R), trong đóRlà một vai trò đối tượng cơ bản. VìZ(x, x0)thỏa mãn nên ta có#{y ∈∆I |RI(x, y)}= #{y0 ∈∆I0 |RI0(x0, y0)}. Vì CI(x) thỏa mãn nên #{y ∈ ∆I | RI(x, y)} ≥ n và do đó #{y0 ∈ ∆I0 |
RI0(x0, y0)} ≥n. Từ đó suy raCI0(x0) thỏa mãn.
• Trường hợp N ∈ Φ† và C ≡ (≤ n R), trong đó R là một vai trò đối tượng cơ bản được chứng minh tương tự như trên.
• Trường hợp Q ∈Φ† và C ≡(≥n R.D), trong đó R là một vai trò đối tượng cơ bản. Vì Z(x, x0) thỏa mãn nên tồn tại một song ánh h:{y ∈∆I |RI(x, y)} → {y0 ∈ ∆I0 | RI(x0, y0)} sao cho h ⊆ Z. Vì CI(x) thỏa mãn nên tồn tại các đối tượng y1, y2, . . . , yn ∈ ∆I khác nhau từng đôi một sao cho RI(x, yi) và DI(yi) thỏa mãn với mọi 1≤ i≤ n. Đặt yi0 =h(yi). Vì h ⊆Z nên ta có Z(yi, yi0) thỏa mãn. Từ Z(yi, yi0) và DI(yi) thỏa mãn ta suy ra DI0(yi0) thỏa mãn (thông qua giả thiết đệ quy của khẳng định (2.19)). Do RI0(x0, y0i)và DI0(y0i)thỏa mãn với mọi 1≤i≤n nên CI0(x0) thỏa mãn.
• Trường hợp Q ∈ Φ† và C ≡ (≤n R.D), trong đó R là một vai trò đối tượng cơ bản. Khái niệm C được biến đổi thành ¬(≥(n+ 1)R.D) và được chứng minh bằng cách vận dụng C là một khái niệm có dạng phủ định.
• Trường hợpSelf ∈Φ† vàC ≡ ∃r.Self, vì CI(x)thỏa mãn nên ta córI(x, x)thỏa mãn. Vì rI(x, x) thỏa mãn nên theo điều kiện (2.18) ta có rI0(x0, x0) thỏa mãn. Do đó, CI0(x0) thỏa mãn.
- Xét khẳng định (2.20). Giả sử Z(x, x0) và RI(x, y) thỏa mãn với x, y ∈ ∆I và
x0 ∈∆I0, trong đóR là một vai trò đối tượng cơ bản củaLΣ†,Φ†. Chúng ta chứng minh tồn tại y0 ∈∆I0 sao cho Z(y, y0) vàRI0(x0, y0) thỏa mãn.
• Trường hợpRlà một vai trò nguyên tố (tên vai trò đối tượng), theo điều kiện (2.4) ta suy ra khẳng định là đúng.
• Trường hợp R ≡ S1 ◦S2, ta có (S1 ◦S2)I(x, x0) thỏa mãn. Do đó, tồn tại một
z ∈∆I sao cho S1I(x, z)và S2I(z, y) thỏa mãn. VìZ(x, x0) và S1I(x, z)thỏa mãn nên tồn tại z0 ∈ ∆I0 sao cho Z(z, z0) và S1I0(x0, z0) thỏa mãn (thông qua giả thiết đệ quy của khẳng định (2.20)). Vì Z(z, z0) và S2I(z, y) thỏa mãn nên tồn tại y0 ∈ ∆I0 sao cho Z(y, y0) và S2I0(z0, y0) thỏa mãn (thông qua giả thiết đệ quy của khẳng định (2.20)). Vì S1I0(x0, z0) và S2I0(z0, y0) thỏa mãn nên ta suy ra (S1◦S2)I0(x0, y0) thỏa mãn. Vậy ta có Z(y, y0)và RI0(x0, y0)thỏa mãn.
• Trường hợp R ≡ S1 tS2, ta có (S1 tS2)I(x, y) thỏa mãn. Điều này suy ra rằng S1I(x, y) hoặc S2I(x, y) thỏa mãn. Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử S1I(x, y) thỏa mãn. Vì Z(x, x0) và S1I(x, y) thỏa mãn nên tồn tại y0 ∈ ∆I0 sao cho Z(y, y0) và S1I0(x0, y0) thỏa mãn (thông qua giả thiết đệ quy của khẳng định (2.20)). Vậy ta cóZ(y, y0)và(S1tS2)I0(x0, y0)thỏa mãn. Hay nói cách khác
Z(y, y0)và RI0(x0, y0)thỏa mãn.
• Trường hợp R ≡ S∗, vì RI(x, y) thỏa mãn nên tồn tại x0, x1, . . . , xk ∈ ∆I với
k ≥ 0 sao cho x0 = x, xk = y và SI(xi−1, xi) thỏa mãn với 1 ≤ i ≤ k. Đặt
x00 =x0. Với 1≤ i≤ k ta có Z(xi−1, x0i−1) và SI(xi−1, xi) thỏa mãn nên tồn tại
x0i ∈∆I0 sao choZ(xi, x0i) vàSI0(x0i−1, x0i)thỏa mãn (thông qua giả thiết đệ quy của khẳng định (2.20)). Đặt y0 = x0k. Vì Z(xk, x0k) và (S∗)I0(x00, x0k) thỏa mãn nên Z(y, y0) và RI0(x0, y0) thỏa mãn.
• Trường hợpR≡(D?), vìRI(x, y)thỏa mãn nên ta cóDI(x)thỏa mãn vàx=y. Vì Z(x, x0) và DI(x) thỏa mãn nên DI0(x0) thỏa mãn (thông qua giả thiết đệ
quy của khẳng định (2.19)) và do đó RI0(x0, x0) thỏa mãn. Chọn y0 = x0 ta có
Z(y, y0)và RI0(x0, y0)thỏa mãn.
• Trường hợp R ≡ ε, vì RI(x, y) thỏa mãn nên ta có x = y. Chọn y0 = x0. Vì
Z(x, x0) thỏa mãn nên ta có Z(y, y0)và RI0(x0, y0)thỏa mãn.
• Trường hợp I ∈Φ† vàR≡r−, khẳng định được chứng minh bằng cách suy luận từ điều kiện (2.7).
• Trường hợp U ∈ Φ† và R ≡ U, vì Z(x, x0) và RI(x, y) thỏa mãn. Theo điều kiện (2.16), tồn tại y0 ∈ ∆I0 sao cho Z(y, y0) thỏa mãn. Như vậy Z(y, y0) và
RI0(x0, y0)thỏa mãn.
- Khẳng định (2.21) được chứng minh tương tự như (2.20).
- Xét khẳng định (2.22) trong trường hợp O ∈ Φ†. Với a ∈ Σ†I, x ∈ ∆I và
x0 ∈∆I0, giả sử Z(x, x0) thỏa mãn chúng ta cần chứng minh nếu RI(x, aI) thỏa mãn thìRI0(x0, aI0)thỏa mãn và ngược lại. Giả sửRI(x, aI)thỏa mãn chúng ta chứng minh
RI0(x0, aI0) thỏa mãn. Việc chứng minh chiều ngược lại được thực hiện tương tự.
• Trường hợpRlà một vai trò nguyên tố (tên vai trò đối tượng), theo điều kiện (2.4) và (2.9) ta suy ra khẳng định là đúng.
• Trường hợp R ≡S1◦S2, vìRI(x, aI)thỏa mãn nên ta có (S1◦S2)I(x, aI) thỏa mãn. Do đó, tồn tại một z ∈ ∆I sao cho S1I(x, z) và S2I(z, aI) thỏa mãn. Vì
Z(x, x0) và S1I(x, z)thỏa mãn nên tồn tại z0 ∈∆I0 sao cho Z(z, z0)và S1I0(x0, z0) thỏa mãn (thông qua giả thiết đệ quy của khẳng định (2.20)). Vì Z(z, z0) và
S2I(z, aI) thỏa mãn nên ta suy ra S2I0(z0, aI0) thỏa mãn (thông qua giả thiết đệ quy của khẳng định (2.22)). Vì S1I0(x0, z0) và S2I0(z0, aI0) thỏa mãn nên ta có (S1◦S2)I0(x0, aI0) thỏa mãn. Như vậy RI0(x0, aI0) thỏa mãn.
• Trường hợpR ≡S1tS2, vì RI(x, aI)thỏa mãn nên ta có (S1tS2)I(x, aI)thỏa mãn. Điều này suy ra rằng S1I(x, aI) hoặc S2I(x, aI) thỏa mãn. Không làm mất tính tổng quát, ta giả sửS1I(x, aI) thỏa mãn. Vì Z(x, x0)và S1I(x, aI)thỏa mãn nên S1I0(x0, aI0) thỏa mãn (thông qua giả thiết đệ quy của khẳng định (2.22)). Vì S1I0(x0, aI0) thỏa mãn nên (S1 tS2)I0(x0, aI0) thỏa mãn. Do đó, RI0(x0, aI0) thỏa mãn.
• Trường hợp R ≡ S∗, vì RI(x, aI) thỏa mãn nên tồn tại x0, x1, . . . , xk ∈ ∆I với
+ Nếu k = 0, ta có x=aI. Do Z(x, x0)thỏa mãn nên theo điều kiện (2.9) ta có
x0 =aI0. Vì vậy, RI0(x0, aI0) thỏa mãn.
+ Nếu k >0, đặt x00 =x0. Với 1≤i < k ta cóZ(xi−1, x0i−1)và SI(xi−1, xi) thỏa mãn nên tồn tại x0i ∈∆I sao cho Z(xi, x0i)và SI0(x0i−1, x0i)thỏa mãn (thông qua giả thiết đệ quy của khẳng định (2.20)). Do đó, Z(xk−1, x0k−1)và(S∗)I0(x00, x0k−1) thỏa mãn. Vì Z(xk−1, xk−0 1) và SI(xk−1, aI) thỏa mãn nên ta có SI0(x0k−1, aI0) thỏa mãn (thông qua giả thiết đệ quy của khẳng định (2.22)). Vì(S∗)I(x00, x0k−1) và SI0(x0k−1, aI0) thỏa mãn nên (S∗)I(x00, aI0) thỏa mãn. Nghĩa là RI0(x0, aI0) thỏa mãn.
• Trường hợp R≡(D?), vì RI(x, aI) thỏa mãn nên ta cóx=aI và DI(aI) thỏa mãn. Vì Z(x, x0) thỏa mãn nên theo điều kiện (2.9) thì x0 = aI0. Từ Z(aI, aI0) và DI(aI) thỏa mãn ta có DI0(aI0) (thông qua giả thiết đệ quy của khẳng định (2.19)). Từ x0 =aI0 và DI0(aI0)thỏa mãn ta suy ra RI0(x0, aI0)thỏa mãn. • Trường hợp R≡ε, vì RI(x, aI)thỏa mãn nên ta cóx=aI. Vì Z(x, x0)nên theo
điều kiện (2.9) ta có x0 =aI0. Do đó, RI0(x0, aI0) thỏa mãn.
• Trường hợp I ∈Φ† vàR≡r−, khẳng định được chứng minh bằng cách suy luận từ điều kiện (2.7) và khẳng định (2.21).
• Trường hợp U ∈ Φ† và R ≡ U, theo định nghĩa diễn dịch của vai trò U, ta có
RI(x, aI)và RI0(x0, aI0) luôn thỏa mãn.
2.3.2. Tính bất biến của khái niệm
Tính bất biến của khái niệm đối với mô phỏng hai chiều là một trong những tính chất quan trọng trong việc mô hình hóa tính không phân biệt được của các đối tượng. Divroodi và Nguyen [14], Nguyen và Sza las [44] đã định nghĩa về khái niệm bất biến trong logic mô tả như sau.
Định nghĩa 2.5 (Khái niệm bất biến). Một khái niệmC được gọi làbất biến đối với LΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều nếu Z(x, x0) thỏa mãn thì x ∈ CI khi và chỉ khi x0 ∈ CI0
với mọi diễn dịch I, I0 trong ngôn ngữ LΣ,Φ và với mọiLΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều Z
giữa I và I0, trong đó Σ†⊆Σ, Φ† ⊆Φ.
Trên cơ sở Định lý 3.4 của Divroodi và Nguyen [14], chúng tôi đã phát biểu và chứng minh một định lý về tính bất biến của khái niệm trên một lớp lớn hơn các logic mô tả như đã đề cập trong Mục 1.2.2 của Chương 1.
Định lý 2.1. Tất cả các khái niệm của LΣ†,Φ† đều bất biến đối với LΣ†,Φ†-mô phỏng
hai chiều.
Chứng minh. Giả sửI vàI0 là các diễn dịch trongLΣ,Φ,Z là mộtLΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều giữaIvàI0,x∈∆Ivàx0 ∈∆I0 sao choZ(x, x0)thỏa mãn vàClà một khái niệm bất kỳ của LΣ†,Φ†. Áp dụng khẳng định (2.19) của Bổ đề 2.2 ta có CI(x)⇔ CI0(x0). Nghĩa là, Z(x, x0) thỏa mãn thìx∈CI khi và chỉ khi x0 ∈CI0. Theo Định nghĩa 2.5,
C là một khái niệm bất biến.
Định lý này cho phép mô hình hóa tính không phân biệt được của các đối tượng thông qua ngôn ngữ con LΣ†,Φ†. Tính không phân biệt của các đối tượng là một trong những đặc trưng cơ bản trong quá trình phân lớp dữ liệu. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể sử dụng ngôn ngữ con LΣ†,Φ† cho các bài toán học máy trong logic mô tả.