Các định nghĩa, định lý, hệ quả trình bày trong mục này được xây dựng và chứng minh dựa trên những kết quả của công trình [14]. Điểm khác ở đây là các kết quả được chúng tôi phát triển trên lớp các logic mô tả lớn hơn đã đề cập trong Mục 1.2.2 của Chương 1.
Định nghĩa 2.6. Một TBox T (tương ứng, ABox A) trong LΣ†,Φ† được gọi là bất biến đối với LΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều nếu với mọi diễn dịch I và I0 trong LΣ,Φ tồn tại một LΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều giữa I và I0 sao cho I là mô hình của T (tương ứng, A) khi và chỉ khi I0 là mô hình của T (tương ứng,A).
Hệ quả 2.1. Nếu U ∈ Φ† thì tất cả các TBox trong LΣ†,Φ† đều bất biến đối với
LΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều.
Chứng minh. Giả sử U ∈ Φ†, T là một TBox trong LΣ†,Φ†, I và I0 là các diễn dịch trong ngôn ngữ LΣ,Φ,Z là một LΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều giữaI vàI0. Chúng ta cần chứng minh nếu I là mô hình của T thì I0 cũng là mô hình của T và ngược lại. Giả sử I là mô hình của T, ta cần chỉ ra rằng I0 cũng là mô hình của T. Chiều ngược lại được chứng minh tương tự.
Xét C v D là một tiên đề thuật ngữ bất kỳ của TBox T và x0 ∈ ∆I0. Theo điều kiện (2.17), tồn tại x∈∆I sao cho Z(x, x0) thỏa mãn. Vì I là mô hình của T nên ta có x∈ (¬CtD)I. Theo khẳng định (2.19) của Bổ đề 2.2 ta suy ra x0 ∈(¬CtD)I0.
Một diễn dịch I trongLΣ,Φ được gọi là kết nối đối tượng được đối với LΣ†,Φ† nếu với mọi đối tượng x ∈ ∆I tồn tại cá thể a ∈ ΣI†, các đối tượng x0, x1, . . . , xk ∈ ∆I và các vai trò đối tượng cơ bản R1, R2, . . . , Rk của LΣ†,Φ† với k ≥ 0 sao chox0 =aI,
xk =xvà RIi(xi−1, xi) thỏa mãn với mọi 1≤i≤k [14].
Định lý 2.2. Cho T là một TBox trong LΣ†,Φ†, I và I0 là các diễn dịch trong LΣ,Φ thỏa điều kiện kết nối đối tượng được đối với LΣ†,Φ† sao cho tồn tại một LΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều giữa I và I0
. Lúc đó I là mô hình của T khi và chỉ khiI0
là mô hình
của T.
Chứng minh. Gọi T là một TBox trong LΣ†,Φ†. Giả sửI vàI0 là các diễn dịch kết nối đối tượng được trongLΣ†,Φ†,Z là mộtLΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều giữa I vàI0. Chúng ta cần chứng minh nếu I là mô hình của T thì I0 cũng là mô hình của T và ngược lại. Giả sử I là mô hình của T, ta cần chỉ ra I0 là mô hình của T. Chiều ngược lại được chứng minh tương tự.
XétC vDlà một tiên đề bất kỳ của TBoxT. Để chứng minhI0 cũng là mô hình của T, chúng ta cần chỉ ra rằng CI0 ⊆DI0. Nghĩa là, với mọi x0 ∈ CI0 thì x0 ∈ DI0. Vì I0 là một diễn dịch kết nối đối tượng được trong LΣ†,Φ† nên tồn tại cá thểa∈Σ†I, các đối tượng x00, x01, . . . , x0k ∈ ∆I0 và các vai trò đối tượng cơ bản R1, R2, . . . , Rk của LΣ†,Φ† vớik ≥0sao chox00 =aI0,x0k =x0 vàRIi0(x0i−1, x0i)thỏa mãn với mọi1≤i≤k. Vì Z là một LΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều giữa I và I0 nên ta có Z(aI, aI0) thỏa mãn (theo điều kiện (2.1)). Đặt x0 = aI. Với mỗi 1 ≤ i ≤ k, ta có Z(xi−1, x0i−1) và
RIi0(x0i−1, x0i) thỏa mãn nên tồn tạixi ∈∆I sao choZ(xi, x0i) vàRiI(xi−1, xi)thỏa mãn (theo khẳng định (2.21)). Đặtx=xk, ta cóZ(x, x0)thỏa mãn. Vìx0 ∈CI0 nênx∈CI
(theo khẳng định (2.19)). DoI là mô hình củaT nênx∈DI. TừZ(x, x0)thỏa mãn và
x∈DI ta suy rax0 ∈DI0 (theo khẳng định (2.19)). Do vậy,I0 là mô hình của T.
Định lý 2.3. Cho A là một ABox trong LΣ†,Φ†. Nếu O ∈ Φ† hoặc A chỉ chứa các khẳng định dạng C(a) thì A bất biến đối với LΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều.
Chứng minh. Giả thiết O ∈ Φ† hoặc A chỉ chứa các khẳng định dạng C(a). Gọi I và I0 là các diễn dịch trong LΣ,Φ, Z là một LΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều giữa I và I0. Chúng ta cần chứng minh nếu I là mô hình của A thì I0 cũng là mô hình của A và ngược lại. Giả sử I là mô hình của A, chúng ta cần chỉ ra I0 cũng là mô hình của A. Chiều ngược lại được chứng minh tương tự.
- Trường hợp ϕ = (a = b), vì I |= ϕ nên ta có aI = bI. Theo điều kiện (2.1) thì
Z(aI, aI0) và Z(bI, bI0) thỏa mãn. Vì aI = bI nên theo (2.9) ta có aI0 = bI0. Do vậy, I0 |=ϕ.
- Trường hợp ϕ= (a6=b) được chứng minh tương tự như trường hợp trên. - Trường hợpϕ=C(a), vìI |=ϕnên ta cóCI(aI)thỏa mãn. Theo điều kiện (2.1) thì Z(aI, aI0)thỏa mãn. Vì Z(aI, aI0)vàCI(aI)thỏa mãn nên theo khẳng định (2.19) thì CI0(aI0)thỏa mãn. Do vậy, I0 |=ϕ.
- Trường hợp ϕ = R(a, b), vì I |= ϕ nên ta có RI(aI, bI) thỏa mãn. Theo điều kiện (2.1) thì Z(aI, aI0) thỏa mãn. Vì Z(aI, aI0) và RI(aI, bI) thỏa mãn nên theo khẳng định (2.20), tồn tại y0 ∈ ∆I0 sao cho Z(bI, y0) và RI0(aI0, y0) thỏa mãn. Theo giả thiết O ∈Φ†, ta chọn C ≡ {b}. VìZ(bI, y0)và CI(bI) thỏa mãn nên ta có CI0(y0) thỏa mãn (theo khẳng định (2.19)). Điều này có nghĩa là y0 = bI0 và RI0(aI0, bI0) thỏa mãn. Do vậy, I0 |=ϕ.
- Trường hợp ϕ=¬R(a, b) được chứng minh tương tự như trường hợp trên.
Hệ quả sau đây xem xét cơ sở tri thức trong trường hợp RBox bằng rỗng. Lúc đó cơ sở tri thức chỉ còn TBox và ABox và do đó tính bất biến của cơ sở tri thức có thể được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.2 và Định lý 2.3.
Hệ quả 2.2. Cho cơ sở tri thức KB = hR,T,Aitrong LΣ†,Φ† sao cho R = ∅ và giả thiết O ∈ Φ† hoặc A chỉ chứa các khẳng định có dạng C(a), I và I0 là các diễn dịch kết nối đối tượng được trong LΣ†,Φ† sao cho tồn tại một LΣ†,Φ†-mô phỏng hai chiều giữa I và I0. Lúc đó I là mô hình của KB khi và chỉ khi I0 là mô hình của KB.