IJ.A B AB AB

2 2 IJ.AB 0 IJ AB           (đpcm) Chứng minh tƣơng tự cho IJ CD (đpcm)

Bƣớc 4. Nghiờn cứu sõu giải phỏp

GV: Nếu bỏ đi giả thiết  CAD = 900

bài toỏn cú thay đổi khụng? HS: Khụng thay đổi vỡ lời giải khụng sử dụng tới giả thiết này.

GV: Yờu cầu HS vẫn làm việc theo 4 nhúm nhƣ cũ trong 10 phỳt với nhiệm vụ: Thụng qua cỏc bài tập đó giải, hóy tự đỳc kết cỏc cỏch chứng minh 2 đƣờng thẳng vuụng gúc trong khụng gian.

HS: Làm việc theo nhúm, cựng nhau trao đổi thảo luận và rỳt ra cỏc cỏch chứng minh đƣờng thẳng vuụng gúc trong khụng gian.

GV: Sau 10 phỳt GV gọi đại diện 1 nhúm đứng lờn trao đổi về cỏc cỏch chứng minh 2 đƣờng thẳng vuụng gúc trong khụng gian, cỏc nhúm khỏc nhận xột và bổ sung thờm ý kiến của nhúm mỡnh. Cuối cựng GV tổng kết lại

phƣơng phỏp chứng minh 2 đƣờng thẳng vuụng gúc trong khụng gian nhƣ sau:

Để chứng minh 2 đường thẳng vuụng gúc trong khụng gian cú thể chứng minh bằng cỏc cỏch:

- Nếu chỳng đồng phẳng thỡ dựng cỏc phương phỏp đó biết trong mặt phẳng.

- Chứng minh gúc giữa chỳng bằng 900.

- Chứng minh tớch vụ hướng của 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đú bằng 0.

Vậy với hỡnh thức dạy học " Thầy trũ vấn đỏp phỏt hiện và giải quyết vấn đề" và “người học hợp tỏc giải quyết vấn đề” GV đó dẫn dắt HS và tổ chức cho cỏc em tự trao đổi để rỳt ra đƣợc phƣơng phỏp chứng minh hai đƣờng thẳng vuụng gúc, và giỳp cỏc em ghi nhớ phƣơng phỏp này qua vớ dụ vừa giải.

Cõu hỏi trắc nghiệm củng cố kiến thức

Chọn cõu trả lời ĐÚNG trong cỏc cõu sau:

Cõu 1. Cho hỡnh vẽ

(a) a và b chộo nhau (b) a và b cắt nhau

(c) a và b vuụng gúc với nhau (d) Cả ba cõu đều sai .

Cõu 2. Cho ABCDA'B'C'D' là hỡnh lập phƣơng

(a) BD  AA' (b) BD A'C' (c) BD  D'C' (d) BD A'B'

a

b

Cõu 3. Cho hỡnh chúp đều ABCD, I là trung điểm AB, J DC

(a) IJ . AB (c) IJ//AD (b)IJ//DC (d) Cả ba cõu trờn đều sai.

Cõu 4. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều SABCD .

(a) Cỏc mặt bờn của hỡnh chúp là những tam giỏc vuụng (b) Cỏc mặt bờn của hỡnh chúp là những tam giỏc cõn

(c) Cỏc mặt bờn của hỡnh chúp là những tam giỏc đều (d) Cả ba cõu trờn đều sai .

Cõu 5. Hóy điền vào những chỗ trống dƣới đõy cho hợp lý

a) a  (P)

...  a  b b) a//a'

b//b'  a' ... b' a  b

c) a  b nếu Tớch vụ hƣớng của hai vộc tơ chỉ phƣơng của hai đƣờng thẳng a, b ...

III. Bài tập về nhà

Bài 5,6 (Trang 98-sỏch cơ bản)

Bài 5: Cho hỡnh chúp tam giỏc SABC cú SA=SB=SC và cú gúc ASB = gúc BSC = gúc CSA. Chứng minh rằng : SA BC, SB AC, SC AB.

Bài 6: Trong khụng gian cho 2 hỡnh vuụng ABCD và ABC’D’ cú chung cạnh AB và nằm trong 2 mặt phẳng khỏc nhau, lần lƣợt cú tõm O và O’. Chứng minh rằng: AB OO’ và tứ giỏc CDD’C’ là hỡnh chữ nhật.

Giỏo ỏn số 2. BÀI TẬP VỀ ĐƢỜNG THẲNG VUễNG GểC VỚI

MẶT PHẲNG

A. Mục tiờu

a) Kiến thức

HS nắm đƣợc:

- Khỏi niệm đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt phẳng.

- Cỏc dấu hiệu nhận biết đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt phẳng. - Định lớ ba đƣờng vuụng gúc.

b) Kỹ năng

- Biết cỏch chứng minh đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt phẳng bằng định nghĩa và bằng dấu hiệu.

- Vận dụng tốt định lớ ba đƣờng vuụng gúc. c) Thỏi độ

- Liờn hệ đƣợc với nhiều vấn đề cú trong thực tế về đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt phẳng.

- Hứng thỳ trong học tập , tớch cực phỏt huy tớnh độc lập trong học tập.

B. Tiến trỡnh bài dạy

I- Kiểm tra bài cũ

Cõu hỏi

- Em hóy nhắc lại khỏi niệm về đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt phẳng? Dấu hiệu để một đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt phẳng?

- Em hóy nhắc lại định lớ ba đƣờng vuụng gúc ? GV : gọi học sinh trả lời

II- Bài mới

Đặt vấn đề. Ở tiết trƣớc, cỏc em đó đƣợc học khỏi niệm về đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt phẳng, dấu hiệu nhận biết một đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt phẳng,.... Vậy muốn chứng minh đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt

phẳng ta phải làm nhƣ thế nào? Cú những cỏch nào để chứng minh đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt phẳng ? Ta hóy tỡm hiểu điều đú qua cỏc bài tập sau:

Bài 18 (trang 103)-sỏch Nõng cao

Đề bài: Cho hỡnh chúp SABC cú SA  mp(ABC) và ÄABC khụng vuụng. Gọi H và K lần lƣợt là trực tõm của ÄABC và ÄSBC. Chứng minh rằng

a) AH, SK, BC đồng quy b) SC  mp(BHK)

c) HK  mp(SBC)

Phƣơng phỏp: Giỏo viờn sử dụng hỡnh thức “thầy trũ vấn đỏp giải quyết

vấn đề” để hƣớng dẫn học sinh giải bài tập trờn.

Bƣớc 1. Phỏt hiện hoặc thõm nhập vấn đề

GV: Vẽ hỡnh và viết giả thiết kết luận của bài toỏn? HS:

SABC- hỡnh chúp; SA mp(ABC) GT H,K là trực tõm ÄABC và ÄSBC a) AH, SK, BC đồng quy KL b) SC  mp(BHK) c) HK  mp(SBC) Bƣớc 2. Tỡm giải phỏp a) AH, SK, BC đồng quy

GV: Trong 3 đƣờng thẳng AH, SK, BC hóy phỏt hiện một cặp đƣờng thẳng cắt nhau. Từ đú nhận thấy để chứng minh AH, SK, BC đồng quy phải chứng minh điều gỡ?

HS: AH cắt BC (hoặc SK cỏt BC), gọi giao điểm là N. Để chứng minh AH, SK, BC đồng qui ta cần chứng minh SK đi qua N, cú nghĩa là chứng minh SN là đƣờng cao của ÄSBC: SN  BC.

C S S A B M K N D Hỡnh 2.3

GV: Hóy chứng minh điều đú. Để chứng minh hai đƣờng thẳng vuụng gúc với nhau trong khụng gian ta thƣờng tiến hành chứng minh nhƣ thế nào? HS: Chứng minh đƣờng thẳng này vuụng gúc với mặt phẳng chứa đƣờng thẳng kia.

GV: Hóy xột mối quan hệ giữa BC và (SAN)? Từ đú rỳt ra kết luận. HS: BCSA; BC AN => BC (SAN) => BC SN =>(đpcm)

Bƣớc 3.Trỡnh bày giải phỏp

GV: Chỳng ta đó thực hiện phộp phõn tớch để chứng minh AH, SK, BC đồng qui:

Một em trỡnh bày cỏch chứng minh AH, SK, BC đồng qui. HS: Trỡnh bày cỏch chứng minh.

Trong quỏ trỡnh học sinh trỡnh bày giỏo viờn sửa chữa, ghi kết quả lờn bảng và yờu cầu cả lớp ghi vào vở.

Bƣớc 4. Nghiờn cứu sõu giải phỏp

GV: Qua bài tập này cỏc em hóy rỳt ra cỏch chứng minh 3 đƣờng thẳng đồng qui? HS : Tự rỳt ra cỏch chứng minh

GV: Khắc sõu cỏch chứng minh 3 đƣờng thẳng đồng qui: AH, SK, BC đồng qui SN  BC BC (SAN) BCAN; BC SA {N}=BC AH Sơ đồ 2.2

“ Muốn chứng minh 3 đường thẳng a, b,c đồng quy, ta thường tỡm giao

của 2 trong 3 đường thẳng đú ( giả sử a  b = O), và chứng minh đường

thẳng thứ 3 đi qua giao điểm O”.

GV: Đề xuất bài toỏn mới để học sinh cú thể tự nghiờn cứu thờm ở nhà.

Bài toỏn mới : Cho 3 đƣờng thẳng a,b,c khụng đồng phẳng và đụi một cắt nhau, hóy chứng minh 3 đƣờng thẳng đú đồng qui.

b) SC  (BHK)

GV: Điều kiện để đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt phẳng là gỡ nhỉ ?

HS: Đƣờng thẳng đú vuụng gúc với 2 đƣờng thẳng cắt nhau trong mặt phẳng. GV: Từ đú rỳt ra cỏch chứng minh đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt phẳng chƣa? HS: Chứng minh đƣờng thẳng đú vuụng gúc với 2 đƣờng thẳng cắt nhau trong mặt phẳng.

GV: SC đó vuụng gúc với đƣờng thẳng nào của mặt phẳng (BHK)? Chỳ ý kết hợp với giả thiết.

HS: Vỡ K là trực tõm tam giỏc SBC. Lại cú BH  AC

BH  SA => BH  (SAC) => BH  SC . => SC  (BHK).

GV: Chỳng ta đó thực hiện phộp phõn tớch để chứng minh SC  (BHK) :

GV: Gọi 1 học sinh lờn bảng trỡnh bày cỏch chứng minh, và yờu cầu cỏc em khỏc tự trỡnh bày lời giải vào vở , sau khi trỡnh bày xong gọi 1 vài em nhận xột lời giải của bạn trờn bảng và sửa chữa.

c) HK  (SBC).

GV: HK đó vuụng gúc với đƣờng nào trong (SBC)? SC  (BHK) SC  BK

SC  BK BH  (SAC) BH  AC, BH  SA

HS: HK  SC vỡ SC  (BHK)

HK  BC (theo a) => HK  (SBC) => (đpcm) mà BC, SC  (SBC)

GV: Qua bài tập này em hóy rỳt ra cỏch chứng minh đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt phẳng?

HS : Muốn chứng minh đƣờng thẳng a vuụng gúc với mặt phẳng () ta thƣờng chứng minh đƣờng thẳng a vuụng gúc với 2 đƣờng thẳng cắt nhau trong ().

GV : Khắc sõu lại cỏch chứng minh đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt phẳng:

Muốn chứng minh đường thẳng a vuụng gúc với mặt phẳng () ta

thường chứng minh:

Cỏch 1: đường thẳng a vuụng gúc với 2 đường thẳng cắt nhau trong ().

Cỏch 2: đường thẳng a//b mà b ().

Vậy với hỡnh thức dạy học “thầy trũ vấn đỏp giải quyết vấn đề” GV đó dẫn dắt HS tự rỳt ra đƣợc phƣơng phỏp chứng minh đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt phẳng, cỏch chứng minh 3 đƣờng thẳng đồng quy và giỳp cỏc em ghi nhớ phƣơng phỏp này qua vớ dụ vừa giải.

GV cú thể giỳp cỏc em khắc sõu phƣơng phỏp này qua tỡnh huống gợi vấn đề nhƣ sau:

GV: Nếu đƣờng thẳng a vuụng gúc với 2 đƣờng thẳng b, c nằm trong () nhƣng b,c khụng cắt nhau ( song song) thỡ a cú vuụng gúc với () hay khụng? HS : Khụng, vỡ cú thể a  () nhƣ hỡnh vẽ bờn

GV: Vậy cỏc em chỳ ý chi tiết : a vuụng gúc với 2 đƣờng thẳng cắt nhau nằm trong () thỡ a mới vuụng gúc với ().

a b

c

Bài 20 (trang 103)-Cõu a - sỏch Nõng cao

Đề bài : Cho tứ diện ABCD cú AB CD, AC  BD. Chứng minh rằng AD BC. Vậy, cỏc cạnh đối diện của tứ diện đú vuụng gúc với nhau. Tứ diện nhƣ thế gọi là tứ diện trực tõm.

Phƣơng phỏp : Sử dụng hỡnh thức "người học hợp tỏc phỏt hiện và giải quyết vấn đề".

Bƣớc 1. Phỏt hiện hoặc thõm nhập vấn đề

GV: Hóy vẽ hỡnh, viết giả thiết, kết luận bài toỏn? HS:

GT Tứ diện ABCD AB CD, AC  BD KL AD BC

Bƣớc 2. Tỡm giải phỏp

GV: Chia học sinh thành 4 nhúm, và giao cho cỏc nhúm làm việc trong 15 phỳt là: Tỡm cỏc cỏch giải bài toỏn trờn.

HS : Hoạt động theo nhúm.

Sau 15 phỳt, GV gọi đại diện 1 nhúm lờn trỡnh bày lời giải, cỏc nhúm khỏc theo dừi và nhận xột lời giải của bạn và bổ sung thờm cỏc cỏch chứng minh.

Bƣớc 3: Trỡnh bày giải phỏp

Cỏch 1. Gọi H là trực tõm của ÄBCD , E,F,K là giao của BH và CD,

DH và BC, CH và BD. Ta cú: AB CD (gt) BH CD (cỏch dựng) => CD (ABH) => CD  AH (1) AB, BH  (ABH) mà AH  (ABH) A F E H D B C K Hỡnh 2.5

Lại cú : AC  BD (gt) CK  BD (cỏch dựng) => BD  (ACK) AC, CK  (ACK) =>BD  AH (2) mà AH  (ACK) Vỡ CD, BD  (BCD) (3) Từ (1), (2), (3) ta cú : AH  (BCD) mà BC  (BCD) => AH  BC mà BCDF(cd) => BC(AFD) AH, DF  (AFD) (3) Lại cú AD  (AFD) (4) Từ (3) (4) suy ra BC AD (đpcm). Cỏch 2. Sử dụng định lớ ba đƣờng vuụng gúc

Làm giống nhƣ cỏch 1, nhƣng khi chứng minh đƣợc : AH  (BCD) ta lập luận nhƣ sau :

Vỡ AH  (BCD)

=> DH là hỡnh chiếu vuụng gúc của AD lờn mặt phẳng (BCD)

mà BC  DH (vỡ H là trực tõm ÄBCD) => BC AD

Cỏch 3. Sử dụng tớch vụ hƣớng của hai vộctơ

Ta chứng minh : AB.CD AC.DBAD.BC0 Thật vậy biến đổi vế trỏi ta cú : Thật vậy biến đổi vế trỏi ta cú :

)CD CD - AD .( BC ) CD .( AC BC . AD DB . AC CD . CB CD . AC BC . AD DB . AC CD ). CB AC ( BC . AD DB . AC CD . AB               DB VT  AC .CBBC .ACAC .CB-AC .BC0.

Theo giả thiết bài toỏn ta cú : AB  DC , ACDB => AB .CD 0 AC .DB 0

=> AD.BC0 => BC AD (đpcm)

Bƣớc 4. Nghiờn cứu sõu giải phỏp

GV: Qua bài tập trờn, em hóy cho biết muốn chứng minh 2 đƣờng thẳng vuụng gúc ta cú những cỏch chứng minh nào?

HS: Cỏch 1: Chứng minh đƣờng thẳng này vuụng gúc với 1 mặt phẳng chứa đƣờng thẳng kia.

Cỏch 2: Sử dụng định lý 3 đƣờng vuụng gúc

Cỏch 3: Chứng minh tớch vụ hƣớng của 2 vộctơ chỉ phƣơng của hai đƣờng thẳng đú bằng khụng.

GV: Khắc sõu cỏc cỏch chứng minh 2 đƣờng thẳng vuụng gúc trong khụng gian:

- Nếu chỳng đồng phẳng thỡ dựng cỏc phương phỏp đó biết trong mặt

phẳng.

- Chứng minh gúc giữa chỳng bằng 900

.

- Chứng minh tớch vụ hướng của 2 vectơ chỉ phương bằng 0

- Chứng minh đường thẳng này vuụng gúc với 1 mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

- Sử dụng định lý 3 đường vuụng gúc.

GV: Đƣa ra những bài toỏn cú liờn quan.

Bài tập 2: Điều kiện cần và đủ để tứ diện ABCD là tứ diện trực tõm là

AB.ACAC.ADAD.AB

     

.

Bƣớc 1. Phỏt hiện hoặc thõm nhập vấn đề

GV: Bài tập yêu cầu chứng minh điều gì?

HS: Bài toỏn yờu cầu chứng minh tứ diện ABCD là tứ diện trực tâm  AB.AC AC.AD AD.AB 

GV: Cỳ thể chia bài toỏn thành những bài toỏn nhỏ nào? Chỉ ra những yờu cầu cụ thể của bài toỏn.

HS: - CM: ABCD là tứ diện trực tâm AB.AC AC.AD AD.AB  - CM :AB.AC AC.AD AD.AB   ABCD là tứ diện trực tâm. GV: Cú cần thiết vẽ đối với bài toỏn khụng?

HS: Đối với bài toỏn giải bằng phƣơng phỏp vectơ thỡ chỳng ta cú thể khụng cần vẽ hỡnh.

GV: Hóy tỡm cỏch giải cho bài toỏn?

HS: (Suy nghĩ, nhớ lại kiến thức liờn quan đú học)

Bƣớc 2. Tỡm giải phỏp

GV: Bài toỏn này em đú gặp chƣa? HS: ...

GV: Em cú biết bài toỏn nào liờn quan khụng? HS: Bài tập 1 cú liờn quan.

Nếu HS vẫn chƣa nghĩ ra hƣớng giải thỡ GV cú thể gợi ý tiếp:

GV: Bài toỏn này cú thể chuyển thành bài toỏn nào tƣơng đƣơng khụng? HS: Chứng minh rằng tứ diện ABCD cú

ABCD,ACBD,ADBC AB.AC AC.AD AD.AB  Nếu HS vẫn chƣa tỡm ra hƣớng giải thỡ GV cú thể gợi ý tiếp: GV: Bài toỏn trờn cú tƣơng đƣơng với bài toỏn sau khụng:

ABCD,ACBD,ADBC AB.AC AC.AD AD.AB 

GV: Cú thể chuyển về bài toỏn tƣơng đƣơng nào nữa?

Nếu HS vẫn chƣa tỡm ra hƣớng giải thỡ GV cú thể gợi ý tiếp:

GV: Hóy chuyển điều kiện ABCD,ACBD,ADBC về ngụn ngữ vectơ?

HS: Chứng minh rằng tứ diện ABCD cú 0 BC . AD 0 BD . AC 0 .    CD AB Bƣớc 3. Trỡnh bày giải phỏp

GV: Ta vừa thực hiện phộp phõn tớch nhƣ thế nào để chứng minh ? HS:

- Học sinh tự trỡnh bày lời giải. - Lời giải tham khảo:

Điều kiện cần

Giả sử ABCD là tứ diện trực tõm. Gọi H là trực tõm của tứ diện. Giả sử cú AB.AC AC.AD  

AH HB .HC AC. AH HD

      

AH.AC HB.AC AC.AH AC.HD

       

 

AC. HB HD 0 AC.DB 0

     

ABCD,ACBD,ADBC

 AB.AC AC.AD AD.AB 

0 BC . AD 0 BD . AC 0 .    CD AB

 AB.AC AC.AD AD.AB 

ABCD là tứ diện trực tõm  AB.AC AC.AD AD.AB 

Điều kiện đủ.

Theo chứng nhận của điều kiện cần Nếu AB.AC AC.AD   ACBD

AB.ADAB.AC     AB CD   AC.ADAD.ABADBC    

Tứ diện ABCD cú 3 cặp cạnh đối vuụng gúc, suy ra ABCD là tứ diện trực tõm.