Bƣớc 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

- Học sinh kiểm tra lại lời giải và bỡnh luận lời giải đ-ợc đƣa ra. - Cú thể đề xuất một cỏch giải ngắn gọn hơn.

- Từ bài toỏn trờn em cú thể xõy dựng bài toỏn mới khụng ?

Qua chứng minh trờn chỳng ta cú nhận xột là nếu tứ diện mà cú hai cặp cạnh đối vuụng gúc với nhau thỡ cặp cạnh cũn lại sẽ vuụng gúc. Vỡ thế chỳng ta cú thể thu hẹp giả thiết mà vẫn cú kết luận như vậy.

Bài toỏn mới.. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một tứ diện trực tõm

là cú hai cặp cạnh đối vuụng gúc với nhau.

Bài tập 2. Điều kiện cần và đủ để tứ diện ABCD là tứ diện trực tõm là tồn tại

duy nhất một điểm H thỏa món

Lời giải

Điều kiện cần

Giả sử tứ diện ABCD là tứ diện trực tõm. Gọi H là trực tõm. Giả sử HA.HB HA.HC  

 

HA. HB HC 0 HA.CB 0

     

Cụng thức trờn đỳng, vỡ HA là đƣờng cao trong tứ diện nờn HA(BCD)

HA BC

  .

Điều kiện đủ

Giả sử HA.HB HA.HC HA.HD HB.HC HB.HD HC.HD       Từ HA.HB HA.HC     HA.CB 0 HA CB

Từ HA.HB HA.HD     HA.DB 0 HADB

HA (BCD)

   HA là đƣờng cao trong tứ diện

Tƣơng tự, ta cũng chứng minh đƣợc HB, HC, HD là cỏc đƣờng cao trong tứ diện.

Vậy tứ diện ABCD là tứ diện trực tõm.

Bài tập 4. Điều kiện cần và đủ để một tứ diện là

tứ diện trực tõm là cỏc đƣờng cao đi qua trực tõm của mặt đỏy.

Lời giải

Điều kiện cần

Giả sử tứ diện ABCD là tứ diện trực tõm. Gọi H là trực tõm, cỏc đƣờng cao là AA1, BB1, CC1, DD1. Ta chứng minh A1 là trực tõm của BCD. Ta cú 1 1 AA (BCD) BB (ACD)    1 1 AA CD BB CD      CD(ABN)CDBN BN là đƣờng cao trong BCD.

Tƣơng tự, DM là đƣờng cao trong  A1 là trực tõm trong BCD.Hoàn toàn

C D D B D1 B1 A H A 1 N M Hỡnh 2.7

tƣơng tự, ta cũng chứng minh đƣợc B1, C1, D1 lần lƣợt là trực tõm cỏc tam giỏc ACD, ABD, ABC.

Điều kiện đủ

Giả sử A1, B1, C1, D1 lần lƣợt là trực tõm của cỏc tam giỏc ACD, ABD, ABD. Vỡ A1 là trực tõm của BCD nờn BNCD

Mặt khỏc, AA1(BCD) AA1CD CDAB Tƣơng tự, ta chứng minh đƣợc ACBD, ADBCABCD là tứ diện trực tõm.

Bài toỏn mới. Trong một tứ diện nếu đƣờng cao hạ

từ một đỉnh nào đú của tứ diện đi qua trực tõm của mặt đối diện thỡ tứ diện đú là tứ diện trực tõm.

Bài tập 5. Trong tứ diện trực tõm thỡ đƣờng vuụng

gúc chung của cỏc cặp cạnh đối đồng quy tại trực tõm của tứ diện.

Lời giải

Gọi MN, PQ, RS lần lƣợt là cỏc đƣờng vuụng gúc chung của cỏc cặp cạnh AB và CD, BC và AD, AC và BD.

Ta sẽ chứng minh, MN, PQ, RS lần lƣợt đi qua H (H là trực tõm của tứ diện ABCD).

Thật vậy, vỡ ABCD là tứ diện trực tõm nờn cỏc cặp cạnh đối vuụng gúc với nhau.

Nờn ABCD, theo giả thiết thỡ MNAB và MNCD

CD(ABN)BNCDBN là đƣờng cao trong tam giỏc BCD.

Gọi AA1, BB1 lần lƣợt là cỏc đƣờng cao trong tứ diện (A1, B1 lần lƣợt là trực tõm của cỏc tam giỏc BCD và ACD) AA1, BB1 là đƣờng cao trong tam giỏc ABN H là trực tõm tam giỏc ABN MN đi qua H (vỡ MNAB). Hoàn toàn tƣơng tự ta chứng cỏc đƣờng PQ, RS cũng đi qua H.

Bài tập 6. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ diện ABCD trực tõm là

3 đƣờng trung bỡnh bằng nhau. A1 B1 H A B C D M N Q P R S Hỡnh 2.8

Lời giải

Giả sử P, Q, R, S là trung điểm cỏc cạnh AB, CD, BC, AD thỡ ta đó biết rằng PRQS là một hỡnh bỡnh hành và PR//AC, RQ//BD. Nếu ABCD là tứ diện trực tõm thỡ ADBD nờn PRRQ và hỡnh bỡnh hành trờn là hỡnh chữ nhật. Do đú, PQ = RS.

Chứng minh tƣơng tự đối với đƣờng trung bỡnh thứ 3.

Ngƣợc lại, nếu PQ = RS thỡ hỡnh

bỡnh hành PRQS là hỡnh chữ nhật, do đú PRPS và vỡ vậy ACBD. Chứng minh tƣơng tự cho cỏc cặp cạnh cũn lại. Vậy ABCD là tứ diện trực tõm.

Bài toỏn mới. Chứng minh điều kiện cần và đủ để một tứ diện là tứ diện trực

tõm là cú hai đƣờng trung bỡnh bằng nhau.

Bài tập 7. Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD là tứ diện trực tõm thỡ

AB2 + CD2 = BC2 + AD2 = AC2 + BD2

Lời giải

Vỡ tứ diện ABCD là tứ diện trực tõm nờn cú

ABCD, ACBD, ADBC Ta cú AB CD AC CB CB BD AC BD            2 2 2 2 2 2 AB CD AC BD AB CD 2.AB.CD AC BD 2.AC.BD                   2 2 2 2 AB CD AC BD     vỡ ABCD, ACBD Tƣơng tự, ta cú AB2 + CD2 = AD2 + BC2. Vậy AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2 (đpcm). Q S R P A B C D Hỡnh 2.9

Giỏo ỏn số 3. BÀI TẬP VỀ HAI MẶT PHẲNG VUễNG GểC

A. Mục tiờu

a) Kiến thức

HS nắm đƣợc

- Khỏi niệm hai mặt phẳng vuụng gúc. - Cỏch xỏc định hai mặt phẳng vuụng gúc. - Biết tớnh diện tớch hỡnh chiếu của đa giỏc - Hỡnh lăng trụ và tớnh chất

- Hỡnh chúp đều và hỡnh chúp cụt đều

- Mối quan hệ giữa tớnh chất của 2 mặt phẳng vuụng gúc và đƣờng thẳng vuụng gúc với mặt phẳng.

b) Kỹ năng

- Chứng minh hai mặt phẳng vuụng gúc.

- Vận dụng nhanh dấu hiệu hai mặt phẳng vuụng gúc.

- Phõn biệt hỡnh lăng trụ đứng và hỡnh lăng trụ thụng thƣờng.

- Đƣa ra đƣợc phƣơng phỏp chứng minh một hỡnh lăng trụ là hỡnh lăng trụ đứng.

- Phõn biệt đƣợc hỡnh chúp cụt và hỡnh chúp cụt đều.

- Đƣa ra đƣợc phƣơng phỏp chứng minh một hỡnh chúp là hỡnh chúp đều. - Phõn biệt đƣợc hỡnh chúp cụt và hỡnh chúp cụt đều.

- Đƣa ra đƣợc phƣơng phỏp chứng minh một hỡnh chúp cụt là hỡnh chúp cụt đều.

c) Thỏi độ

- Liờn hệ đƣợc với nhiều vấn đề cú trong thực tế về hai mặt phẳng vuụng gúc.

- Cú nhiều sỏng tạo trong hỡnh học.

B. Tiến trỡnh bài dạy

I. Kiểm tra bài cũ :

Cõu hỏi. Em hóy nhắc lại:

- Định nghĩa gúc giữa 2 mặt phẳng, cỏch xỏc định gúc giữa 2 mặt phẳng ?

- Định nghĩa 2 mặt phẳng vuụng gúc, dấu hiệu nhận biết 2 mặt phẳng vuụng gúc, cỏc tớnh chất cú liờn quan về 2 mặt phẳng vuụng gúc?

- Khỏi niệm về hỡnh chúp đều ?

II. Bài mới

Đặt vấn đề. Ở tiết trƣớc, cỏc em đó đƣợc học khỏi niệm về gỳc giữa 2

mặt phẳng, cáchxỏc định gúc giữa 2 mặt phẳng, 2 mặt phẳng vuụng gúc, dấu hiệu nhận biết 2 mặt phẳng vuụng gúc,.... Vậy cỏch tớnh gúc giữa 2 mặt phẳng nhƣ thế nào? Muốn chứng minh 2 mặt phẳng vuụng gúc với nhau ta phải làm nhƣ thế nào? Cú những cỏch nào để chứng minh 2 mặt phẳng vuụng gúc? Ta hóy tỡm hiểu điều đú qua cỏc bài tập sau:

Bài tập1. Cho hỡnh chúp đều SABC, cạnh đỏy bằng a, cạnh bờn bằng b

a) Hóy tớnh gúc giữa cạnh bờn và cạnh đỏy. b) Hóy tớnh gúc giữa mặt bờn và mặt đỏy.

Phƣơng phỏp : GV sử dụng hỡnh thức “ Thày trũ vấn đỏp phỏt hiện và giải

quyết vấn đề” để hƣớng dẫn HS tỡm lời giải bài tập này.

Bƣớc 1. Phỏt hiện hoặc thõm nhập vỏn đề

GV: Trƣớc tiờn, cỏc em hóy cho biết định nghĩa về hỡnh chúp đều, gúc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng, gúc giữa 2 mặt phẳng?

HS: - Hỡnh chúp đều là hỡnh chúp cú đỏy là đa giỏc đều và cú chõn đƣờng cao trựng với tõm đa giỏc đều đú.

- Gúc giữa đƣờng thẳng a và mặt phẳng () là gúc giữa đƣờng thẳng a và đƣờng a’ là hỡnh chiếu của a lờn ().

- Gúc giữa 2 mặt phẳng là gúc giữa 2 đƣờng thẳng lần lƣợt vuụng gúc với 2 mặt phẳng đú.

GV: Trờn cơ sở đú cỏc em hóy vẽ hỡnh , xỏc định cỏc yếu tố và viết giả thiết, kết luận của bài toỏn? (GV gọi 1 HS lờn bảng làm , cỏc bạn khỏc tự vẽ vào vở). HS: GT Hỡnh chúp đều SABC AB = AC = BC = a SA = SB =SC = b KL  (SA, (ABC)) =?  ((SAB),(ABC)) =? Bƣớc 2.Tỡm giải phỏp a) Tớnh gúc giữa cạnh bờn và cạnh đỏy

GV: Do đặc điểm của hỡnh chúp đều nờn SA, SB, SC nghiờng đều với đỏy, nờn ta chỉ tớnh gúc giữa SA và mặt phẳng đỏy.

GV: Em hóy xỏc định gúc giữa SA và mặt phẳng đỏy (ABC).

HS: Gọi H là chõn đƣờng cao hạ từ đỉnh S của hỡnh chúp SABC, Do SABC là hỡnh chúp đều => SH  (ABC)

Mà A  (ABC) => HA là hỡnh chiếu của SA lờn mp(ABC)

=>  (SA, (ABC)) =  (SA,HA) =  SAH GV: Cỏc em hóy tỡm cỏch tớnh gúc SAH.

Nếu HS vẫn chƣa nghĩ ra GV gợi ý thờm: Để tớnh gúc ta thƣờng đƣa về việc tớnh cỏi gỡ?

A B B C E D H S Hỡnh 2.10

HS: Xột  ASH cú :

SHA = 900

SA = b

=> cos(SAH) = AH

SA

GV: Ta cũn phải tớnh thờm AH, muốn tớnh cạnh ta thƣờng phải làm nhƣ thế nào?

HS: Xột tam giỏc cú chứa cạnh đú. GV: Vậy hóy

HS: Tam giỏc ABC đều cú H là tõm => AH =2/3.AD=2/3.a.3/2 =a.3/3 => cos(SAH) = a3 3b Bƣớc 3. Trỡnh bày giải phỏp GV: Chỳng ta đó dựng phộp phõn tớch để tớnh gúc giữa SA và mặt phẳng đỏy (ABC)  (SA, (ABC)) =?

 (SA, (ABC)) =  SAH

Xột v ASH: SA = b; AH= ?

Xột v ABC, tớnh AH=?