Các phương trình vi phân (2.3), (2.4) và (2.9) mô tả tương tác của hệ các nguyên tử và trường laser với các tham số cường độ trường và thời gian tùy ý. Đây là một bài toán phức tạp nên rất khó tìm nghiệm giải tích trong trường hợp tổng quát. Khi đó, lời giải số là một giải pháp hữu hiệu cho phép chúng ta xác định các nghiệm mà có thể thay đổi các tham số dễ dàng. Ở đây, chúng tôi sử dụng kết hợp phương pháp Runge-Kutta bậc 4 cho thời gian và phương pháp sai phân hữu hạn cho không gian để giải bài toán lan truyền xung laser. Code mô phỏng máy tính được chúng tôi viết trong phần mềm Matlab 7.9, để tạo ra các hình vẽ trong luận án.
47
Từ điều kiện trạng thái ban đầu của nguyên tử tại thời điểm 0 là
(,0,) và điều kiện biên đối với trường ánh sáng đối với toàn miền thời gian tại vị trí 0 là (0,). Sự tiến triển của các phương trình (2.3) có thể được giải với sự có mặt của các nguyên tử tại vị trí 0 đối với tất cả thời gian
(,0,). Từ đây cho phép chúng ta trở lại ước lượng vế phải của (2.9) tại 0, bây giờ cả (0,) và (0,) đều đã biết, gần đúng của (1,) có thể được thực hiện, ở đây 1 = 0 + biểu diễn vị trí “bước” tiếp theo trong môi trường. Quá trình tiếp theo có thể được lặp lại để tìm (1,,) và (2,) và tiếp tục như vậy. Theo cách này, sự tiến triển của xung laser thông qua môi trường có thể được thực hiện thông qua một chiều dài và khoảng thời gian. Trong trường hợp quan tâm ở đây, điều kiện ban đầu đối với hệ nguyên tử
11 , ,0 1
còn các thành phần khác bằng không, tức ban đầu tất các các nguyên tử ở trong trạng thái cơ bản. Điều kiện biên đối với trường ánh sáng tại 0 chính là hàm bao của xung đầu vào.