Cho đến nay có rất nhiều tài liệu nghiên cứu khá đầy đủ về t duy toán học. Tuy nhiên trong một số tài liệu có nói đến thì cũng chỉ nói chung chung
còn ở một mức độ nhất định, và có nói kĩ thì cũng chỉ nói về một loại hình t duy cụ thể nào đó mà thôi. Cũng từ điều đó thì “t duy toán học đợc hiểu, thứ
nhất là hình thức biểu lộ t duy biện chứng trong quá trình con ngời nhận thức khoa học toán học hay trong quá trình áp dụng Toán học vào các khoa học khác nh kỹ thuật, kinh tế quốc dân. Thứ hai, t duy toán học có các tính chất đặc thù đợc quy định bởi bản chất của khoa học toán học bởi sự áp dụng các phơng pháp toán học để nhận thức các hiện tợng thế giới hiện thực, cũng nh bởi chính các phơng thức chung của t duy mà nó sử dụng. Nội dung của t duy toán học là những t tởng phản ánh hình dạng không gian và những quan hệ số lợng của thế giới hiện thực” [5, Tr.5 ].
Điều đó cho ta thấy rằng t duy biện chứng là một loại hình t duy quan trọng thể hiện trong t duy toán học, ta cũng cần hiểu t duy biện chứng là nh thế nào? Thuật ngữ t duy biện chứng xuất hiện nhiều lần trên các sách báo tạp chí và ấn phẩm khoa học, tuy nhiên hầu nh cha có một tài liệu nào đa ra một định nghĩa tờng minh về loại hình t duy này.
Có tài liệu thay vì định nghĩa t duy biện chứng thì lại nhấn mạnh vai trò của nó; có tài liệu không định nghĩa t duy biện chứng mà chỉ nói rằng t duy biện chứng dựa vào lôgic biện chứng, thực ra chẳng riêng gì t duy biện chứng mới dựa vào lôgic biện chứng mà nói nh Ilencô “T duy toán học đáng giá nhất
thiết phải là t duy biện chứng” [dẫn theo 32]. Câu này có thể hiểu nh sau, mọi
loại hình t duy toán học trong mình nó đều có hàm lợng của t duy biện chứng, tuy nhiên hàm lợng ấy chỗ này chỗ kia có thể khác nhau và cũng không nên hiểu rằng t duy biện chứng đủ để bao quát tất cả các tình huống Toán học mặc dù nó là cần thiết.
Về đặc điểm của t duy toán học, A. M. Phriđman viết: “T duy toán học
hóa vứt bỏ tất cả các tính vật chất và chỉ giữ lại những quan hệ đã cho giữa chúng” [dẫn theo 4].
Dạy học môn Toán ở trờng phổ thông có thể bồi dỡng, rèn luyện cho học sinh nhiều loại hình t duy:
- Quá trình dạy học môn Toán ở trờng phổ thông có vai trò quan trọng nhất trong rèn luyện t duy lôgic, t duy biện chứng cho học sinh ; ngoài hai loại t duy cơ bản nói trên, dạy học môn Toán có thể rèn luyện cho học sinh các loại hình t duy khác, chẳng hạn: t duy sáng tạo, t duy thuật giải, t duy hàm,...
- Theo Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn, trong dạy học học Toán cần rèn luyện bảy loại t duy: T duy lôgic, t duy biện chứng, t duy hình tợng, t duy quản lý, t duy kinh tế , t duy kĩ thuật, t duy thuật toán [38].
Từ những kết quả nghiên cứu nói trên, có thể khẳng định giáo dục Toán học cho học sinh là nhằm:
- Truyền thụ cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản của toán học; - Rèn luyện cho học sinh những kĩ năng và kĩ xảo toán học;
- Phát triển t duy toán học của học sinh.
Từ vấn đề đợc hiểu về t duy toán học trên ta thấy rằng “t duy toán học
không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt động toán học của học sinh, nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự phát triển một cách có phơng hớng thì không thể đạt đựợc hiệu qủa trong sự truyền đạt cho học sinh hệ thống các kiến thức và kỹ năng toán học” [34, Tr.13].
Nh vậy, t duy toán học đó là một quá trình phát triển từ thấp lên cao, việc giải quyết vấn đề thứ nhất và thứ hai có kết quả, thì sẽ dẫn tới việc giải quyết công việc thứ ba. Điều này cũng có nghĩa là việc giải quyết vấn đề đó là một quá trình biện chứng. Nó giúp ta hiểu đợc một cách đúng đắn và sâu sắc qua việc nhận thức kiến thức toán học. T duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt động toán học của học sinh, nó còn là thành
phần mà thiếu nó thì không thể đạt đợc hiệu quả trong việc truyền thụ kiến thức toán học cho học sinh.