Khái niệm Copula

4 .VÀI KHÁI NIỆM LIÊN QUAN

4.2 Khái niệm Copula

a) Đặt vấn đề

Một hiện tƣợng rủi ro có thể do nhiều yếu tố rủi ro ngẫu nhiên gây nên. Thí dụ, việc rớt giá cà phê xuất khẩu của Việt Nam trong năm qua là một hiện tƣợng rủi ro lớn cho nông dân. Điều đó có thể do nhiều yếu tố ngẫu nhiên gây nên nhƣ: nhu cầu trên thế giới đột ngột giảm, chất lƣợng cà phê không đồng đều,chính sách xuất khẩu không phù hợp, yếu tố thời tiết,…

Giả sử X1 là biến ngẫu nhiên mô tả yếu tố rủi ro thứ 1 và F x1 1 P X 1x1 là hàm phân phối xác suất của X1; X2 là biến ngẫu nhiên phản ánh yếu tố ngẫu nhiên thứ 2 với hàm phân phối xác suất là F x2 2 P X 2x2 …

Giả sửF x 1,...,xnP X 1x1,...,Xnxnlà phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên X1, X2,…, Xn thể hiện sự đo lƣờng tổng hợp của các rủi ro X1, X2,…, Xn. Trên thực tế, ta chỉ có thể tìm biết đƣợc các phân phối rủi ro thành phần F1(x1),…, Fn(xn) chứ không biết đƣợc cách đo tác động rủi ro chung F(x1,…, xn).

Theo lý thuyết xác suất thống kê, nếu ta biết phân phối đồng thời F(x1,…, xn) ta có thể tính đƣợc các phân phối riêng F1(x1),…,Fn(xn) (gọi là các phân phối biên duyên – Marginal Distribution). Nhƣng nếu chỉ biết F1(x1),…, Fn(xn) thì nói chung ta chƣa biết đƣợc F(x1,…, xn) chỉ trừ trƣờng hợp các biến X1, X2,…, Xn là độc lập và có phân phối chuẩn.

Vậy câu hỏi đặt ra là làm thế nào để khôi phục F từ các F1,…,Fn một cách đúng hoặc gần đúng. Câu trả lời là sử dụng khái niệm Copula.

Trƣớc hết, ta phải giải thích Copula là gì và sau đó cho biết dùng Copula nhƣ thế nào trong việc tìm lại hàm phân phối rủi ro đồng thời.

b) Định nghĩa Copula

 Định nghĩa

Một Copula n chiều là một hàm phân phối C(u) = C(u1,…,un) trên hình hộp đơn vị n chiều 0,1  ...  0,1 với các hàm biên duyên C1(u1),…, Cn(un) là các phân phối đều một chiều trên đoạn [0,1].

 Tính chất

Hàm Copula có các tính chất sau đây

(i) C(u1,…,un) là một hàm tăng đối với mỗi ui, (1 i n). (ii) C(1, …, 1, ui, 1, …, 1) = ui với i = 1, 2, 3,…, n và ui  0,1 (iii) Với mọi cặp điểm n chiềua và b trong hình hộp đơn vị n chiều.

 1,..., n  0,1 ...  0,1 a a a    và bb1,...,bn 0,1  ...  0,1 thì ta có  1   1 1 2 2 ... 1 1 1 ... 1 n ,..., 0 n n i i i ni i i C u u         Trong đó uj1 = aj và uj2 = bj với j = 1,…, n  Nhận xét

Tính chất (i) là tính chất của hàm phân phối nhiều chiều. Tính chất (ii) là tính chất của hàm phân phối đều biên duyên.

Tính chất (iii) đảm bảo rằng nếu vector ngẫu nhiên chuyển vị (U1,…,Un)’ có hàm phân phối là Copula C thì độ đo xác suất của hình hộp chữ nhật n chiều

1 1,..., n n n

a b a U b là không âm:P a 1U1b1,...,an Un bn0.

(i) Hàm ngược suy rộng: Cho y = (x) là hàm thực một biến và tăng. Ta gọi hàm ngƣợc suy rộng của (x), kí hiệu là -1

(y), là một hàm xác định nhƣ sau:       1 inf : y x x y    

(ii) Biến đổi phân vị: Cho G(x) là một hàm phân phối xác suất. Khi đó nếu U là một biến ngẫu nhiên phân phối đều trên khoảng (0,1) thì

 

 1   

P G U x G x

Trong đó G-1 là hàm ngƣợc suy rộng của G.

Quả vậy, vì hàm phân phối G là một hàm tăng, cho nên sự kiện G y u tƣơng

đƣơng với sự kiện 1 

,

y G u yR vàu  [0,1], và G-1 là hàm ngƣợc suy rộng của G. Trong hệ thức 1 

G u  y ta thay u bằng biến ngẫu nhiên U phân phối đều trên [0,1] và xét xác suất của biến cố ngẫu nhiên  1  

G U  y

 

 1      

P G u  y P U G y G y

Hệ thức cuối cùng là do P U u hàm phân phối của U = u, với u  (0,1) là điều phải chứng minh.

(iii) Biến đổi xác suất: ChoY là một biến ngẫu nhiên có hàm phân phối liên tục là

G(y). Thay y bởi chính biến ngẫu nhiên Y ta đƣợc một biến ngẫu nhiên mới là U = G(Y),

biến ngẫu nhiên này lại là một biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên (0,1).

 ~  0,1

U G y U

Quả vậy

       1   1 

P U u P G Y  y P Y G y G G y u

c) Quan hệ giữa Copula với hàm phân phối đồng thời và các hàm phân phối biên duyên

Định lý Sklar (1959):Cho F là một hàm phân phối đồng thời với các hàm phân phối biên duyên F1,…,Fn. Khi đó tồn tại một hàm Copula

     

: 0,1 ... 0,1 0,1

Sao cho với mọi điểm xx x1, 2,...,xnR,     xi . Ta có

 1,..., n  1 1 ,..., n n .

F x x C F x F x

Nếu các biên duyên F1,…, Fn là liên tục thì C đƣợc xác dịnh duy nhất.

Ngƣợc lại, nếu C là một hàm Copula và F1,…, Fnlà các hàm phân phối một chiều thì hàm F xác định bởi công thức trên sẽ là một hàm phân phối với các phân phối biên duyên là F1,…, Fn.

Có nhiều loại Copula: Copula Gauss, Copula Student, các Copula thuộc họ Archimede,… Đứng trƣớc một bài toán cụ thể, ngƣời ta phán đoán dùng một Copula nào để xác định nên hàm phân phối đồng thời của rủi ro và sau đó xác định bằng phƣơng pháp kiểm định thống kê.