5. C ấu trúc luận văn
2.1.2. Biến ngẫu nhiên trong SGK lớp 11
Trong phần này chúng tôi tập trung phân tích bài “biến ngẫu nhiên rời rạc” trong SGK 11 nâng cao.
2.1.2.1. Về lý thuyết
Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc:
Sau một ví dụ về tung đồng xu cho người học hình dung, định nghĩa được đưa ra như sau :
Đại lượng 𝑋được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên không dự đoán trước được.
(SGK 11 nâng cao, tr. 86)
Như vậy : SGK chỉ giới thiệu biến ngẫu nhiên rời rạc định lượng và nhận hữu hạn giá trị. Biến định tính cũng như cách chuyển từ nghiên cứu biến định tính sang nghiên cứu biến định lượng không được giới thiệu. Để xác định một biến ngẫu nhiên rời rạc chỉ cần chỉ ra hai điều kiện thỏa mãn là :
• X nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn
• Giá trị của X là ngẫu nhiên không đoán trước được.
Ví dụ tung đồng xu rất quen thuộc với HS trong học tập XS, giúp người học dễ hình dung về tính ngẫu nhiên của các giá trị của 𝑋 nhưng mang nặng tính suy diễn. Các giá trị của 𝑋được liệt kê đầy đủ như không gian mẫu trong định nghĩa cổ điển của XS. Và với mỗi biến ngẫu nhiên có một bảng phân bố XS duy nhất và chính xác.
Khái niệm mẫu ngẫu nhiên và các phương pháp điều tra chọn mẫu không được giới thiệu trong chương trình TK ở lớp 10 lẫn chương trình XS lớp 11. Phần này, SGK cũng không đề cập tới mối liên hệ giữa biến ngẫu nhiên với các dấu hiệu điều tra trong TK mô tả, và không có tình huống nào cho người học xác định các giá trị có của biến ngẫu nhiên từ những mẫu số liệu thu được nhờ điều tra ngẫu nhiên. Như vậy người học sẽ khó hay phải miễn cưỡng chấp nhận những bảng phân bố lý thuyết có sẵn trong các phần sau đó hay bài tập.
Phân bố XS của biến ngẫu nhiên rời rạc
Trong SGK chỉ giới thiệu về bảng phân bố XS của biến ngẫu nhiên rời rạc hữu hạn mà không giới thiệu hàm phân bố XS, điều kiện 𝑝1+𝑝2+⋯+𝑝𝑛 = 1 được thừa nhận không chứng minh.
Về cách lập bảng phân bố XS của biến ngẫu nhiên X, SGV cũng hướng dẫn thực hiện qua hai bước :
Bước 1 : Xác định tập giá trị {x1, x2, … , xn} của X.
Bước 2 : Tính các XS P(X = xi) = pi(i = 1, 2, … , n). Tính P(X = xi)nghĩa là tính XS của biến cố “X nhận giá trị xi”.
(SGV 11 nâng cao, tr. 107)
SGV cũng chứng minh và giải thích rất rõ về điều kiện ∑ 𝑝𝑛 𝑖 = 1
𝑖=1 :
Đó là điều kiện cần của bảng phân bố XS của X mà ta thiết lập là đúng. Điều kiện này không là điều kiện đủ, nói một cách khác, nếu điều kiện này bị vi phạm thì bảng lập là sai. Nhưng nếu điều kiện này được thỏa mãn thì cũng chưa đảm bảo bảng ta lập là đúng. (SGV 11 nâng cao, tr. 108)
Sau khi đưa ra khái niệm, SGK cũng đưa ra hai ví dụ : Ví dụ 2 và hoạt động H1 nhằm mục đích :
đánh giá xem HS đã biết đọc hiểu nội dung của bảng phân bố XS và tính các XS liên quan hay chưa. (SGV 11 nâng cao, tr.109)
Ví dụ 2 : Số vụ vi phạm luật giao thông trên đoạn đường A vào tối thứ bảy hàng tuần là một biến ngẫu nhiên rời rạc X. Giả sử X có bảng phân bố như sau :
X 0 1 2 3 4 5
P 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1
Bảng 2
SGK cũng hướng dẫn cách đọc bảng phân bố :
Nhờ bảng 2 ta biết được chẳng hạn XS để tối thứ bảy trên đoạn đường A không có vụ vi phạm luật giao thông nào là 0,1 và XS để xảy ra nhiều nhất một vụ vi phạm luật giao thông là 0,1 + 0,2 = 0,3.
Tiếp theo là hoạt động H1 để củng cố :
H1 : Tính XS để tối thứ bảy trên đoạn đường A a) Có hai vụ vi phạm luật giao thông
b) Có nhiều hơn ba vụ vi phạm luật giao thông. (SGK 11 nâng cao, tr. 87)
Tóm lại, nếu biết bảng phân bố XS của X, ta có thể tính được XS của tất cả các biến cố liên quan tới 𝑋.
Ví dụ 3 và hoạt động H2 nhằm mục đích
Giúp HS thấy cách thiết lập dòng thứ 2 của bảng phân bố XS của X. (SGV 11 nâng cao, tr. 109)
Ví dụ 3 : Một túi đựng viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi, gọi X là số viên bi xanh trong 3 viên bi được chọn ra. Rõ ràng X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị trong tập {0, 1, 2, 3}.
(SGK 11 nâng cao, tr. 87)
SGK cũng đưa ra lời giải tìm các XS P(X = 0), P(X = 1) làm mẫu nhưng không giải hết mà yêu cầu người học thực hiện hoạt động 2 :
H2 : Hãy tính P(X = 2) và P(X = 3) và lập bảng phân bố XS của X
(SGK 11 nâng cao, tr. 88)
Như vậy để lập bảng phân bố XS của biến ngẫu nhiên 𝑋 trong ví dụ 3 hoàn toàn sử dụng những kiến thức về tổ hợp và định nghĩa cổ điển của XS đã học. Ví dụ có tính liên kết chặt chẽ với những bài học trước, người học lập bảng phân bố xác suất dựa vào suy diễn, các giá trị 𝑥𝑖 được liệt kê đầy đủ, các XS 𝑝𝑖 là những con số được tính toán chính xác.
Về ví dụ 2, bảng phân bố XS được cho sẵn, SGK chỉ yêu cầu người học biết đọc các nội dung liên quan tới bảng phân bố XS. Nhưng phương pháp để thiết lập bảng phân bố này không được nhắc tới. Việc tìm ra bảng phân bố này không thể tiến hành bằng phương pháp như trong ví dụ 3, tức là dùng định nghĩa cổ điển để tính các XS 𝑃(𝑋=𝑥𝑖) mà phải dùng định nghĩa TK của XS. Mối liên hệ giữa bảng phân bố XS với bảng phân bố tần suất chỉ được nhắc tới trong phần đọc thêm, và chúng tôi cũng không tìm thấy bất kì hoạt động hay bài tập nào thực hành về mối liên hệ này.
Qua 3 ví dụ và lướt qua phần bài tập thì các biến ngẫu nhiên được đưa ra chỉ có rất ít giá trị (dưới 13 giá trị) nên việc lập bảng phân bố sẽ không mất nhiều thời gian. Nhưng trên thực tế thường gặp những biến ngẫu nhiên có con số lớn các giá trị thì việc lập bảng phân bố hoàn chỉnh là không khả thi. Trong những trường hợp này cần thiết phải sử dụng các mô hình phân bố XS. Tuy nhiên, tính đến thời điểm này, SGK cũng không nhắc tới mô hình
phân bố nào, ngay cả việc tính các chỉ số đặc trưng cũng chỉ yêu cầu người học biết tính trực tiếp qua bảng phân bố XS.
Các chỉ số đặc trưng
Phần này, thể chế dạy học chỉ yêu cầu người học là nắm được các công thức tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc ; biết tính các chỉ số đó trực tiếp qua bảng phân bố XS và hiểu được ý nghĩa của chúng.
• Kì vọng
SGK đưa ra định nghĩa, đó cũng là công thức tính kì vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc đồng thời cũng đưa ra ý nghĩa về mặt toán học của kì vọng :
Định nghĩa : Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {x1, x2, … , xn}. Kì vọng của X
kí hiệu là E(X) là một số được tính theo công thức :
E(X) = x1p1+ x2p2+⋯+ xnpn=∑ni=1xipiở đó pi = P(X = xi)
Ý nghĩa : E(X) là một số cho ta ý niệm về độ lớn trung bình của X. Vì vậy, kì vọng E(X) còn được gọi là giá trị trung bình của X.
Nhận xét : Kì vọng của X không nhất thiết phải thuộc tập giá trị của X. (SGK 11 nâng cao, tr. 88)
SGK cũng minh họa về cách tính và ý nghĩa của kì vọng bằng ví dụ sát với thực tiễn là tính E(𝑋) từ bảng phân bố XS về số vụ vi phạm luật giao thông trên đoạn đường A vào tối thứ bảy.
• Phương sai và độ lệch chuẩn
Cũng như kì vọng, SGK cũng đưa ra định nghĩa và đó cũng chính là công thức tính phương sai V(𝑋).
Định nghĩa: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {x1, x2, … , xn}. Phương sai của
X kí hiệu là V(X) là một số được tính theo công thức :
V(X) =∑ni=1(xi− µ)2piở đó pi= P(X = xi) (i = 1,2, … , n) và µ= E(X)
Ý nghĩa : Phương sai là một số không âm. Nó cho ta ý niệm về mức độ phân tán các giá trị của X xung quanh giá trị trung bình. Phương sai càng lớn thì độ phân tán càng lớn.
Định nghĩa : Căn bậc hai của phương sai, kí hiệu là σ(X) được gọi là độ lệch chuẩn của X, nghĩa là σ(X) =�V(X).
(SGK 11 nâng cao, tr. 89)
Các chỉ số đặc trưng: kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn có ứng dụng rất lớn trong thực tiễn. Thể chế cũng yêu cầu người học không những biết cách tính mà còn phải hiểu được ý nghĩa của chúng. SGK chỉ đưa ra ý nghĩa chung nhất về mặt toán học, nhưng để có thể làm rõ bản chất, ý nghĩa thực tiễn của các khái niệm này đòi hỏi nhiều ví dụ thuộc nhiều
lĩnh vực khác nhau, đặc biệt là những lĩnh vực đang được quan tâm (mang tính thời sự) nhằm tạo hứng thú học tập cho HS, và giúp người học cập nhật và phân tích các số liệu chứa đựng trong đó.
Phần này SGK chỉ nêu 1 ví dụ nhằm hướng dẫn HS tính theo công thức. Phần mối liên hệ với các chỉ số đặc trưng chỉ được giới thiệu trong phần đọc thêm, cũng không có thêm một hoạt động hay bài tập nào nói về mối liên hệ này.
Việc tính các chỉ số đặc trưng bằng công thức sẽ khiến người học gặp nhiều khó khăn và rất mất thời gian bởi công thức khá cồng kềnh và phải lập bảng phân bố XS. Trên thực tế, ta chỉ quan tâm tới một vài chỉ số đặc trưng nào đó và trong thực hành TK thường sử dụng các mô hình phân bố để tính các chỉ số đặc trưng đó mà rất ít khi phải lập bảng phân bố XS hoàn chỉnh. Tuy nhiên, lại không có bất cứ mô hình phân bố nào được nhắc tới trong SGK.
Liên hệ với thống kê mô tả :
Theo nghiên cứu của tác giả Võ Mai Như Hạnh (2012), chương TK lớp 10 ban nâng cao đã cung cấp tương đối đầy đủ các yếu tố cơ bản của TK để nghiên cứu một mẫu số liệu. Tuy nhiên, các tổ chức giúp nhận thấy tính thay đổi của các kết quả thu được từ các mẫu số liệu khác nhau của cùng một tổng thể dữ liệu, từ đó có ý thức về nguy cơ thiếu chính xác từ mẫu đã không tồn tại. Ngay từ bài đầu tiên của chương TK, SGK 10 nâng cao, đã đưa ra khái niệm điều tra toàn bộ và điều tra mẫu :
Nếu thực hiện điều tra trên mọi đơn vị điều tra thì đó là điều tra toàn bộ. Nếu chỉ điều tra trên mẫu thì đó là điều tra mẫu.
…
Người điều tra phải kiểm định chất lượng các hộp sữa của một nhà máy chế biến sữa bằng cách mở hộp sữa để kiểm tra. Có thể điều tra toàn bộ hay không ?
…
Điều tra toàn bộ đôi khi không khả thi vì số lượng điều tra quá lớn hoặc vì muốn điều tra thì phải phá hủy đơn vị điều tra. Chúng ta thường chỉ điều tra mẫu và phân tích xử lí mẫu số liệu thu được. (SGK 10 nâng cao, tr. 160)
Nhiệm vụ của người điều tra phải làm là từ những số liệu thu được trên mẫu rút ra những kết luận về tổng thể. Để làm được điều này cần thiết phải có sự hỗ trợ của các kiến thức của lý thuyết XS. Thế nhưng, trong tất cả các bài tập của chương XS chúng tôi không tìm thấy một yêu cầu nào giải quyết những vấn đề còn tồn tại của TK mô tả là suy luận từ mẫu tới tổng thể.
Về mối liên hệ giữa bảng phân bố XS với bảng phân bố tần suất ; kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên với số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu được SGK cũng giới thiệu trong phần đọc thêm :
Xét dấu hiệu 𝑋 với tập giá trị hữu hạn {𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛}. Giả sử trên một mẫu điều tra kích thước 𝑝 về dấu hiệu 𝑋, ta thấy có 𝑛𝑖 số liệu có giá trị 𝑥𝑖 (𝑖= 1, 2, … ,𝑛), tức là giá trị 𝑥𝑖 có tần số 𝑛𝑖. Tần suất của giá trị 𝑥𝑖 là 𝑓𝑖 =𝑛𝑖
𝑁.
Khi đó bảng phân bố tần suất của mẫu số liệu trên là :
Giá trị 𝑥 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛
Tần suất f 𝑓1 𝑓2 … 𝑓𝑛
Có thể coi dấu hiệu 𝑋 nói trên là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {𝑥1,𝑥2, … ,𝑥𝑛}. Giả sử phân bố XS của 𝑋 là :
𝑋 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛
P 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑛
Chúng ta đã biết rằng tần suất 𝑓𝑖 là giá trị gần đúng của XS 𝑝𝑖. Do đó bảng phân bố tần suất của mẫu số liệu cho ta một “hình ảnh” gần đúng về bảng phân bố XS của 𝑋.
Vì 𝑓 ≈ 𝑝𝑖 nên 𝑥̅=∑𝑛𝑖=1𝑥𝑖𝑓𝑖≈ ∑𝑛𝑖=1𝑥𝑖𝑝𝑖 =𝐸(𝑋)
Như vậy, số trung bình của mẫu số liệu là giá trị gần đúng của kì vọng của 𝑋. Tương tự, phương sai của mẫu số liệu là
𝑠2=∑𝑖=1𝑛 𝑛𝑖𝑝(𝑥 − 𝑥̅)2=�(𝑥 − 𝑥̅)2𝑓𝑖 𝑛 𝑖=1 ≈ �(𝑥 − 𝜇)2𝑝𝑖 𝑛 𝑖=1 =𝑉(𝑋) Trong đó 𝜇=𝐸(𝑋)
Vậy phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là giá trị gần đúng của phương sai và độ lệch chuẩn của 𝑋.
(SGK 11 nâng cao, tr. 91)
Do chỉ được giới thiệu trong phần đọc thêm nên quan hệ giữa các trị số tính được trên mẫu với tham số của tổng thể không được giáo viên và HS lưu tâm nhiều. Hơn nữa, vì không có thêm bài tập hay hoạt động nào luyện tập về mối quan hệ này, nên các bài toán trong TK sinh ra từ mối quan hệ này đã không có cơ hội xuất hiện.
Tuy nhiên, trong cùng một đơn vị điều tra, tần suất cũng như các chỉ số đặc trưng có thể bị biến đổi khi thay đổi các đơn vị điều tra hay cỡ mẫu. Theo nghiên cứu của tác giả Võ Mai Như Hạnh (2012), trong chương TK ở lớp 10 không xuất hiện kiểu nhiệm vụ nào cho thấy sự biến động của tần suất. Mối quan hệ giữa XS – TK xuất hiện trong chương trình là định nghĩa TK của XS được đưa ra trong SGK 11 nâng cao :
Người ta chứng minh được rằng khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số xác định, số đó được gọi là XS của A theo nghĩa TK (số này cũng chính là P(A) trong định nghĩa cổ điển của XS)
Như vậy, tần suất được xem như giá trị gần đúng của XS. Trong khoa học thực nghiệm, người ta thường lấy tần suất làm XS. Vì vậy tần suất còn được gọi là XS thực nghiệm. (SGK 11 nâng cao tr. 74)
Sau đó, SGK cũng đưa ra ví dụ về cách xác định XS thực nghiệm :
Ví dụ 8 : Một công ti bảo hiểm nhân thọ đã TK được trong 100 000 người đàn ông 50 tuổi có 568 người chết trước khi bước sang tuổi 51 và trong 100 000 người phụ nữ 50 tuổi có 284 người chết trước khi bước sang tuổi 51. Khi đó, XS thực nghiệm để một người đàn ông 50 tuổi chết trước khi bước sang tuổi 51 là 100000568 = 0,00568 và XS thực nghiệm để một người phụ nữ 50 tuổi chết trước khi bước sang tuổi 51 là : 100000284 = 0,00284. (SGK 11 nâng cao tr. 75)
Như vậy, kiểu nhiệm vụ ước lượng điểm cho XS xuất hiện ở đây, nhưng SGK không nói rõ trường hợp nào thì có thể xem tần suất là XS thực nghiệm. Hơn nữa tần suất là đại lượng biến đổi theo mẫu nên không khỏi khiến cho người học nghi ngờ sự chính xác của XS thực nghiệm. Ngoài ra, cũng không có thêm một hoạt động nào trong SGK giúp người học phân biệt hay nhận ra mối quan hệ giữa tần suất và XS. Do đó, người học có thể sẽ gặp những khó khăn khi chấp nhận những bảng phân bố XS cho sẵn như ví dụ về số vụ vi phạm luật giao thông chẳng hạn.
Tóm lại, đã có một sự không nối khớp giữa TK và XS đó là : XS chưa tham gia giải quyết các bài toán suy luận cho tổng thể dựa trên những số liệu thu được từ mẫu như bài toán ước lượng điểm, ước lượng khoảng cho tỉ lệ, kì vọng, phương sai hay từ phân bố thực