5. C ấu trúc luận văn
3.2. Bài toán thực nghiệm và mục đích xây dựng
Thực nghiệm là một tiểu đồ án didactic với ba bài toán chính nhằm bổ sung cho mối quan hệ giữa XS và TK đó là tạo điều kiện cho phép người học khai thác, sử dụng phân bố XS suy luận cho các mẫu được rút ra từ một tổng thể dữ liệu, từ đó lựa chọn phương án
hành động thích hợp. Các bài toán tiếp tục khai thác về mối quan hệ giữa XS và tần suất như là ứng dụng của phân bố nhị thức.
Bài toán 1 : XS xuất hiện mặt ngửa của một đồng xu cân đối là 𝑃 = 0,5. Tung đồng xu 6 lần, gọi 𝑋 là số lần xuất hiện mặt ngửa
1. Hãy xác định tập giá trị của biến ngẫu nhiên 𝑋 2. Lập bảng phân bố XS của 𝑋
3. Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của 𝑋 4. Hãy tổng quát bài toán trên
Mục đích xây dựng : Bài toán bắt đầu bằng phép thử tung đồng xu quen thuộc trong XS và với tham số n bé tạo điều kiện để HS có thể giải được bài toán bằng những phương pháp đã học. Các kết quả thu được trong câu 3 so sánh với np, npq, �npqhướng tới tổng quát hóa bài toán.
Bài toán 2 : Bằng kinh nghiệm hợp tác lâu năm của đơn vị cung ứng và đơn vị tiêu thụ sản phẩm, mỗi lô hàng sẽ được bên tiêu thụ chấp nhận nếu chứa tối đa 5% sản phẩm bị lỗi. Một lô lớn sản phẩm chuẩn bị ra mắt, trước khi quyết định chấp nhận hay từ chối lô hàng, người ta tiến hành kiểm tra để tìm lỗi bằng phương pháp điều tra mẫu. Nếu mẫu có 𝑛 sản phẩm mà không quá 𝑎 sản phẩm bị lỗi thì lô hàng được chấp nhận.
a/ Giả thiết rằng lô hàng có 500 sản phẩm, bằng tính toán của mình, em hãy đưa ra một vài nhận định về lô hàng.
b/ Với 𝑛 = 10,𝑎 = 1. Tính XS để lô hàng được chấp nhận.
c/ Với 𝑛 = 20,𝑎 = 2. Tính XS để lô hàng được chấp nhận. Em lựa chọn phương án nào trong hai phương án được đưa ra ở câu b và c ? Cho biết lí do em lựa chọn là gì ?
d/ Kiểm tra 30 sản phẩm và tìm được 2 sản phẩm bị lỗi, theo em số liệu thu được có đủ để khẳng định lô hàng có nhiều hơn 5% sản phẩm bị lỗi hay không ? Vì sao ?
Mục đích xây dựng : Bài toán phần nào giúp HS hiểu được cách thức kiểm tra sản phẩm trong thực tế, và hiểu được XS còn là con số được đúc kết từ kinh nghiệm. Câu a, người học sẽ nhận dạng và ứng dụng mô hình phân bố nhị thức của biến ngẫu nhiên và với tham số n rất lớn mục đích chúng tôi định hướng cho người học sử dụng bài toán tổng quát tính toán nhanh các chỉ số đặc trưng. Câu b và c, tỉ lệ giữa số lượng mẫu n và số sản phẩm lỗi là bằng nhau nhằm đánh lừa trực quan của HS. Câu d, câu trả lời mong đợi của chúng tôi là “không” vì chỉ điều tra trên mẫu không đủ để kết luận cho tổng thể. Vấn đề này tiếp tục được khai thác trong bài toán 3.
Bài toán 3 :Corinne là một vận động viên bóng rổ lập được 75% cú ném bóng tự do trúng đích trong cả một mùa thi đấu. Trong một trận thi đấu quan trọng, cô ấy phải thực hiện 12 cú ném bóng tự do độc lập. Gọi 𝑋 là số lần Corinne ném trượt trong 12 lần ném.
1. Tính 𝐸(𝑋) và 𝜎(𝑋)
2. Đặt 𝐸(𝑋) = 𝜇,𝜎(𝑋) = 𝜎, tính XS để số lần ném trượt của Corinne nằm trong đoạn
[𝜇 −2𝜎,𝜇+ 2𝜎]. Nêu ý nghĩa cho kết quả vừa tính được.
3. Corinne đã ném trượt 5 quả trong trận thi đấu. Các cổ động viên nghĩ rằng cô thất bại vì thi đấu quá căng thẳng. Liệu có sự bất thường nào đối với sự thể hiện của Corinne trong trận đấu hay không ?
Mục đích xây dựng : Bài toán này là bài toán so sánh phân bố thực nghiệm với phân bố lý thuyết về tỉ lệ. Từ mối quan hệ của phân bố nhị thức với phân bố chuẩn chúng tôi hướng HS tính toán khoảng [a, b] chứa 95% (có thể là thấp hơn) dữ liệu trở lên, khoảng [a, b] càng nhỏ thì dữ liệu càng tập trung. Nếu số lượng đếm được trong mẫu rơi vào [a, b] thì sự biến thiên của mẫu là bình thường, nếu ngược lại là khác thường.
Bài toán áp dụng : Ngoài ra, sau pha 1, chúng tôi hướng dẫn HS tổng quát hóa bài toán làm cơ sở ứng dụng giải các bài toán sau. Để HS có thể giải các bài toán 2, 3 một cách thuận lợi hơn, nhanh chóng hơn thì sau bài toán thứ nhất chúng tôi sẽ phát cho HS một phiếu trong đó nêu bài toán tổng quát và yêu cầu các em ứng dụng để giải hai bài tập kèm theo.
Phân bố nhị thức: Giả sử thực hiện n phép thử độc lập, mỗi phép thử chỉ có 2 kết quả là : “xảy ra biến cố A” và “không xảy ra biến cố A”. XS để xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng p, và XS không xảy ra biến cố 𝐴 là 𝑞 = 1− 𝑝. Gọi 𝑋là số lần xuất hiện biến cố A trong n lần thử, 𝑋được gọi là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức. Khi đó :
1. 𝑃(𝑋=𝑘) = 𝑐𝑛𝑘 𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘 với 𝑘 = 0,1,2, … ,𝑛
2. Kỳ vọng E(X) = np
3. Phương sai : 𝑉(X) = npq
4. Độ lệch chuẩn δ(X) = �npq.
Hãy áp dụng các công thứctrên để giải hai bài toán sau:
Bài 1 : Tỉ lệ số cây sống tốt sau một thời gian theo dõi do một công ty giống cây trồng cung cấp là 0,85. Trong thời gian tới công ty đang chuẩn bị cung ứng 1000 cây giống, gọi 𝑋 là số cây có thể sống tốt. Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của 𝑋. Nêu ý nghĩa của kì vọng
Bài 2 : Trong một thành phố nào đó có 75% gia đình có ti vi màu. Chọn ngẫu nhiên 12 gia đình. Gọi 𝑋là số gia đình có ti vi màu.
a) Tính XS để có đúng 5 gia đình có ti vi màu b) Tính XS để có không quá 7 gia đình có ti vi màu c) Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của 𝑋
Một vài lưu ý trong các bài toán
- Với bài toán 2, câu d, chúng tôi không sử dụng các qui tắc 2𝜎, 3𝜎 vì tham số p bé, việc xấp xỉ phân bố nhị thức bởi phân bố chuẩn sẽ cho những tính toán thiếu chính xác. Cụ thể trong câu d :
𝑃(𝜇 −2𝜎 <𝑋 < 𝜇+ 2𝜎) = 𝑃(2,34 <𝑋 < 3,89) =𝑃(𝑋= 3) = 0,13
Vì vậy có thể giải quyết bài toán bằng cách tính toán trực tiếp.
- Với bài toán 3, dữ liệu bài toán cho phép xấp xỉ phân bố nhị thức bởi phân bố chuẩn, do đó khoảng 95% giá trị trong dữ liệu rơi vào khoảng 𝜇± 2𝜎, đây là khoảng biến thiên bình thường của mẫu. Mặt khác nếu sử dụng kiểu nhiệm vụ T42 hoàn toàn có thể kiểm tra được kết quả bài toán với độ tin cậy 95% đó là chấp nhận giả thuyết H0 : 𝑝= 0,25 nghĩa là không có bất thường nào thể hiện trong trận đấu.