Trong phần mở đầu chương II – Dao động cơ, P12 trang 27 cĩ lời dẫn nhập như sau:
“Hằng ngày, chúng ta thấy rất nhiều chuyển động đu đưa, vật chuyển động luơn luơn thay đổi chiều, đi qua đi lại quanh một vị trí cân bằng, đĩ là chuyển động dao động. Trong chương này, ta sẽ khảo sát chuyển động dao động điều hồ, đưa
ra các đại lượng đặc trưng cho chuyển động ấy: biên độ, tần số, pha, pha ban đầu, li độ, vận tốc, gia tốc. Ngồi ra, chúng ta cịn xét xem khi nào thì xảy ra dao động điều hồ…”
Qua lời mở đầu này chúng ta cĩ thể thấy được tầm quan trọng của dao động điều hồ trong dao động cơ. Việc xem xét khái niệm và đặc trưng của nĩ là nhiệm vụ trọng tâm mà thể chế mong muốn ở học sinh. Đồng thời qua lời mở đầu này chúng ta cĩ thể thấy được dao động điều hồ là một trường hợp đặc biệt của dao động, mà cụ thể hơn nữa là dao động tuần hồn. Từ đĩ, tiến trình dẫn nhập khái niệm dao động điều hồ cũng được P12lựa chọn xây dựng như sau:
Dao động→Dao động tuần hoàn→Dao động điều hoà
Việc đưa vào khái niệm dao động, dao động tuần hồn, cũng như chu kì và tần số được P12 thực hiện chủ yếu thơng qua hình thức quan sát. Cụ thể là học sinh sẽ được quan sát chuyển động của vật nặng trong con lắc dây, con lắc lị xo thẳng đứng và con lắc lị xo nằm ngang trên đệm khơng khí. Từ đĩ rút ra nhận xét:
“…- Chuyển động qua lại, lặp lại nhiều lần.
- Qua lại quanh vị trí cân bằng.
- Qua lại cĩ tính chất tuần hồ: sau khoảng thời gian T thì vật trở về vị trí cũ với cùng chiều chuyển động. Việc đo T khơng cần phải cĩ độ chính xác cao…”
[4, tr.56] Và cuối cùng được thể chế hố bằng việc đưa ra các khái niệm:
“Chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng gọi là dao động.”
[5, tr.28]
“…dao động tuần hồn: một giai đoạn của chuyển động được lặp lại liên tiếp và mãi mãi…”
[4, tr.56] Ngồi nhiệm vụ cung cấp một cái nhìn tổng quan trước khi bước vào khái niệm dao động điều hồ, phần giới thiệu về dao động và dao động tuần hồn cũng giúp:
“…HS làm quen với một vài dao động trong thực tế, cĩ cơ sở thực tiễn để hiểu những kết luận chặt chẽ và định lượng rút ra từ lập luận và tính tốn ở phần sau…”
[4, tr.56] Như vậy, việc đưa ra khái niệm dao động đến khái niệm dao động tuần hồn được P12 thực hiện một cách trực tiếp, liền kề mà khơng cần phải cĩ bất kì bước trung gian nào. Tuy nhiên, trong bước chuyển tiếp từ dao động tuần hồn sang dao động điều hồ thì P12phải xây dựng một hoạt động trung gian đĩ là thiết lập phương trình động lực học của vật dao động trong con lắc lị xo, từ đĩ việc tìm nghiệm của phương trình này sẽ cho ra khái niệm dao động điều hồ.
Cơ sở để thiết lập phương trình động lực học này là:
“…việc áp dụng định luật II Niu-tơn để khảo sát chuyển động của vật nặng khối lượng m gắn vào một đầu lị xo cĩ độ cứng k…”
[4, tr.56] Từ đĩ P12trang 30 đưa ra được phương trình:
2
'' 0
x +ω x= , trong đĩ 2 k m
ω =
Nghiệm của phương trình này cĩ dạng: cos( )
x=A ω ϕt+ , trong đĩ A và ϕ là hai hằng số bất kì.
Một trong những vấn đề cần phải nĩi ở đây chính là vai trị rất lớn của Tốn học trong việc đưa ra được nghiệm của bài tốn này:
“…x''+ω2x=0 (II.1) đĩ là một phương trình vi phân tuyến tính hạng hai thuần nhất. Do phải lấy tích phân hai lần nên nghiệm của phương trình chứa hai hằng số tuỳ ý. Theo lí thuyết phương trình vi phân thì nghiệm tổng quát của phương trình (II.1) cĩ dạng:
1sin 2cos
x=A ωt+A ωt (II.3)
trong đĩ A1 và A2 là hai hằng số tuỳ ý, dù A1 và A2 cĩ giá trị nào thì biểu thức (II.3) cũng nghiệm đúng phương trình vi phân (II.1)…
Nghiệm tổng quát của (II.3) cịn cĩ thể viết dưới dạng:
cos( )
x=A ω ϕt+ (II.7)
trong đĩ cĩ hai hằng số tuỳ ý là A,ϕ. Hai biểu thức ở vế phải của (II.3) và (II.7) là trùng nhau với mối liên hệ giữa các hằng số tuỳ ý như sau:
2 2 1 2 1 2 (II.8) arctan (II.9) A A A A A ϕ = + = ” [4, tr.47-48] Tuy nhiên ở đây do hạn chế về mặt kiến thức Tốn học, cụ thể là việc giải phương trình vi phân, P12chỉ cho học sinh kiểm nghiệm lại tính đúng đắn của cơng thức nghiệm x= Acos(ω ϕt+ ) bằng cách lấy đạo hàm cấp hai và thế vào phương trình x''+ω2x=0.
Cuối cùng, đưa ra khái niệm của dao động điều hồ như sau:
“Dao động mà phương trình cĩ dạng x= Acos(ω ϕt+ ), tức là vế phải là hàm cơsin hay sin của thời gian nhân với một hằng số, gọi là dao động điều hồ.”
[5, tr.31] Ở đây, do cơng thức nghiệm của phương trình 2
'' 0
x +ω x= được thể chế chọn là x= Acos(ω ϕt+ ), nhưng thực ra thì cơng thức nghiệm này cĩ thể được chọn theo cách khác là x=Asin(ω ϕt+ ). Hai cách viết này hồn tồn bình đẳng với nhau vì chúng cĩ thể biến đổi qua lại với nhau theo nghĩa cos( ) sin
2
x A ω ϕt A ω ϕt π
= + = + +
,
ngồi ra thì đồ thị của hàm cơsin và sin đều cĩ dạng hình sin nên cả hai hàm này đều được P12 gọi chung là “hàm dạng sin”. Vậy tại sao ở đây thể chế lại chọn cách viết theo dạng cơsin thay vì dạng sin? Cĩ những lý do sau đây mà chúng tơi cho rằng cĩ thể ảnh hưởng đến quyết định này:
Thứ nhất, theo như sự giải thích của GP12 trang 54: “Trong SGK chọn cách viết cơng thức của dao động điều hồ là hàm cơsin. Với cách viết này thì khi biểu diễn dao động điều hồ x= Acos(ω ϕt+ ) bằng vectơ quay OM (với OM A= , và gĩc (Ox OM, )=ϕ) ta cĩ điều kiện đơn giản:
x
x=ch OM
khơng cần phải đặt ra trục pha ∆ và chọn Ox vuơng gĩc trục pha ∆.”
[4,tr.54] Như vậy đây là cái lợi về mặt xây dựng hệ trục biểu diễn.
Thứ hai, kí hiệu Ox được dùng trong đường trịn lượng giác để chỉ trục cơsin, điều này đã được các em làm quen từ lớp 10 nên khi biểu diễn dao động điều hồ bằng vectơ quay sẽ tạo thuận lợi về mặt kí hiệu cho các em.
Thứ ba, khi chọn trục Ox nằm ngang làm gốc để tính gĩc quay thì sẽ tạo ra mơ hình trùng khớp với mơ hình mà các em đã từng được quan sát khi chất điểm chuyển động trịn đều. Từ đây cĩ thể giúp học sinh cĩ mối liên hệ tốt hơn giữa hai khái niệm dao động điều hồ và chuyển động trịn đều về mặt trực giác.
Sau khi đã đưa ra được phương trình dao động thì tất cả những phần phía sau đều được khảo sát thơng qua phương trình dao động này. Chẳng hạn như ngay từ các kí hiệu trong phương trình, P12đưa ra những đại lượng đặc trưng cho dao động điều hồ như biên độ (A), pha của dao động tại thời điểm t (ω ϕt+ ), pha ban đầu (ϕ), tần số gĩc (ω) được P12nêu ra với những tính chất và ý nghĩa riêng.
2.2.2. Mối liên hệ với hàm số lượng giác
Mối liên hệ đầu tiên trực quan nhất giữa hai khái niệm dao động điều hồ và hàm số lượng giác chính là tính biến thiên và đồ thị biểu diễn của li độ. Trước tiên, chúng tơi xét bảng biến thiên của li độ x theo thời gian t được P12đưa vào ở trang 31:
t ωt x 0 0 A 2 π ω 2 π 0
π ω π −A 3 2 π ω 3 2 π 0 2π ω 2π A
Bảng này được lập một cách đơn giản do ϕ =0, vì vậy đối số của hàm cơsin lúc này chỉ cịn là ωt. Bảng biến thiên khi này tương tự như bảng biến thiên của hàm số cơsin trong M11 trang 8
X −π 0 π
cos
y= x
1
-1 -1
Mặt khác, các số liệu trong bảng biến thiên của li độ x theo thời gian t cịn ngầm ẩn cho thấy là tập giá trị của hàm cơsin là [ 1;1]− vì x∈ −[ A A; ].
Phương pháp xây dựng đồ thị biểu diễn li độ được P12 ngầm ẩn thể hiện qua một ý trong phần nĩi về chu kì và tần số của dao động điều hồ trang 32 như sau:
“…nếu tịnh tiến đoạn đồ thị 0;2π ω
một đoạn 2ωπ theo trục t, ta sẽ được đoạn đồ thị tiếp theo…”
Như vậy phương pháp được P12 sử dụng ở đây chính là phương pháp tịnh tiến theo chu kì mà khi khảo sát đồ thị hàm sin, M11cũng thực hiện tương tự:
“Tịnh tiến phần đồ thị vừa vẽ sang trái, sang phải những đoạn cĩ độ dài 2π ,
4π, 6π ,… thì được tồn bộ đồ thị hàm số y=sinx…”
[8, tr.7] Đồng thời từ phương pháp xây dựng này, P12 chỉ ra được chu kì T của dao động điều hồ là 2ωπ . Sau khi rút ra được kết luận này từ việc quan sát đồ thị thì P12
như sau:
“Vào thời điểm t bất kì, vật cĩ li độ cho bởi x= Acos(ω ϕt+ ). Vào thời điểm t T+ vật cĩ li độ:
2 ( ) 2 cos cos( 2 ) cos( 2 ) ( ) x t T x t A t A t A t x t π ω π ω ϕ ω ω π ϕ ω π ϕ + = + = + + = + + = + + =
đúng bằng li độ vào thời điểm t…”
Phương pháp chứng minh này hồn tồn trùng khớp với phương pháp chứng minh tính chất tuần hồn của các hàm số y=sinx và y=cosx được đề cập trong M11. Cụ thể hơn, trong M11 sau khi chỉ ra T =2π thì kết luận được sin(x T+ )=sinx với mọi x. Hơn nữa, chu kì trong dao động điều hồ là thời gian thực hiện một dao động tồn phần (giai đoạn nhỏ nhất được lặp lại trong dao động tuần hồn) cũng phù hợp với chu kì trong hàm dạng sin là số dương nhỏ nhất thoả mãn sin(x T+ ) =sinx với mọi x.
Mối quan hệ giữa li độ và vận tốc trong dao động điều hồ thể hiện mối quan hệ giữa hai cơng thức x= Acos(ω ϕt+ ) và
sin( ) cos
2
v= = −x′ ωA ω ϕt+ =ωA ω ϕt+ +π
, điều này thể hiện li độ và vận tốc cĩ cùng chu kì là 2π
ω , đồng thời:
“Ở vị trí giới hạn x = ±A thì vận tốc cĩ giá trị bằng 0.
Ở vị trí cân bằng x=0 thì vận tốc v cĩ độ lớn cực đại bằng Aω .”
[5, tr.32] Tất cả những kết quả này cĩ được là do biểu thức ở vế trái của li độ và vận tốc đều là hàm cơsin theo thời gian, đồng thời vận tốc sớm pha
2 π
so với li độ. Điều này tương thích với việc M11 khi khảo sát hàm số y=cosx đã cĩ một nhận xét là
cos sin
2
x= x+π
với mọi x, nĩi một cách khác thì biểu thức này thể hiện cho thấy là hàm số y=sinx và y=cosx cĩ cùng chu kì 2π , đồng thời khi sinx= ±1 thì cosx=0 và khi sinx=0 thì cosx cĩ giá trị cực đại là 1. Những kết quả này cĩ được cũng là do khi viết hàm số từ dạng cơsin sang sin thì đối số đã được cộng thêm
2 π
so với ban đầu.
Tuy cĩ những mối quan hệ nhất định như trên nhưng chúng tơi hồn tồn khơng bắt gặp được bất kì sự đề cập nào đến những mối quan hệ liên mơn này. Vai trị chủ yếu của hàm số lượng giác ở đây chỉ như một cơng cụ giúp khảo sát các đặc trưng của dao động điều hịa mà thơi.
2.2.3. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến dao động điều hồ trong mối liên hệ với hàm số lượng giác
Cĩ tất cả 10 bài tốn dạng trắc nghiệm với bốn đáp án A, B, C, D. Các câu hỏi đều được hiểu theo dạng chọn câu trả lời đúng. Để tạo sự dễ dàng trong phân tích thì chúng tơi tiến hành thống kê lại sự xuất hiện của các đặc trưng li độ, vận tốc, gia tốc, pha, lực tác dụng, chiều dao động trong bảng sau:
Bảng 2.3. Thống kê sự xuất hiện của các đặc trưng li độ, vận tốc, gia tốc, pha, lực tác dụng, chiều dao động
Vị trí P12 trang 34-35 EP12 trang 12 Tổng Bài tập 1 2 3 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 10 Li độ X X X X X X X X 8 Vận tốc X X X X X X X 7 Gia tốc X X X X X X 6 Pha X X X X X X X 7 Lực tác dụng X 1 Chiều dao động X 1
Như vậy trong số sáu đặc trưng cĩ mặt trong 10 bài tập này thì 4 đặc trưng li độ, vận tốc, gia tốc, pha xuất hiện với tần số dày đặc; cịn 2 đặc trưng lực tác dụng
và chiều chuyển động thì chỉ xuất hiện trong duy nhất một bài tập trong P12. Từ đây chúng tơi nhận thấy rằng mục đích của thể chế là muốn học sinh nắm được mối quan hệ giữa li độ, vận tốc, gia tốc (cĩ liên quan chặt chẽ với nhau vì biểu thức của chúng đều là các hàm dạng sin theo thời gian) và pha (xem như đĩng vai trị là đối số). Chính điều này đã làm nổi bật vai trị của hàm số lượng giác như một cơng cụ trung gian giúp thể hiện những mối quan hệ này.
Một trong những điều đáng nĩi là ba đặc trưng quan trọng: chu kì, tần số, tần số gĩc hồn tồn vắng bĩng trong các bài tập dạng trắc nghiệm này. Lí do cho việc này đĩ là sự liên hệ rõ ràng giữa ba khái niệm này: T 2 1
f
π ω
= = đã được P12đề cập đến trong lí thuyết, do đĩ trong phần bài tập trắc nghiệm này thì việc ưu tiên để làm tường minh mối quan hệ giữa các đại lượng như li độ, vận tốc, gia tốc, pha được ưu tiên hơn.
Sau đây, chúng tơi sẽ bắt đầu phân tích sâu vào các dạng bài tập tự luận với số lượng 20 bài tập được chia thành 4 kiểu nhiệm vụ chính như sau:
Kiểu nhiệm vụ T’’’1: Vẽ đồ thị li độ dao động điều hồ
Ví dụ bt 1 trang 34, P12:
“Vẽ đồ thị li độ của dao động điều hồ sau đây (cùng dạng với đường liền nét (2) trong Hình 6.5): 2 cos ( ) 4 x= πt−π cm
Ghi rõ toạ độ điểm giao của đường biểu diễn với trục tung (x) và trục hồnh (t).
”
Kĩ thuật τ'''1
- Chọn đại lượng biểu thị trên hai trục toạ độ. - Xác định đơn vị sử dụng trên hai trục toạ độ.
- Giao điểm của đồ thị với trục tung là cosA ϕ, giao điểm của đồ thị với trục hồnh là nghiệm của phương trình cos(ω ϕt+ )=0.
- Vẽ đồ thị theo dạng hình sin với các toạ độ điểm đặc biệt vừa tìm trong ít nhất 1 chu kì.
Cơng nghệ θ'''1
Đồ thị li độ dao động điều hồ.
Nhận xét
- Đây là một kiểu nhiệm vụ khơng dễ dàng vì kĩ thuật τ'''1 khơng được trình bày một cách tường minh trong lý thuyết. Học sinh chủ yếu phải tự rút ra được kĩ thuật thơng qua các đồ thị cĩ sẵn trong P12. Mặt khác, việc tìm giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ khơng phải là đơn giản trong nhiều trường hợp. Hơn nữa, đồ thị dạng hình sin là một dạng đồ thị khĩ cĩ thể vẽ chính xác nên càng làm cho kĩ thuật này trở nên khĩ đối với học sinh.
- Kiểu nhiệm vụ T’’’1 tuy khơng phải là một kiểu nhiệm vụ chính yếu, vì chỉ xuất hiện cĩ duy nhất trong một bài tập nhưng cũng cho thấy được sự quan tâm của thế chế Vật lý đối với dạng đồ thị hình sin – vốn là đặc trưng khơng thể tách rời của
hàm số lượng giác.
Kiểu nhiệm vụ T’’’2: Chứng minh cơng thức nghiệm của phương trình