CHUYÊN ĐỀ VI HÌNH HỌC TỌAĐỘ KHÔNG GIAN.

§1. Hệ Tọa Độ Trong Không – Phương Trình Mặt Cầu. Dạng 1: Phương Pháp tọa độ trong không gian – Tọa độ điểm, tọa độ véctơ. Dạng 1: Phương Pháp tọa độ trong không gian – Tọa độ điểm, tọa độ véctơ.

Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy choa1; 2;1 , b    2;1;1 , c     2; 3; 4.Tìm tọa độ các véctơ

a. u  3a 2b 4c b. v 1a 2c 2i 2k

3 3

    .

Bài 2: Trong hệ tọa độ Oxychoa0; 2;1 , b 3; 2; 1 , c      2; 3; 4 a. Xác định k để véctơu2; 2k 1;0 cùng phương với a

b. Xác định các số thựcm, n, p để cmanb pc

c. Tính a , ab .

Bài 3: ChoA 2;3;5 , B 3;7; 4 , C x; y;6 .       a. Tìmx, y để ba điểmA, B, Cthẳng hàng.

b. Xác định tọa độ điểm M trênmp Oxy sao choMA MB nhỏ nhất

Bài 4: ChoA 1; 1;1 , B 2; 3; 2 , C 4; 2; 2 , D 3;0;1 , E 1; 2;3             a. Chứng tỏ rằngABCDlà hình chữ nhật.Tính diện tích của nó. b. Tìm tọa độ điểm M thỏa MA MB 2MC  0

Bài 5: ChoA 1; 2;1 , B   2;1;1 , C   2; 3; 4.Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB, tọa độ trong tâm tam giácABC và tính tích vô hướng AB.AC .

Bài 6: Tính tích có hướng u, vbiết rằng: u 4i j và v  i 2j k .

Bài 7: Tính tíchu, v .w biết rằng: u1; 2;1 , v  0;1;0 , w 1; 2; 1 .

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD với A 3; 2;0 , B 3; 3;1 , C 5;0; 2 .      Tìm tọa độ đỉnh D và góc giữa hai vectơ AC và BD.

Bài 9:Cho hình hộp ABCD.A ' B'C' D'. Biết rằng A 1;0;1 , B 2;1; 2 , D 1; 1;1 , C' 4;5; 5         . Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Dạng 2: Ứng dụng tích có hướng giải bài toán tọa độ.

Bài 1: ChoA 1; 1;1 , B 2; 3; 2 , C 4; 2; 2 , D 1; 2;3 .           a. Chứng tỏ rằngA, B, Ckhông thẳng hàng

b. Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B,C, Dkhông đồng phẳng c. Tính diện tích tam giácABC.

d. Tính thể tích tứ diệnABCD.

Bài 2: ChoA 0;1;1 , B  1;0; 2 , C 1;1;0 , D 2;1; 2 .    a. Chứng minh rằngA, B,C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b. Tính độ dài đường cao của tam giác ABCkẻ từ đỉnh A và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó.

c. Tính thể tích tứ diện ABCDvà độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh D .

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình hộp chữ nhậtABCD.A ' B'C' D' có A trùng với gốc của hệ toạ độ, B 1;0;0 , D 0;1;0 , A ' 0;0; 2 , gọi M là trung điểm cạnh      CC '. Tính thể

a. Tính thể tích hình hộp ABCD.A ' B'C' D'.

b. Tính thể tích tứ diệnA.A ' BC. Tính tỉ số ABCD.A 'B'C'D' A.A 'B'C' V

V c. Tính thể tích khối đa diện ABCDD'.

Dạng 3: Phương Trình Mặt Cầu. Bài 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu sau:

a. 2 2 2 25 x y z 4x 5y 3z 0 4        b. 2 2 2 3x 3y 3z 6x3y 15z  2 0 Bài 2: Cho A 1;3; 7 , B 5; 1;1     .

a. Lập phương trình mặt cầu tâmA và mặt cầu đi qua điểm B . b. Lập phương trình mặt cầu đường kínhAB .

Bài 3: Cho A 1;1;1 , B 1; 2;1 , C 1;1; 2 , D 2; 2;1 .         a. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểmA, B,C, D.

b. Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểmA, B, C và có tâm nằm trên mp Oxy .  

Bài 4:

a. Cho A 2; 1;6 , B     3; 1; 4 , C 5; 1;0 , D 1; 2;1      viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD.

b. Viết phương trình mặt cầu có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mp Oyz và có tâm nằm trên tia Ox.

Bài 5: Chứng tỏ rằng phương trình 2 2 2 2

x y z 4mx2my4zm 4m0 luôn là phương trình của một mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.

Bài 6: Chứng tỏ rằng phương trình 2 2 2 2

x y z 2cos .x 2sin .y 4z 4 4sin  0 luôn là phương trình của một mặt cầu. Tìm để bán kính mặt cầu là lớn nhất.

§2.Phương Trình Mặt Phẳng. Dạng 1: Phương trình mặtphẳng thường gặp. Dạng 1: Phương trình mặtphẳng thường gặp.

Bài 1: Cho A1; 2;3 , B 2; 4;3 , C 4;5;6     

a. Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ n1; 1;5 làm vectơ pháp tuyến

b. Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặc nằm trong mp đó là .

   

u 1; 2; 1 , v  2; 1;3 .

c. Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB d. Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC

e. Viết phương trình mp ABC  

Bài 2: Cho A1; 2;1 , B 1; 4;3 , C      4; 1; 2

a. Viết phương trình mp đi qua I 2;1;1 và song song với mp ABC   b. Viết phương trình mp qua A và song song với mp P : 2x y 3z 2     0

c. Viết phương trình mp qua hai điểm A, Bvà vuông góc với mp Q : 2x y 2z 2     0 d. Viết phương trình mp qua D, song song với Oy và vuông góc với mp R : 3x y 3z 1 0     

e. Viết phương trình mp qua C song song với mp Oxy  

Bài 3: Viết phương trình mp đi qua M 2;1; 4 và cắt các trụcOx, Oy, Oz tại các điểm A, B, Csao cho

Bài 4: Viết phương trình mp đi quaM 1; 2;3 cắt các tia  Ox, Oy, Ozlần lược tại các điểm A, B, Csao cho M là trọng tâm tam giácABC.

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai mặt phẳng  P : x 2y 3z 41    0 và

 P : 3x 2y z 1 0.2     Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm A 1;1;1 ,vuông góc với hai mặt   phẳng    P và P . 1 2

Dạng 2: Bài toán về khoảng cách, góc liên quan tới mặt phẳng.

Bài 1: Cho mp P : 2x y 2z 2     0 và hai điểmA 2; 1;6 , B     3; 1; 4 . a. Tính khoảng cách từ A đến mp P  

b. Viết phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mp P  

c. Viết phương trình mp chứa hai điểm A, Bvà tạo với mp P một góc có số đo lớn nhất.

Bài 2: Cho bốn điểm A 1;1; 2 , B 1; 2;1 , C 2;1;1 , D 1;1; 1         a. Viết phương trìnhmp ABC  

b. Tính góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABD   

Bài 3: Cho hai mặt phẳng   : 2x y 2z 1 0 ;      : x 2y z 1 0   

a. Tính góc giữa hai mp đó.

b. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc Oytiếp xúc với cả hai mp đó.

Bài 4: Cho mặt phẳng  P : 2x y 2z 3 0    và mặt cầu     2  2 2

C : x 1  y 1  z 2 25. Lập phương trình các tiếp diện của mặt cầu song song với mặt phẳng  P .

Bài 5: Cho ba mặt phẳng   : 2x y 2z 1 0 ;      : x 2y z 1 0;        : 2x y 2z 3 0 

a. Tìm quỹ tích các điểm cách đều     và 

b. Tính khoảng cách giữa hai mp     và 

c. Tìm quỹ tích các điểm cách   một khoảng bằng 1

d. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oxvà tiếp xúc với hai mp     và 

Bài 6: Cho hai mặt phẳng   : 2x 2y z 5   0 . Lập phương trình mp đi qua hai A 1;0;1 điểm

 

B 1; 2; 2 và hợp với   một góc 0

60

Bài 7: Cho hai mặt phẳng  : 2x y 2z 1 0 ;      : x 2y z 1 0    . Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mp mp    và  và song song với trụcOx.

Bài 8: Viết phương trình mp đi qua điểmM 2;1; 1   và qua giao tuyến của hai mặt phẳng   : x y z 4   0 và   : 3x y z 1 0   

Bài 9: Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng  : x 2z 4  0 và   : x   y z 3 0đồng thời song song với mặt phẳng x y z  0

Bài 10: Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng   : 3x y z 2   0và   : x 4y 5  0 đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x y 7  0

Dạng 3:Bài toán về mặt phẳng và mặt cầu.

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng , cho mặt phẳng  P : 2x 2y z 4   0 và mặt cầu   2 2 2

S : x y  z 2x 4y 6z 11 0    . Chứng minh rằng mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho mặt phẳng   2

P : 2x 2y z m   3m0(m là tham số) và mặt cầu    2  2 2

S : x 1  y 1  z 1 9. Tìm mđể mặt phẳng  P tiếpxúc với mặt cầu  S .

Bài 3: Cho Mặt Cầu   2 2 2

S : x y  z 2x 6y 15  0 và mặt phẳng  P : x 2y 2z 4   0

a. Chứng tỏ rằng mp P cắt mặt cầu  S theo một đường tròn và tính bán kính r của đường tròn đó b. viết phương trình mặt phẳng  Q song song với trụcOy,Vuông góc với mặt phẳng P và tiếp xúc với mặt cầu  S

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho bốn điểmA 3;3;0 , B 3;0;3 , C 0;3;3 , D 3;3;3        .Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   2 2 2

S : x y  z 2x 4y 2z 3 0    vàmặt phẳng P : 2x y 2z 14   0.Viết phương trình mặt phẳng  Q chứa trục Oxvà cắt  S theo một đường tròn có bán kínhbằng 3.

Dạng 4: Dùng tọa độ để giải hình học không gian.

Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A ' B'C' D'có cạnh bằng 2. Gọi I, J, Klần lược là trung điểm các

cạnhBB',CD' và D'A '.

a. Chứng tỏ rằng mặt phẳng  IJK vuông góc với mặt phẳng CC'K  b. Tính góc giữa hai mặt phẳnJAC và IAC'   

c. Tính khoảng cách từ I đến mp AJK  

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình chữ nhậtAB SA 2a.AD a. Đặt hệ trục sao

Oxyzcho các tia Ox, Oy, Ozlần lược trùng với các tia AB, AD, AS. a. Từ điểm C vẽ tia CE cùng hướng với tia AS. Tìm tọa độ của E. b. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳngSBD . 

c. Chứng tỏ rằng mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng SBC .  d. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳngSBC và SDC .   

e. Tính thể tích hình chópS.ABCD.

Bài 3: Cho tam giác đều ABCcạnh a, I là trung điểm củaBC.D là điểm đối xứng với A qua I.Dựng đoạnSD2Avuông góc vớimp ABC .Chứng minh rằng:

a. mp SAB mp SAC 

c. Tính thể tích hình chóp S.ABC.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc 0

BAD60 và đường caoSAa

Tính khoảng cách từ O đến mp SBC  

§3. Phương TrìnhĐường Thẳng. Dạng 1: Phương trình đường thẳng thường gặp. Dạng 1: Phương trình đường thẳng thường gặp.

Bài 1:Viết phương trình tham số của đường thẳng

a. Đi qua A 1; 2; 1  và có vectơ chỉ phương là a1; 2;1  b. Đi qua hai điểmI1; 2;1 , J 1; 4;3   

c. Đi qua A và song song với đường thẳng x 1 y 2 z 1

2 1 3

     

d. Đi qua M 1; 2; 4 và vuông góc với mặt phẳng3x y z 1 0   

Bài 2: Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng a. Qua A 3; 1; 2  và song song với đường thẳng  

x 1 2t d : y 3 t z t           

b. Qua A và song song với hai mặt phẳng x 2z 4 0; x y z 3 0      

c. Qua M 1;1; 4 và vuông góc với hai đường thẳng  1  2 x 1 2t x 1 y 2 z 1 d : y 3 t và d : 2 1 3 z t                 

Bài 3: Cho tứ diện ABCD,biết rằng A 2; 1;6 , B     3; 1; 4 , C 5; 1;0 , D 1; 2;1      a. Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳngBCD . 

b. Viết phương trình đường thẳng qua I 1;5; 2  và vuông góc với cả hai đường thẳngAB và CD.

Dạng 2: Phương trình đường thẳng liên quan tới mặt phẳng.

Bài 1: Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng 

x 1 2t d : y 3 t z t            lên mặt phẳng  P : x   y z 3 0

Bài 2: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng   x 1 y 2 z 1 d :

2 1 3

    

 lên các mặt

phẳng tọađộ.

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ đêcac vuông góc Oxyzcho hai đường thẳng:

    x 2t x 1 t ' : y 2 3t ; ' : y 2 t ' z 4t z 1 2t '                       

a. Viết phương trình mặt phẳng  P chứa đường thẳng   và song song với đường thẳng  ' . b. Cho điểm M 2;1; 4 tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng  ' sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ đêcac vuông góc cho hai điểm A 2;1;1 , B 0; 1;3    và  

x 9 2t

   

a. Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua trung điểm Icủa đoạn AB và vuông góc với AB . Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng  P . Chứng minh rằng d vuông góc với IK

b. Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng có phương trìnhx   y z 1 0.

Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ đêcac vuông góc Oxyzcho điểm A 4; 2; 4 và đường thẳng.   x 3 2t d : y 1 t z 1 4t             

. Viết phương trình đường thẳng  d ' qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng  d .

Bài 6: Viết phương trình mp   tiếp xúc với mặt cầu   2 2 2

S : x y  z 10x 2y 26z 170   0và song song với đường thẳng:    

x 5 2t x 7 3t ' d : y 1 3t ; d ' : y 1 2t ' z 13 2t z 8                          .

Dạng 3: Khoảng cách, góc, vị trí tương đối của đường thẳng. Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

a.  x 1 y 7 z 3   x 6 y 1 z 2 d : và d ' : 2 1 4 3 2 1            b)  x 1 y 2 z   x y 8 z 4 d : và d ' : 2 2 1 2 3 1           c)  x 1 2t d : y 3 t z t           

và là giao tuyến của hai mặt phẳng:   : 2x 3y 3z 9   0;   : x 2y z 3 0   

Bài 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.Tìm tọa độ giao điểm của chúng nếu có. a.   x 12 y 9 z 1   d : và :3x 5y z 2 0 4 3 1           b.   x 1 y 3 z   d : và :3x 3y 2z 5 0 2 4 3         

Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm M1; 2;3đến các đường thẳng a.  1 x 1 2t d : y 3 t z t           

b.  d2 là giao tuyến của hai mặt phẳng   : 2x 3y 3z 9   0;   : x 2y z 3 0   

Bài 4: Cho ba điểm A 1;1;1 , B  1; 2;0 , C 2; 3; 2   và mp   :x   y z 2 0 a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và BC