§2 Thể Tích Lăng Trụ Dạng 1 Hình lăng trụ đứng.

Dạng 1. Hình lăng trụ đứng.

Bài 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’là tam giácABCvuông cân tại A có cạnh BCa 2 và biết A' B 3a . Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D'' ' ' có cạnh bên bằng4avà đường chéo của hình lăng trụ

5aTính thể tích khối lăng trụ này.

Bài 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’là tam giác đều cạnh a4và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.Tính thể tích hình hộp .

Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA' B'C' có đáy ABClà tam giác vuông cân tại B với

BABCa,biếtA BC'  hợp với đáy ABCmột góc 600 .Tính thể tích lăng trụ

Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA' B' C'có đáy ABClà tam giác vuông tại A vớiACa, góc

600

ACB biết BC ' hợp với AA ' C' C một góc 300. Tính thể tích lăng trụ.

Bài 7: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABCA' B' C'là tam giác đều. Mặt A BC'  tạo với đáy một góc

0

30 và diện tích tam giác A BC' bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 8: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA ' B'C' D' cóAA '2a; mặt phẳng A BC' hợp với đáy một ABCDgóc 600 và A'C hợp với đáy ABCD một góc 300 .Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

Bài 9: Cho lăng trụ đứngABCA' B' C', đáyABClà tam giác vuông tại A AC a,  ,góc C 60 0đường chéo BC'của mặt bên BCC B' 'hợp với mặt bênACC A' 'một góc300.Tính thể tích lăng trụ.

Bài 10: Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D. ' ' ' 'có đáy ABCDlà hình thoi cạnh a,BAD 60 0. Gọi Mlà trung điểm của cạnh AA'và Nlà trung điểm củaCC'. Chứng minh rằng bốn điểm B M D N', , ,

cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA ' để tứ giác B MDN' là hình vuông.

Bài 11 : Cho lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' 'có đáy là tam giác vuông, AB AC a  , AA 'a 2. Gọi ,

M Nlần lượt là trung điểm của AA ' àv BC'. Chứng minh MNlà đường vuông góc chung của

' à '

AA v BC . Tính thể tích khối chóp M A BC. ' '.

Bài 12 : Cho lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ' có AB a AC 2a ,  , AA '2a 5 và BAC 120 0. Gọi M là trung điểm của CC'. Chứng minh MB vuông góc với MA'. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng

A BM' .

Dạng 2. Hình lăng trụ nghiêng.

Bài 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A B C. ' ' ' có đáy ABClà tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABCmột góc 600.Tính thể tích lăng trụ.

Bài 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A B C. ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A ' xuống mặt phẳng ABClà tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giácABC biết AA ' hợp với đáy

ABC một góc 600. Tính thể tích lăng trụ, chứng minh rằng tứ giác BB C C' ' là hình chữ nhật.

Bài 3: ĐáyABCcủa hình lăng trụ ABC A B C. ' ' 'là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên hình lăng trụ và mặt đáy bằng300. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A ' trên mặt phẳng đáy ABCtrùng với trung điểm H của cạnhBC. Tính thể tích hình lăng trụ.

Bài 4: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C. ' ' 'có đáyABClà tam giác đều cạnh a và đỉnh A ' cách đều các

đỉnhA, B, C. Cạnh bên AA' tạo với đáy góc 0

60 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C. ' ' 'theo a.

Bài 5: Cho hình lăng trụ tam giácABC A B C. ' ' 'cóBB 2a' , góc giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng ABC bằng600; tam giác ABCvuông tại C và gócBAC 60 0. Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng ABCtrùng với trọng tâm của tam giácABC. Tính thể tích khối tứ diệnBABC' theo a.

Bài 6: Cho hình lăng trụ ABC A B C. ' ' ', tam giác ABCvuông tại C, BC 2a AC a 6 ,  , hình chiếu vuông góc của 'B lên mặt phẳng ABC là trung điểm của BC, góc của BB' và mặt phẳng ABC bằng 450. Tính thể tích khối lăng trụ, tính góc của hai mặt phẳng ABB A v CBB C' ' à ' ' .

Bài 7: Cho hình hộpABCD A B C D. ' ' ' 'có đáy là hình chữ nhật với AB 3cm AD;  7cm.Hai mặt bên ABB A v ADD A' ' à ' ' lần lượt tạo với đáy những góc45 v 600 à 0.Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng1 cm.

Bài 8: Cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' 'có đáy là hình thoi cạnh a, gócBAD 60 0 . Chân đường vuông góc hạ từ B' xuống đáy ABCDtrùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. ChoBB a' .Tính thể tích hình hộp , tính góc giữa cạnh bên và đáy.

Bài 9: Cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' 'có đáy ABCDlà hình thoi cạnh a,A A A B A D'  '  ' , 0

BAD 60 cạnh bên tạo với đáy ABCDmột góc 600. Tính thể tích khối hộp ABCD A B C D. ' ' ' '

Bài 10:Cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' 'có tất cả các cạnh đều là hình thoi cạnh a , các góc 0

BAA' BAD DAA' 60   . Tính thể tích khối hộp ABCD A B C D. ' ' ' '.

§3. Thể Tích Khối Nón, Khối Trụ, Khối Cầu. Dạng 1. Thể Tích Khối Nón. Dạng 1. Thể Tích Khối Nón.

Bài 1: Trong không gian cho tam giácOABvuông tại O cóOA 4 OB 3 ,  .Khi quay tam giác vuông OABquanh cạnh góc vuông OAthì đường gấp khúc OABtạo thành một hình nón tròn xoay. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối nón.

Bài 2: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng1200. Tính thể tích của khối nón.

Bài 3: Một hình nón có đường sinh bằng 2avà diện tích xung quanh của mặt nón bằng2 a 2.Tính thể tích của hình nón.

Bài 4:Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a. a. Tính thể tích của khối nón

b. Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc600. Tính diện tích của thiết diện này

Bài 5: Cho hình nón tròn xoay có đường cao2 cm0 , bán kính đáy25cm. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là12cm. Tính diện tích của thiết diện đó.

Bài 6: Cắt hình nón đỉnh S bởi mp đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng

a 2. Trên đường tròn đáy lấy điểm B v Cà sao cho mặt phẳng SBC tạo với đường tròn đáy của hình nón một góc600. Tính diện tích tam giácSBC

Bài 7: Cho hình chóp đều SABC. cạnh bên bằng a và góc của mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Gọi hình nón nội tiếp hình chóp là hình nón đỉnh S đáy là đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC, tình thể tích hình nón đó.

Bài 8: Cho hình chóp đều SABC. cạnh đáy bằng a, góc ở đỉnh của mặt bên bằng 1200. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón đỉnh S nội tiếp trong hình chóp đó theo a.

Dạng 2. Thể Tích Khối Trụ.

Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy5cmvà khoảng cách giữa hai đáy bằng7cm. a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối trụ.

b. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.

Bài 2: Một hình trụ có bán kính r a và chiều caoh a 3 . Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng ABvà trục của hình trụ theo a.

Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC A B C. ' ' 'có cạnh bằng a, góc tạo bới 'A B và mặt phẳng đáy ABCbằng 600.Tính diện tích xung quang, thể tích của mặt trụ tròn xoay ngoại tiếp hình lăng trụ.

Bài 4: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O v Oà ' bán kính đáy R a , và chiều cao h a 2 . Trên đường tròn O v Oà ' lấy lần lượt hai điểm A, Bsao cho góc giữa hai đường thẳng OA v O Bà '

bằng 600. Tính độ dài AB theo a.

Bài 5: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O v Oà 'bán kính đáyR a . Hình vuông ABCD nội tiếp tiếp đường tròn tâm O, AA ', BB'là các đường sinh của hình trụ. Mặt phẳng A ' B'CDhợp với mặt đáy một góc 0

60 , tính thể tích hình trụ.

Bài 6: Cho một hộp chữ nhật ABCD A B C D BC a. ' ' ' ',  , đường chéo 'D Bcủa hình hộp tạo với mặt phẳng đáy một góc 300và tạo với mặt phẳng bên CDD 'C' một góc 600. Tính diện tích xung quanh, thể tích của hình trụ ngoại tiếp hình hộp đó.

Bài 7: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O v Oà ', hình vuông ABCDcó cạnh bằng a nội tiếp hình trụ, mà hai đỉnh liên tiếp A B, nằm trên đường tròn tâm O, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn tâm O'. Mặt phẳng ABCD tạo với đáy của hình trụ một góc 450. Tính diện tíc xung quanh, thể tích của khối trụ theo a.

Bài 8: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O v Oà ', chiều cao vàbán kính đáyh R a  . Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O'lấy điểm B sao cho AB 2a . Tính thể tích tứ diện OO AB' theo a.

Dạng 3. Thể Tích Khối Cầu.

Bài 1: Cho hình chópSABC. cóSA2a và SAABC. Tam giácABC vuông cân tại B, AB a 2

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đềuSABCD. cạnh đáy bằng a, gócSAC 60 0. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp.

Bài 3: Cho hình chóp SABCD. đáy là hình vuông cạnh a, SA bằng a và SA vuông góc đáy.Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp.

Bài 4: Cho hình chóp đều SABC. cạnh đáy a, mặt bên hợp đáy một góc 0

60 .Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bài 5: Cho hình chóp SABCD. có đáy là hình vuông ABCDcạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2 . Gọi mặt phẳng   đi qua A và vuông góc với SC, mặt phẳng   cắt SB,SC,SD lần lượt tại A ', B', C'. Xác định tâm và tính thể tích mặt cầu qua các đỉnh A, B,C, D, B',C', D'.

Bài 6: Cho khối chóp SABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A AB a 2,  , SA SB SC  .

Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABCbằng 600. Tính thể tích chóp SABC. và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC. theo a.

Bài 7: Cho hai mặt phẳng    P và Q vuông góc với nhau theo giao tuyến là   . Trên   lấy hai điểm A, B sao cho ABa. Lấy điểm C trên  P và D trên  Q sao cho AC và BD vuông góc 

mà ACABBD. Tính bán kính mặt cầu qua bốn điểm A, B,C, D và khoảng cách từ A đến mặt

Bài 8: Cho tứ diện ABCD có hai mặt bênACD và BCD  vuông góc với nhau, AD a 2 ,

ABBCBDACa. Chứng minh ACDvuông, và tính diện tích mặt cầu qua A, B,C, D theo a.

§4. Ôn Tập Chương – Bài Tập Tổng Hợp.

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC BAD 90 ,BA BC a,AD 2a  0    . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của a trên SB. Chứng minh tam giác SCDvuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD . 

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE , Nlà trung điểm của BC. Chứng minh MNvuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SADlà tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, Plần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP.

Bài 4: Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B'C' D'có các mặt bên AB AD a, AA ' a 3 2

   và BAD 60 0

Gọi M, Nlần lượt là trung điểm các cạnh A 'D' và A 'B'. Chứng minh AC 'vuông góc với mặt phẳng BDMN. Tính thể tích khối chóp A.BDMN.

Bài 5: ĐH khối A 2008: Cho lăng trụ ' ' '

ABC.A B C có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABClà tam giác vuông tại A, ABa, ACa 3 và hình chiếu vuông góc với đỉnh A trên mặt phẳng ' ABC là trung  điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp '

A .ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

' ' '

AA , B C .

Bài 6: ĐH khối B 2008: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnh 2a, SAa

,SBa 3và mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các  cạnh AB, BC . Tính theo a thể tích của hình chóp S.BMDNvà tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

SM, DN .

Bài 7: ĐH khối D 2008: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C' ' ' có đáy ABClà tam giác vuông, ABBCa,

cạnh bên '

AA a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ

' ' '

ABC.A B C và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, '

B C.

Bài 8: ĐH khối A 2009: Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình thang vuông tại A và D;

AB AD 2a,CD a; góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 60   0.Gọi I là trung điểm của

cạnh AD.Biết hai mặt phẳng  SBI và SCI cùng vuông góc với mặt phẳng   ABCD,Tính thể thích khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 9: ĐH khối B 2009: Cho hình lăng trụ tam giác ' ' ' '

ABC.A B C có BB a,góc giữa đường thẳng '

BB và mặt phẳng ABCbằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC600.Hình chiếu vuông góc của điểm '

B lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện

'

A ABC theo a.

Bài 10: ĐH khối D 2009: Cho hình lăng trụ đứng ' ' '

ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

' '

ABa, AA 2a, A C3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng ' '

A C ,I là trung điểm của AM và '

A C

. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABCvà khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC . 

Bài 11: ĐH khối A 2010: Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình vuông cạnh a.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng ABCD và  SHa 3. Tính thể thích khối chóp S.CDNMvà tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

Bài 12: ĐH khối B 2010: Cho hình lăng trụ tam giác đều ' ' '

ABC.A B C có AB = a, góc giữa hai mặt

Bài 13: ĐH khối D 2010:Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình vuông cạnh a, cạnh bênSAa; hình chiếu vuông góc từ đỉnh S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AC, AHAC / 4. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện