Kết quả thực nghiệm được chúng tôi tổng kết lại qua các bảng sau.
Bảng 3.3 - Thống kê số lượng các chiến lược cho câu hỏi 1. Chiến lược
Hệ phương trình Phương trình Năng suất Số học Khác Không giải được Shpt1 Shpt2 Shpt3 Spt1 Spt2
Sa1 Sa2 Sa3 Sa4 Sa5 Sb1 Sb2 Sb3 khác Snsuat Ssohoc
0 2 53 3 0 1 0 3 5 1 7 1 20 0% 2,1 % 55, 2% 3,1% 0% 1% 0 3,1 % 5,2% 1% 7,3% 1% 20,8% 58 (60,4%) 9 (9,4%) 96 (100%)
Kết quả thực nghiệm chỉ thu được 10/96 (10,4%) bài giải đúng, gồm 3 bài Sa4 và 7 bài Ssohoc, một kết quả cho phép kiểm chứng được giả thuyết H1. Đa số học sinh tuân theo chiến lược hệ phương trình. Cụ thể hơn: có 58/96 (60,4%) học sinh
lập được phương trình (1): 1 1 1 12
x+ =y . Tuy nhiên, chỉ có 3 học sinh lập chính xác được phương trình (2). Phương trình (2) đúng này được suy ra từ sự suy luận giữa mối liên quan giữa số ngày làm việc và sỉ số khi năng suất bình quân mỗi học sinh là như nhau x = 4
3 y. Phương trình mong đợi 1 4 1 3
x = y liên hệ giữa 2 năng suất của 2 lớp để hệ thu được khi đặt ẩn phụ là một hệ phương trình tuyến tính bậc 1 như mong đợi của thể chế không xảy ra.
Một kết quả đáng quan tâm là trong 53 lời giải Sa3, có 29 lời giải (chiếm 30,2%) mà PT (2) là 30 40 30 40 0
x = y ⇔ x − y = (*) . PT này cũng là 1 cách suy luận từ dữ kiện, tuy nhiên ta chỉ thấy ở đó kết quả của việc liên kết các dữ kiện nhưng lại không thể hiện được yếu tố lí thuyết được cho trong đề toán. Điều thú vị là nghiệm hệ thu được là x = 21, y = 28 phù hợp với điều kiện chặt x, y > 12 nên học sinh có được đáp án của bài toán mà không suy nghĩ đến thực tế, lớp 9A có ít người hơn nên số ngày làm việc không thể ít hơn.
Với 9 lời giải của chiến lược phương trình ta không tìm được 1 lời giải đúng nào. Đa số các em gọi x là số giờ làm một mình xong công việc của lớp 9A và 12 – x là số giờ làm 1 mình của lớp 9B, và phương trình lập được là 1 1 1
12 12
x+ x =
− (3/9
bài) hoặc là một sự kết nối các dữ kiện kiểu 30 40 1
12 12
x + x =
− (5/9 bài). Chỉ 1 học sinh nêu lập được phương trình 1 3 1 1
4 12
x+ x= với x là số ngày làm việc một mình của lớp 9A. Thực nghiệm cho thấy PT năng suất tổng đa số được lập đúng vì dạng toán này được học ở cả 2 bài học GTHPT và GTPT (PT bậc 2) nhưng việc lập PT còn lại đã không cho kết quả mong đợi. Điều này cho thấy kĩ năng suy luận từ dữ kiện bài toán chưa thực sự tồn tại ở HS và do đó kiểm chứng giả thuyết H1.
Với việc lựa chọn “bài toán quen thuộc” là bài toán năng suất khiến chiến lược hệ phương trình chiếm ưu thế so với các chiến lược còn lại mặc dù bài toán có thể
được giải một cách nhanh gọn bằng chiến lược số học. Rõ ràng, việc giải toán của học sinh bị ảnh hưởng bởi thực tế học tập đó là bài toán làm chung - làm riêng được học trong bài “giải toán bằng cách lập hệ phương trình”. Việc chọn dữ kiện là “ẩn đi dấu hiệu của 1 PT”, phải suy luận biến đổi mới lập PT là một “phá vỡ hợp đồng” thể chế đối với HS, việc này đã gây khó khăn cho HS.
Bảng 3. 4 Thống kê số lượng các chiến lược cho câu hỏi 2
Chiến lược
Hệ phương trình Phương
trình Khác Không giải
được
SHPT1 SHPT2 SPT
Saa1 Saa2 Saa3 Saa4 Sbb
0 16 4 35 13 25 3 4,2% 36,5% 13,5% 26% 3,1% 0 16,7% 52 (54,2%) 96 (100%)
Từ bảng trên ta thấy được hiệu lực của RE1 “đề gọi gì thì gọi đó là ẩn”. Đó là 54,2% HS gọi ẩn trực tiếp, trong khi đó chỉ có 26 % chọn ẩn khác và 3,1% chọn 1 ẩn và không có chiến lược nào khác.
Trong số 52 HS gọi ẩn trực tiếp, có tới 35 HS lập ngay HPT với 2 ẩn vừa gọi, lời giải Saa2. Và nghiệm thu được từ hệ là đáp án của bài toán. Các em kết luận mà không chú ý rằng đáp án không phù hợp với đề bài. Chỉ có 13 HS với lời giải Saa3 nhận thấy điều bất hợp lí nên kết luận lại nhưng vẫn không sửa lại ẩn vừa gọi. Điều này cho thấy sự tuân thủ nghiêm ngặt hợp đồng RE1. Với 26% lời giải mong đợi ta
thấy được lần nữa kĩ năng toán học hóa 1 tình huống thực tế chưa hình thành ở HS. Kết quả này một lần nữa củng cố H1.
Để xác định hiệu lực của hợp đồng RE2, chúng tôi tiến hành phân tích kết quả thực nghiệm cả hai câu hỏi.
Bảng 3.5 - Thống kê số lượng các lời giải có đặt điều kiện cho ẩn của câu hỏi 1 Điều kiện x, y > 0 hoặc x > 0 Điều kiện chặt x, y > 12 hoặc x > 12 Điều kiện khác Không giải được Không đặt điều kiện khi giải Ssohoc (không cần điều kiện) Số lượng (96) 25 27 3 20 14 7 55 (57,3%)
Bảng 3.6 - Thống kê số lượng các lời giải có đặt điều kiện cho ẩn của câu hỏi 2. Câu hỏi 2 Đặt điều kiện (ĐK) Không đặt điều kiện Không giải được So sánh nghiệm HPT và ĐK ban đầu Không so sánh nghiệm HPT và ĐK ban đầu Chưa kết luận đáp án 9 25 8 38 16 9,4% 26,4% 8,3% 39,6% 16,7% 42 (43,8%)
Qua hai bảng trên ta thấy rằng, tỉ lệ đặt điều kiện so với không đặt điều kiện khi giải toán ở câu hỏi 1 là 55/14, ở câu hỏi 2 là 42/38. Số lời giải có đặt điều kiện ở câu hỏi 2 giảm đi có lẽ xuất phát từ việc nghiệm thu được khi lập hệ là nghiệm âm hoặc dạng bài toán 2 không tồn tại trong thể chế nên HS không biết cách đặt ẩn thế nào. Tuy nhiên, việc đặt điều kiện cho ẩn vẫn chiếm ưu thế.
Ở câu hỏi 1, có 27/55 lời giải có đặt điều kiện nêu điều kiện chặt x, y > 12. Theo phân tích trên, có 53 lời giải cho đáp án x = 21, y = 28 thỏa điều kiện chặt này. Nhưng không HS nào trong 53 HS trên nhận ra rằng đáp án này không thỏa mãn bài toán.
Ở câu hỏi 2, chỉ có 9/42 HS nhận ra nghiệm thu được từ hệ không thỏa điều kiện đặt ra cho ẩn . Có 25/42 HS kết luận ngay đáp án với giá trị âm không thỏa điều kiện, và nhận đáp án x = 5000, y = - 2000 mà không chú ý rằng tổng số tiền lãi là 160000 đồng.
Kết quả trên chứng tỏ RE2 được kiểm chứng.
Một ghi nhận trong lúc thực nghiệm, khi thấy giá trị nghiệm y âm, nhiều học sinh ngạc nhiên và nói lớn tiếng rằng “y âm”. Chỉ khi cô giáo nói đó là “lỗ” thì các em mới yên tâm làm bài.
Trong thực tế, việc buôn bán có thể dẫn đến lỗ nên học sinh dễ dàng chấp nhận đáp án âm. Nhưng cũng có trường hợp không chấp nhận việc này, như lời giải sau. Có 2 học sinh đã “khắc phục” nghiệm âm bằng cách đổi dấu hệ phương trình ở hệ số của y (dùng bút xóa), khi đó hệ thu được không còn nghiệm âm: